分式函数的图像和性质.docx
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分式函数的图像和性质
分式函数的图像与性质
学习过程
1、分式函数的概念
形如
2
axbxc
yabcdefR
2（,,,,,）
dxexf
的函数称为分式函数。
如
y
2x1
2
xx
y
，
21
x
x2
，
y
4x1
x3
等。
2、分式复合函数
形如
2
a[f（x）]bf（x）c
y（a,b,c,d,e,fR）
2
d[f（x）]ef（x）f
的函数称为分式复合函数。
如
2x
21
y，
x
12
y
sinx2
3sinx3
，
y
x
x
12
3
等。
※学习探究
b
探究任务一：
函数yax（ab0）
x
的图像与性质
axb
问题1：
y（a,b,c,dR）
cxd
的图像是怎样的？
例1、画出函数
y
2x1
x1
的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】y
2x12（x1）11
x1x1x1
2，即函数
y
2x1
x1
的图像可以经由函数
y
1
x
的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：
111
右1上2
yyy
xx1x1
2
由此可以画出函数
y
2x1
x1
的图像，如下：
y
y
y
2
OO
x1
x
1
Ox
单调减区间：
（,1）,（1,）；
值域：
（,2）（2,）；
对称中心：
（1,2）。
axb
【反思】y（a,b,c,dR）
cxd
的图像绘制需要考虑哪些要素？
该函数的单调性由哪些
条件决定？
axb
【小结】y（a,b,c,dR）
cxd
的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，
需要借助“分离常数”的处理方法。
axb
分式函数y（a,b,c,dR）
cxd
的图像与性质
d
（1）定义域：
{x|x}
c
；
a
（2）值域：
{y|y}
c
；
dd
（3）单调性：
单调区间为（,）,（,+）
cc
；
da
（4）渐近线及对称中心：
渐近线为直线x,y
cc
da
，对称中心为点（,）
cc
；
（5）奇偶性：
当ad0时为奇函数；
（6）图象：
如图所示
y
y
OxOx
b
问题2：
yax（ab0）
x
的图像是怎样的？
例2、根据yx与
y
1
x
的函数图像，绘制函数
yx
1
x
的图像，并结合函数图像指出
函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，
凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。
绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：
函数的定义域为：
{x|x0}；
根据单调性定义，可以求出
yx
1
x
的单调区间
增区间：
（,1][1,）
减区间：
[1,0）,（0,1]
函数的值域为：
（,2][2,）
函数的奇偶性：
奇函数
函数图像的渐近线为：
yx,x0
函数的图像如下：
y
y
yx
yx
O
Oxx
y
1
x
【反思】如何绘制陌生函数的图像？
研究新函数性质应从哪些方面入手？
b
【小结】分式函数yax（a,b0）
x
（1）定义域：
{x|x0}；
的图像与性质：
（2）值域：
{y|y2ab,或y2ab}；
（3）奇偶性：
奇函数；
bb
（4）单调性：
在区间（,][,+）
aa
上是增函数，
bb
在区间（0,],[,0）
aa
上为减函数；
（5）渐近线：
以y轴和直线yax为渐近线；
（6）图象：
如右图所示
y
yax
2ab
b
b
a
a
O
2ab
x
例3、根据yx与
y
1
x
的函数图像，绘制函数
yx
1
x
的图像，并结合函数图像指出函
数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出
解：
函数的定义域为：
{x|x0}；
yx
1
x
的图像
根据单调性定义，可以判断出
yx
1
x
的单调性，单调增区间为：
（,0）,（0,）
函数的值域为：
R
函数的奇偶性：
奇函数
函数图像的渐近线为：
yx,x0
函数的图像如下：
y
y
yx
Ox
Ox
y
1
x
【反思】结合刚才的两个例子，
yx
1
x
与
1
yx
x
的图像又是怎样的呢？
思考
y2x+
1
x
与
y3x
2
x
b
的图像是怎样的呢？
yax（a,bR,ab0）
x
的图像呢？
函数
yx
1
x
的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
y
y
yx
x
yx
O
y
1
x
O
x
【注】
11
，由于yf（x）与yf（x）的图像关于x轴对称，所以还
yx（x）
xx
可以根据
yx
1
x
的图像，对称的画出
yx
1
x
的图像。
同样的道理
1
yx
x
的图像
与
yx
1
x
的图像关于x轴对称，所以图像如下：
y
y
yx
1
x
1
yx
x
Ox
x
O
b
【小结】yax（a,bR,ab0）
x
b
（i）yax（a0,b0）
x
的图像如下：
y
yax
xO
b
（ii）yax（a0,b0）
x
y
yax
Ox
b
（iii）yax（a0,b0）
x
y
yax
x
O
b
（iv）yax（a0,b0）
x
[来源:
