充分条件与必要条件教案北师大版.docx

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充分条件与必要条件教案北师大版

§2充分条件与必要条件

2．1　充分条件

2．2　必要条件

2．3　充要条件

●三维目标

1．知识与技能

通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义．

2．过程与方法

（1）通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念．

（2）通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．

3．情感、态度与价值观

（1）在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯．

（2）在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性．

●重点难点

重点：

1.理解充分条件、必要条件的含义．

2．充分条件、必要条件、充要条件的判断．

难点：

对必要条件的理解．

在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作—探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法．

（教师用书独具）

●教学建议

教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念．在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．

●教学流程

创设情境，

激发兴趣引导归纳，

给出定义深入探究，

获得新知反馈练习，

形成方法总结反馈，

拓展引申

课标解读

1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．（重点）

2．充分条件、必要条件与充要条件的判断．（难点）

3．利用条件关系求字母的取值范围．（难点）

充分条件与必要条件

【问题导思】　

已知直线l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2.

（1）由k1＝k2能推出l1∥l2吗？

【提示】　当k1＝k2，b1＝b2时，l1与l2重合，故由k1＝k2不能推出l1∥l2.

（2）由l1∥l2能推出k1＝k2吗？

【提示】　由l1∥l2能推出k1＝k2.

1．推断符号“⇒”的含义

“若p，则q”为真，是指由条件p经过推理可以得到结论q，记作p⇒q，读作“p推出q”．

2．充分条件与必要条件

推式

“若p，则q”真，

即p⇒q

“若p，则q”的逆命题真，

即q⇒p

p是q的

充分条件

必要条件

q是p的

必要条件

充分条件

充要条件

【问题导思】　

一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：

“这是我的女儿”，请问：

你还需要介绍：

“这是我的妈妈”吗？

为什么？

【提示】　不需要，因为由A是B的女儿，可推出B是A的妈妈，反之亦然．

　如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇒q.

充分条件、必要条件、充要条件的判断

（1）“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）对于数列{an}，“an＋1＞|an|（n＝1,2，…）”是“{an}为递增数列”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【思路探究】　

着眼点分清条件p与结论q分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假

【自主解答】　

（1）当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅.

反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，

得，

因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件．

（2）由an＋1>|an|≥an，得an＋1＞an，

∴{an}是递增数列．

反过来，由{an}是递增数列，知an＋1＞an，但不一定有an＋1＞|an|，如递增数列{－（）n}中，a1＝－，a2＝－，a2＞|a1|不成立．

因此，“an＋1＞|an|（n＝1,2，…）”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．

【答案】　

（1）B　

（2）A

除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：

已知集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

提醒：

在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论．

（1）“|x|＜1且|y|＜1”是“点P（x，y）在圆x2＋y2＝1内”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　

（1）当x＝y＝时，x2＋y2＝＞1，所以点P（x，y）不在圆内；反过来，当点P（x，y）在圆内时，x2＋y2＜1，所以x2＜1，y2＜1，所以|x|＜1，|y|＜1.

因此，“|x|＜1且|y|＜1”是“点P（x，y）在圆x2＋y2＝1内”的必要不充分条件．

（2）{an}是递增数列，可得a1＜a2＜a3；反过来，由a1＜a2＜a3，

得a1＜a1q＜a1q2，当a1＞0时，q＞1；当a1＜0时，0＜q＜1.

∴an＋1－an＝a1qn－1（q－1）＞0，

∴an＋1＞an，

∴{an}是递增数列．

因此，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件．

【答案】　

（1）B　

（2）C

充分条件、必要条件的应用

　已知p：

4x＋k≤0，q：

x2－x－2＞0，且p是q的充分条件，求k的取值范围．

【思路探究】　求出p、q对应的集合A、BA⊆B→k满足的条件k的取值范围

【自主解答】　由4x＋k≤0，得x≤－.

由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.

设A＝{x|x≤－}，B＝{x|x＜－1或x＞2}．

由p是q的充分条件，得A⊆B．

∴－＜－1，

∴k＞4.

