幂函数的图像与性质.doc
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【知识结构】
1．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:
;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：
分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①aras=ar+s（a>0,r、s∈Q）;②（ar）s=ars（a>0,r、s∈Q）;
③（ab）r=arbs（a>0,b>0,r∈Q）;.
例2
（1）计算：
；
（2）化简：
变式：
（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
（3）
（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
注：
幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幂函数的是（）
A． B． C． D．
例2.已知函数，当为何值时，：
（1）是幂函数；
（2）是幂函数，且是上的增函数；
（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
变式已知幂函数，当时为减函数，则幂函数．
2.幂函数的图像
幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．
α的正负：
α＞0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0，）
值域
R
[0，）
R
[0，）
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，）时，增；
x∈时，减
增
增
x∈（0,+）时，减；
x∈（-,0）时，减
定点
（1，1）
例3．比较大小：
（1）
（2）（3）（4）
4.幂函数的性质及其应用
幂函数y＝xα有下列性质：
（1）单调性：
当α＞0时，函数在（0，＋∞）上单调递增；
当α＜0时，函数在（0，＋∞）上单调递减．
（2）奇偶性：
幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例4．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
例5.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．
变式：
已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.
（1）求函数f（x）;
（2）讨论F（x）=a的奇偶性.
5.规律方法
（1）．幂函数y＝xα（α＝0,1）的图象
（2）.幂函数的图象
6.性质：
（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；
（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；
（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是．
x
O
y
例6右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是 （）
例7若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
例8若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。
【巩固练习】
1．在函数中，幂函数的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、幂函数的图象都经过点（）
A．（1，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，0）
3、幂函数的定义域为（）
A．（0,+¥）B．[0,+¥）C．RD．（-¥，0）U（0,+¥）
4．若幂函数在上是增函数，则（）
A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定
5．若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则（）
A．>1 B．<1 C．=l D．不能确定
6．若函数f（x）＝x3（x∈R），则函数y＝f（－x）在其定义域上是（ ）
A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数
7．已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f（x）
1
则不等式f（|x|）≤2的解集是（ ）
A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}
C．{x|－≤x≤} D．{x|0＜x≤}
8．如果幂函数y＝（m2－3m＋3）的图象不过原点，则m的取值是（ ）
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
9、当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是
A、a＜1 B、0＜a＜1 C、a＞0 D、a＜0
二、填空题：
11、若＜，则a的取值范围是____；
12.函数的定义域为___________.
（A）（B）（C）（D）（E）（F）
13．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则满足f（x）＝27的
x的值是________．
14．已知a＝，函数f（x）＝ax，若实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，
n的大小关系为________．
幂函数的性质与图像测试
一、填空题
1.若幂函数的图像过点，则函数的解析式为__________.
2.已知函数是幂函数，则实数的值为__________.
3.幂函数的图像与两坐标无交点且关于轴对称，则的值等于_________.
4.设，已知幂函数是偶函数，且在区间上是减函数，则满足要求的值的个数是__________.
5.已知函数的图像的对称中心是，则函数的单调递减区间是_________.
6.已知幂函数的图像当时，在直线的上方；当时在直线的下方，则的取值范围是__________.
7.函数的图像可以看成由幂函数的图像向__________平移________个单位.
8.已知，则实数的取值范围是_________.
二、选择题
9.如图，、、、分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①；②；③；④，则、、、与四个函数序号的对应顺序只可能是（）.
（A）①②③④ （Ｂ）②③④①
（Ｃ）②①③④ （Ｄ）③②①④
10.下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（）.
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
11.当时，下列函数的图像全在直线下方且为偶函数的是（）.
（Ａ） （Ｂ）（Ｃ） （Ｄ）
12.设和是两个不同的幂函数，集合，则集合中元素的个数是（）
（Ａ）1或2或0 （Ｂ）1或2或3
（Ｃ）1或2或3或4 （Ｄ）0或1或2或3
三、解答题
13.研究函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.
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