平方差完全平方公式培优.docx
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平方差完全平方公式培优
平方差完全平方公式
•选择题（共1小题）
1.（1999?
烟台）
F列代数式I，比逹,普
，其中整式有（
A.1个B.2个C.3个
D.4个
二.填空题（共3小题）
2.
项式.
（2011?
湛江）多项式2x2-3x+5是次
3.（2010?
毕节地区）写出含有字母x,y的四次单项式.（答案不唯一，只要写出一个）
4.（2004?
南平）把多项式2x2-3x+x3按x的降幕排列是__
5.
（1999?
内江）配方：
x2+4x+=（x+）2
配方：
x2-x+
=（x-1）2
2
三.解答题（共26小题）
5.计算：
（1）（x-y）（x+y）（x2+y2）
（2）（a-2b+c）（a+2b-c）
6.计算：
1232-124X122.
7.计算：
2004
2tfi）42-2005X2003
8.（x-2y+z）（-x+2y+z）.
9.运用乘法公式计算.
（1）（x+y）2-（x-y）2;
（2）（x+y-2）（x-y+2）;
（3）x；
（4）.
10.化简：
（m+n-2）（m+n+2）.
11.（x-2y-m）（x-2y+m）
12.计算
（1）（a-b+c-d）（c-a-d-b）;
（2）（x+2y）（x-2y）（x4-8x2/+16y4）.
13.计算：
20082-20072+20062-20052+…+22-12.
14.利用乘法公式计算：
◎（a-3b+2c）（a+3b-2c）
②472-94X27+272.
15.已知：
x2-y2=20,x+y=4,求x-y的值.
16.观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…
（1）根据上面各式的规律得：
（x-1）（xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1）=；（其中n为正整数）；
（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.
17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：
化简（2+1）（22+1）（24+1）.
解：
（2+1）（22+1）（24+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22-1）（22+1）（24+1）=（24-1）（24+1）=28-1.
18.
门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）
问题：
化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）-（364+1）.
19.（2012?
黄冈）已知实数x满足x丄=3，则x2丄的值为
20.（2007?
天水）若a2-2a+仁0.求代数式/+~丄^的值.
21.（2009?
佛山）阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2.
例如：
（x-1）2+3、（x-2）2+2x、（*x-2）2疔x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2-4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;
（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
22.（2004?
太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1,（a-b）2=25,求a2+b2+ab的值.
2+，2
23.（2001?
宁夏）设a-b=-2，求一的值.
24.已知（x+y）2=49,（x-y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2;
（2）xy.
25.已知x+丄=4,求x的值.
26.已知：
x+y=3,xy=2，求x2+y2的值.
27.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2,（a-b）2的值.
28.若x+y=2,且（x+2）（y+2）=5,求x2+xy+y2的值.
29-宀11x+1=0，求x2+；的值•
30.
（1）
求下列各式的值:
平方差完全平方公式
参考答案与试题解析
一.选择题（共
1小题）
1.（1999?
烟台）
下列代数式
2
x2+x-2,齢2
1
?
F
32_n
卩十卩，其中整式有
32
V
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点：
整式.
分析：
解决本题关键
是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.
解答：
解：
整式有X2+x
-2竺共2
2八
个.故选B.
点评：
主要考查了整
式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.
二.填空题（共3小题）
2.（2011?
湛江）多项式2x2-3x+5是二次三项式.
考点：
多项式.
专题：
计算题.
分析：
根据单项式的
系数和次数的定义，多项式的定义求解.
解答：
解：
由题意可知，多项式2x2
-3x+5是二次
三项式.
故答案为：
二，
点评：
本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
3.（2010?
毕节地区）写出含有字母x,y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）
考点：
单项式.
专题：
开放型.
分析：
单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和•••x3y,x2y2,xy3等都是四次单项式.
解答：
解：
根据四次单项式的定义，x2y2,x3y,xy3等都符合题意
（答案不唯
—A
点评：
）.
考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.
4.（2004?
南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x
考点：
多项式．
分析：
按照x的次数从大到小排列即可．
解答：
解：
按x的降幕
排列是x3+2x2—
3x．
点评：
主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．
三．解答题（共26小题）
5．计算：
（1）（x—y）（x+y）（x2+y2）
（2）（a—2b+c）（a+2b-c）
考点：
平方差公式；完全平方公式．
分析：
（1）（x—y）与
（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；
（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．
解答：
解：
（1）（x—y）
（x+y）（x2+y2），=（x2—y2）
（x2+y2），
=x4—y4；
（2）（a—2b+c）（a+2b—c），
=a2—（2b—c）2，=a2—4b2+4bc—c2．
点评：
本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．
平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2.完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2.