即k的取值范围为（4，＋∞）．

1．涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理．

2．解决本题的关键是把p、q之间的关系转化为p、q所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式（组）求解．

已知p：

4x＋k≤0，q：

x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．

【解】　由4x＋k≤0，得x≤－；

由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.

设A＝{x|x≤－}，B＝{x|－1＜x＜2}，

由p是q的必要条件，得A⊇B．

∴－≥2，

∴k≤－8.

即k的取值范围为（－∞，－8].

充要条件的证明

　已知数列{an}的前n项和为Sn，求证：

“对任意n∈N＋，Sn＝”是“数列{an}是等差数列”的充要条件．

【思路探究】　分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”．

【自主解答】　必要性：

由等差数列的前n项和计算公式，得Sn＝.

充分性：

由Sn＝，得Sn＋1＝.

两式相减得，

an＋1＝＋－

整理得（n－1）an＋1＝nan－a1，

nan＋2＝（n＋1）an＋1－a1，

两式相减得，

nan＋2－（n－1）an＋1＝（n＋1）an＋1－nan

整理得2nan＋1＝nan＋2＋nan

∴2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列．

1．首先分清条件和结论．本例中条件是“对任意n∈N＋，Sn＝”，结论是“数列{an}是等差数列”．

2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性（证明先后顺序不作要求）．

3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性．

已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1（n∈N＋），求证：

数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.

【证明】　必要性：

由an＋an＋1＝2n＋1，得

a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，

由数列{an}是等差数列，得

2a2＝a3＋a1，

∴2（3－a1）＝（2＋a1）＋a1，

解得a1＝1.

充分性：

由an＋an＋1＝2n＋1，得an＋1＋an＋2＝2（n＋1）＋1＝2n＋3，

两式相减得an＋2－an＝2，

∴数列{a2n－1}是首项为a1＝1，公差为2的等差数列．

∴a2n－1＝1＋2（n－1）＝2n－1，即当n为奇数时，an＝n.

当n为偶数时，n＋1是奇数，

∴an＋1＝n＋1，

∴an＝（2n＋1）－an＋1＝（2n＋1）－（n＋1）＝n.

综上得an＝n，

∴an＋1－an＝（n＋1）－n＝1.

因此，数列{an}是等差数列.

充分、必要条件颠倒致误

　已知p：

x2－x－2＜0，q：

x∈（－1，m），且p是q的充分不必要条件，则（　　）

A．m＞2　　　B．m≥2

C．－1＜m＜2D．－1＜m≤2

【错解】　由x2－x－2＜0，得x∈（－1,2）．

∵p是q的充分不必要条件，∴（－1，m）（－1,2）．

∴即－1＜m＜2，故选C.

【答案】　C

【错因分析】　颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误．

【防范措施】　在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题．在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法．

【正解】　由x2－x－2＜0，得x∈（－1,2）．

∵p是q的充分不必要条件，

∴（－1,2）（－1，m），∴m＞2.故选A.

【答案】　A

1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q与q⇒p两个命题的真假．

2．当不易判断p⇒q与q⇒p的真假时，可从集合的角度入手．首先建立与p、q相应的集合，即p：

A＝{x|p（x）}，q：

B＝{x|q（x）}.

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3.命题“若p，则q”为真、p⇒q、p是q的充分条件、q是p的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已.

1．“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　当x＝时，y＝sin2x取最大值1；但当y＝sin2x取最大值1时，x不一定等于，比如x＝π.因此“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件．

【答案】　A

2．（2013·福建高考）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

【答案】　A

3．用符号“⇒”、“⇐”、“⇔”填空：

（1）x＝0________x＜1；

（2）整数a能被2整除________整数a是偶数；

（3）M＞N________log2M＞log2N.

【解析】　利用这三种符号的意义求解．

【答案】　

（1）⇒　

（2）⇔　（3）⇐

4．直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是什么？

【解】　由直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切，得

＝.

解得m＝0或－4.

又当m＝0或－4时，直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切．因此，直线x＋y＋m＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2相切的充要条件是m＝0或－4.