学+科+网Z+X+X+K]
y
yax
x
O
b
yax（a,bR,ab0）
x
的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：
函数
2
axbxc
yabcdefR
dxexf
2（,,,,,）
的图像与性质
问题3：
函数
y
2
2xx1
x1
的图像是怎样的？
单调区间如何？
【分析】
22
2xx12（x1）3（x1）22
y2（x1）3
x1x1x1
y2x
2
x
12
左
y2（x1）
x
1
2
32xx1
y
下
x1
所以
y
2
2xx1
x1
的图像与
y2x
2
x
的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：
（1,3）
单调增区间为：
（,2][0,）
单调减区间为：
[2,1）,（1,0]
值域：
（,7][1,）
图像如下：
y
1
21
O
x
3
7
【反思】函数
y
x1
2
2xx1
的性质如何呢？
单调区间是怎样的呢？
【小结】对于分式函数
2
axbxc
y2（a,b,c,d,e,fR）
dxexf
而言，分子次数高于分母时，
可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟
悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。
对于分子
的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着
力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。
如：
x111
y（x1）
2
22
2xx12（x1）3
2xx1
x1
x1
二次分式函数具有形式
2
AxBxC
yf（x）0）
2（,
AB不同时为.
DxExF
我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.
1.定义域和有界性
20
2
当方程有解,设121
DxExFx,x（xx）是DxExF=0两个根.则函数定义
2
域{xR|xx1xx2}.当
22
Ax1Bx1C0,lim或Ax2Bx2C0,lim.此时函数无界.当
xxxx
12
22
Ax1Bx1C=0且Ax2Bx2C=0,函数有界且为常值函数（很少遇到的情况,比如
y
2
x
2
x
1
1
）.所以通常当
240
EDF,二次分式函数是无界的.xx1,xx2是函数的渐
近线.
当
240
EDF,函数定义域为R.函数有界.
2.单调性,极值,值域
当
240
EDF,
20
DxExF,可以将函数化为
2=2.
x的方程yDxExFAxBxC.
2B0
即.对于
xDyAxEyFyC
值域中的每一个y,方程都有实数解,当DyA0,0,当DyA=0,验证是否有解.这
样就可以求出值域.值域的两个端点（方程的两个解）为函数极大值和极小值.但为了计算在何
处取得极值,需将极值代入
2B0
xDyAxEyFyC函数解出x,计算可能有
点慢.下文会给出一个简便的计算方法.
limf（x）
x
A
D
根据极值与
A
D
的大小即可判断单调区间.
240
EDF这种情况最多有
三个单调区间.
当
240
EDF,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出yR.出现这种情况,求解
20
DxExF和
20
AxBxC.分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分
式值域.比如
2
2
12xx1x1x3
yxx
11且2
2
2xx1x2x2x2x
取所以函数值域且
x1,y0,y|y0y1.
分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体
例子.
y
2
3x3x2
2
x
x5
.首先定义域
2
{x|xx50}解得
11
{x|x121）x（121}.分离分子中的二次项得
22
t13
令.代入得
t6x13,x
6
y3
6x13
2
xx
5
.
y3
1
2
xx
5
6x13
3
1
11
513t13t
636
t
2
3
1
6732tt
36t
2
3
1
67t8
36t369
当t0
y
1131267
33
67t8
21
678
2
36369369
t2
67tt136713
当,t67取等号,x
36t3666
当t0
y
1131267
33
67t8
21
678
2
36369369
t
2
67t6713
当,t67取等号,x
36t366
函数值域
3126731267
（-,-）?
（,+）
2121
根据
2
3x3x2
lim3
2
xxx5
3-
3126731267
2121
67131216713121
6262
可判断出单调区间
增区间
1111
（-,1367）,（1367,121）,（121,+）
6622
减区间
1111
（1367,121）,（121,1367）
6226
共有5个单调区间
顺便再算一下函数零点
11
2
3x3x2=0解得x=333,x=333
12
66
有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像
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