6•计算：
1232-124X122.
考点：
平方差公式.
分析：
先把124X122写成（123+1）
X（123-1）,利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.
解答：
解：
1232-124
X122,
=1232-
（123+1）（123
-1）,
=1232-（1232-12）,
=1.
点评：
本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.
7•计算：
2004
20042-2005X2003
考点：
平方差公式.
分析：
观察可得：
2005=2004+1,
2003=2004-1,将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.
解答：
解：
20041
20042-2005X2003
2004
20042-（2004+13X（2004-1）
2004
20042-20042+1
=2004.
点评：
本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.
8.（x-2y+z）
（-x+2y+z）.
考点：
平方差公式.
专题：
计算题.
分析：
把原式化为[Z+
（x-2y）][z-
（x-2y）]，再运用平方差公式计算.
解答：
解：
（x-2y+z）（-x+2y+z）,=[Z+（x-2y）][z-（x-2y）],=£-（x-2y）2,=£-（x2-4xy+4y）,=z2-Y+4xy-4y2.
点评：
本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.
9•运用乘法公式计算.
（1）（x+y）2-（x-y）2;
（2）（x+y-2）（x-y+2）;
（3）x；
（4）.
考点：
平方差公式．
专题：
计算题．
分析：
（1）（x+y）2-
（x-y）2可以
利用平方差公式进行计算；
（2）（x+y-2）
（x-y+2）转化成[x+（y-2）][x-（y-2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；
（3）x可以转化成（80-）
（80+）的形式，利用平方差公式计算；
（4）可以转化为（20-）2进行简便计算．
解答：
解：
（1）（x+y）
2-（x-y）2=
（x+y+x-y）
（x+y-x+y），
=4xy；
（2）（x+y-2）
（x-y+2），
=[x+（y-2）][x-（y-2）]，=x2-y2+4y-4；
（3）x,=（80-）（80+），
=；
（4）=（20-）
2=400-2X20
X+,
点评：
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式
可以使计算更加简便.
10.化简：
（m+n-2）（m+n+2）.
考点：
平方差公式.
分析：
把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是-2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.
解答：
解：
（m+n-2）
（m+n+2），
=（m+n）2-22，
22
=m+n+2mn-4.
点评：
本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式（a+b）
（a-b）=a2-b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.
11.（x-2y-m）（x—2y+m）
考点：
平方差公式.
专题：
计算题.
分析：
把x-2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.
解答：
解：
（x-2y-m）
（x-2y+m），
=（x-2y）2-m2，
=x2-4xy+4y2-m2.
点评：
本题主要考查了平方差公式，
整体思想的利
用比较关键．
12．计算
（1）（a—b+c—d）（c—a-d-b）;
（2）（x+2y）（x—2y）（x4—8x2/+l6y4）•
考点：
平方差公式．
专题：
计算题．
分析：
根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．
解答：
解：
（1）原式=（[c
—b—d）+a][（c
—b—d）—a]=（c—b—d）2
—a2=c2+b2+d2+2bd
—2bc—2cd—a2，
（2）Tx4—
8x2y2+16y4=（x2
—4y2）2
•••原式=（x2—
4y2）（x2—4y2）2=（x2—4y2）3
=（x2）3—3（x2）2（4y2）+3x2?
（4y2）2—（4y2）
3
=x6—12x4y2+48x2y4—
64y6．
点评：
本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．
13．计算：
20082—20072+20062—20052+…+22—12.
考点：
平方差公式．
分析：
分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．
解答：
解：
原式=
（20082—
20072）+（20062
-20052）+…+
（22-12）,
=（2008+2007）
（2008-2007）+（2006+2005）
点评：
（2006-2005）+（2+1）（2-1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为
1，所有两数的和组成自然数求和．
14．利用乘法公式计算：
◎（a-3b+2c）（a+3b-2c）
②472-94X27+272.
考点：
平方差公式；完全平方公式.
分析：
①可用平方差公式计算：
找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，
②把94写成2
X47后，可用完全平方公式计算.
解答：
解：
①原式=[a-（3b-2c）][a+（3b-2c）]=a2-（3b-2c）2=9b2+12bc-4c2；
②原式=472-2
X47X27+272=（47-27）
2=400.
点评：
本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记
公式是解题的关键.
1把（3b-2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；
2把94写成2
X47是利用完全平方公式的关键.
15.已知：
x2-y2=20,x+y=4,求x-y的值._5
考点：
平方差公式.
分析：
本题是平方差公式的应用.
解答：
解：
a2-b2=
（a+b）（a-b）,x2-y2=（x+y）（x-y）=20把x+y=4代入求得x-y=5.