一、选择题

1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　当a＝1时，N＝{1}⊆M；但当N⊆M时，推不出a＝1，比如a＝.故选A.

【答案】　A

2．“sinA＞cosB”是△ABC为锐角三角形的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　当A＝120°，B＝45°时，△ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°

【答案】　B

3．已知p：

lgx＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（　　）

A．0＜x＜1B．－1＜x＜1

C.＜x＜D．＜x＜2

【解析】　由x2lgx＜0，得0＜x＜1.设p的一个必要不充分条件为q，则p⇒q，但q⇒/p.故选B．

【答案】　B

4．（2012·天津高考）设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

【解析】　不等式2x2＋x－1＞0的解集为x＞或x＜－1，所以“x＞”是“2x2＋x－1＞0”成立的充分不必要条件，选A.

【答案】　A

5．（2013·江浙高考）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　若f（x）是奇函数，则f（0）＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝＋kπ（k∈Z），故φ＝不成立；

若φ＝，则f（x）＝Acos（ωx＋）＝－Asin（ωx），f（x）是奇函数．所以f（x）是奇函数是φ＝的必要不充分条件．

【答案】　B

二、填空题

6．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________________．

【解析】　对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．

【答案】　或

7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：

（1）“a＝0”是“函数f（x）＝x2＋ax（x∈R）为偶函数”的________；

（2）“sinα＞sinβ”是“α＞β”的________；

（3）“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________；

（4）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的________．

【解析】　利用定义求解．

【答案】　

（1）充要条件

（2）既不充分也不必要（3）充分不必要（4）必要不充分

8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．

①p是q的充分条件；

②p是q的必要条件；

③q是p的充分条件；

④q是p的必要条件．

【解析】　由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．

【答案】　①④

三、解答题

9．已知：

p：

x＞1，q：

＜1，试判断p是q的什么条件？

【解】　由＜1，得＜0，

∴x（x－1）＞0，

∴x＞1或x＜0.

∴{x|x＞1}{x|＜1}，

∴p是q的充分不必要条件．

10．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：

（1）s是q的什么条件；

（2）r是q的什么条件；（3）p是q的什么条件．

【解】　p、q、r、s的关系可以用右图表示：

（1）∵s⇒r，r⇒q，

∴s⇒q，又q⇒s，

∴s是q的充要条件．

（2）∵q⇒s，s⇒r，

∴q⇒r，又r⇒q，

∴r是q的充要条件．

（3）∵q⇒s，s⇒r，r⇒p

∴q⇒p，

∴p是q的必要条件．

11．已知p：

＜0，q：

＜0，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

【解】　由q是p的必要条件，可知{x|＜0}⊆{x|＜0}．

由a2＋2＞a，得{x|＜0}＝{x|a＜x＜a2＋2}，

当3a＋1＞2，即a＞时，{x|＜0}＝{x|2＜x＜3a＋1}，

∴，

解得＜a≤；

当3a＋1＝2，即a＝时，{x|＜0}＝∅，符合题意；

当3a＋1＜2，即a＜时，{x|＜0}＝{x|3a＋1＜x＜2}，

∴，

解得－≤a＜.

综上得，a∈[－，].

（教师用书独具）

设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

【思路探究】　先由必要性求出n值，再验证所求得的n值满足充分性．

【自主解答】　∵x2－4x＋n＝0有整数根，

∴x＝

＝2±，

∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，

∴n＝3或n＝4.

当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；

当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.

∴n＝3或n＝4.

【答案】　3或4

在一些充要条件的命题中往往是“A的充要条件是B”，这种情况下的条件实际是B，结论是A，因此其充分性是B⇒A，必要性是A⇒B．在寻求A成立的充要条件时，可先由A⇒B，再验证B⇒A.

函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π的充要条件是a＝________.

【解析】　f（x）＝cos2ax，

由f（x）的最小正周期是π，得＝π，∴a＝±1.

当a＝1时，f（x）＝cos2x；

当a＝－1时，f（x）＝cos（－2x）＝cos2x.

∴当a＝±1时，f（x）的最小正周期都是＝π.

∴a＝±1.

【答案】　±1