点评：
运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x-y的值，为5.
16.观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…
（1）根据上面各式的规律得：
（x-1）（xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1）=xm-1；（其中n为正整数）；
（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.
考点：
平方差公式.
分析：
（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；
（2）先根据上面的式子可得：
1+x+x2+x3+…
+x°=（xn+1-1）+（x-1）,从
而得出
1+2+22+…
+268+269=（?
69+1
-1）r2-1）,再进行计算即可.
解答：
解：
（1）（x-1）
（xm-1+xm-
2+xm-3+…
+x2+x+1）=xm-
1;
（2）根据上面的式子可得：
23
1+x+x+x+…
+宀（xn+1-1）十（X-1）,
•••1+2+22+…
+268+269=（269+1
-1）-（2-1）
=270-1.
点评：
本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.
17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目化简（2+1）（22+1）（24+1）.
解：
（2+1）（22+1）（24+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22-1）（22+1）（24+1）=（24-1）（24+1）=28-1.问题：
化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）・・・（364+1）.
考点：
平方差公式.
分析：
根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.
解答：
解：
原式J（3
-1）（3+1）
（32+1）（34+1）
（38+1）
（364+1）,（4
分）
丄（32-1）
（32+1）（34+1）
（38+1）
（364+1）,
丄（34-1）
1
（34+1）（38+1）
（364+1）,
丄（38-1）
1
（38+1）
（364+1）,
二（364-1）
（364+1）,（8
分）
=1（3128-
=（3
点评:
1）.（10分）本题主要考查了平方差公式，关键在于把
（3+1）化简为
（3-1）（3+1）
考点：
专题：
分析：
平方差公式.
计算题.
由平方差公式，
（1+2）（1-丄）
2
=1—
2
寺（1-
解答:
丄
22
--,依此类
推，从而得出结果.
解：
原式=（1-丄
22
（1+
）（1
=1
的形式，
考点：
完全平方公式.
专题：
计算题.
分析：
将x+
—=3两边
平方,
然后移项
即可得出答案.
解答：
解：
由题意得，
1o
x+—=3,
两边平方得：
«+2+：
=9,
19.（2012?
黄冈）已知实数x满足
二=3,则x2+°的值为7
故x2+°=7.
X
故答案为：
7.
点评：
此题考查了完
全平方公式的
知识，掌握完全
平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.
20.（2007?
天水）若a2-2a+仁0.求代数式/+~岂的值•
考点：
完全平方公式.
分析：
根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.
解答：
解：
由a2-
2a+1=0得（a-
1）2=0,
•••a=1;
把a=1代入
a4+—^=1+1=2
故答案为：
2.
点评：
本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平
方公式先求出a的值，是解决本题的关键.
21.（2009?
佛山）阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2.
例如：
（x-1）2+3、（x-2）2+2x、（丄x-2）2芒x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、24
一次项、二次项--见横线上的部分）
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2-4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;
（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
考点：
完全平方公式.
专题：
阅读型.
分析：
（1）
（2）本题
考查对完全平
方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-
4x+2和
a2+ab+b2的配
方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方
后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.
解答：
解：
（1）X2-4x+2
的三种配方分别为：
x2-4x+2=（x-
2）2-2,
X2-4x+2=
（x+.'：
）2
（2,f+4）x,
x2-4x+2=CZx
-:
'：
）2-x2;
（2）a2+ab+b2=
（a+b）2-ab,
22
a+ab+b=
（Fr
（3）a2+b2+c2
-ab-3b-
2c+4,
=（a2-ab+丄b2）
（4
+（上b2-3b+3）
+（c2-2c+1）,
+（c2-2c+1）,
=（a-亍b）2〒（b
-2）2+（c-1）
2=0,
从而有a-
=b=0,b-2=0,
c-1=0,
即a=1,b=2,c=1,
a+b+c=4.
点评：
本题考查了根
据完全平方公
式：
a2±2ab+b2=
（a±b）2进行配方的能力.
22.（2004?
太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1,（a-b）2=25,求a2+b2+ab的值.
考点：
完全平方公式.
分析：
先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值.
解答：
解：
•••（a+b）
2=1,（a-b）
2=25,
.a2+b2+2ab=1,a2+b2-2ab=25.
.4ab=-24,
ab=-6,.a2+b2+ab=
（a+b）2-ab=1-（-6）=7.
点评：
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.
23.（2001?
宁夏）设a-b=-2，求*严-命的值.
考点：
完全平方公式.
分析：
对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a-b=-2代入计算即可.
解答：
解：
原式
/+b2-2ab
=2
G-b）:
1
2
•/a-b_-2,
•••原式
_（-2〉2_
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