等差数列的概念与通项公式优秀课件.ppt
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,等差数列的概念与通项公式
(1),学习目标,目标1:
理解等差数列的概念.,目标2:
掌握等差数列的通项公式及推导方法.,目标3:
掌握等差数列的通项公式的简单应用.,复习回顾,一、数列的定义,通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
两个实例,图中表示堆放的钢管,共堆放了7层,自上而下分别有4,5,6,7,8,9,10根钢管,钢管数排成一个数列:
4,5,6,7,9,8,10,写成数列就是:
4,5,6,7,8,9,10。
某剧院前排座位号分别是:
56,54,52,50,48,46,44,42,40,38。
请同学们思考,这两个数列有何共同特点?
从第二项起,后一项与前一项的差是1。
从第二项起,后一项与前一项的差是2.,等差数列的定义,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。
公差通常用字母d表示.,你能再举出一些等差数列的例子吗?
练习一:
判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是?
如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由。
你能求出等差数列(4)的第100项吗?
通项公式的推导,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则始终有:
a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,所以有:
a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,an=a1+(n1)d当n=1时,上式也成立。
问an=?
通过观察:
a2,a3,a4都可以用a1与d表示出来;a1与d的系数有什么特点?
所以等差数列的通项公式是:
an=a1+(n1)d,通项公式的另一推导:
例1
(1)求等差数列8,5,2,的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列5,-9,-13的项?
如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
分析
(1)由给出的等差数列前三项,先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,就可以求出第20项a20.,解:
(1)由题意得:
a1=8,d=5-8=-3,n=20这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=-3n+11a20=11-320=-49,分析
(2)要想判断-401是否为这个数列中的项,关键是要求出通项公式,看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得:
a1=-5,d=-9-(-5)=-4这个数列的通项公式是:
an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100-401是这个数列的第100项。
练习二,
(1)求等差数列3,7,11的第4项与第10项;
(2)判断100是不是等差数列2,9,16,的项?
如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
解:
(1)根据题意得:
a1=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=4n-1a4=44-1=15,a10=410-1=39.,
(2)由题意得:
a1=2,d=9-2=16-9=7这个数列的通项公式是:
an=2+(n-1)7=7n-5(n1)令100=7n-5,得n=15-401是这个数列的第15项。
例2某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。
已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径。
课本P.35例1:
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次奥运会如因故不能举行,届数照数
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;()2008年北京奥运会是第几届?
2050年举行奥运会吗?
例3在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解之得:
小结:
已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立二元一次方程组。
这种题型有简便方法吗?
请同学们思考并做以下练习。
练习三,已知等差数列an中,a4=10,a7=19,求a1和d;,思考题:
已知等差数列an中,am,d是常数,试求出an的值。
分析:
本题是一个含有字母的计算题,做题时必须将am,d看成是常数.,解:
设等差数列an的首项是a1,依题意可得:
am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d-得:
an-am=a1+(n1)d-a1+(m-1)d=(n-m)dan=am+(n-m)d,思考练习:
已知等差数列an中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一:
依题意得:
a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1这个数列的通项公式是:
an=11-(n-1)=12-n故a12=0,a3n=123n.,解法二:
例4
(1)在等差数列an中,是否有
(2)在数列an中,如果对于任意的正整数n(n2),都有那么数列an一定是等差数列吗?
例5如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列,且AD21cm,这三个正方形的面积之和是179cm2.
(1)求AB,BC,CD的长;
(2)以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第10项为边长的正方形的面积是多少?
小结,通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式:
an-an-1=d(n2);.其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n1).本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个,应用方程的思想,可以求出另外一个。
最后,还要注意一重要关系式,an=am+(n-m)d的理解与应用。
作业:
课本P.39-1,2,3,4,5,7.课课练P.23-P.24.,等差数列的概念与通项公式2,等差数列定义:
等差数列的通项公式:
复习回顾:
等差数列通项公式的一个变式,梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度。
解:
用an表示梯子自上而下各级宽度成的等差数列,,a1=33,a12=110,n=12.,由已知条件有,由通项公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,解得d=7.,因此,a2=33+7a3=40+7a4=54a5=61a6=68a7=75a8=82a9=89a10=96a11=103.,答:
梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.,例1:
已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,且p0,那么这个数列是否一定是等差数列吗?
如果是,其首项与公差是什么?
分析:
由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看anan-1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了,解:
取数列中的任意相邻两项an-1与an(n2)anan-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数,所以是等差数列,且公差是p在通项公式中令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p,例2:
首项是1,公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点,如右图,例如:
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?
由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:
A-a=b-A,即,反之,若,则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.,总之:
成等差数列.,也就是说:
是a,A,b成等差数列的充要条件.,思考:
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:
数列:
1,3,5,7,9,11,13,中,等差数列的性质1:
即:
求下列各题中两个数的等差中项。
(1)、100与180,
(2)、2与6,练习:
解:
(1)100与180的等差中项是140,
(2)-2与6的等差中项为2,证明:
设首项为,,则,例3:
在等差数列,中,,若,则,等差数列性质2:
例4:
(1)已知等差数列an中,a3a15=30,求a9,a7a11,解:
(1)a9是a3和a15的等差中项,
(2)已知等差数列an中,a3a4a5a6a7=150,求a2a8的值,7+11=3+15,
(2)3+7=4+6=5+5,a3a4a5a6a7=5a5=150,即a5=30,故a2a8=2a5=60,a7a11=a3a15=30,a3a7=a4a6=2a5,练习:
(1)在等差数列an中,a3a9a15a21=8,求a12=,
(2)已知等差数列an中,a3和a15是方程x26x1=0的两个根,则a7a8a9a10a11=,2,已知等差数列an中,a3a5=14,2a2a6=15,求a8,例5:
解:
3+5=2+6,,则2a2a6=a2a3a5=a214=15,故a2=15+14=1,a6=152a2=152
(1)=-13,故a8=2a6a4=2(-13)(-7)=-19,a3a5=a2a6,例6已知三个数成等差数列,它们的和是12,积是48,求这三个数.,小结:
(1)由通项公式如何判定它是等差数列。
(2)等差数列性质1,(3)等差数列性质2,作业:
课本:
P.39:
6,8,9,10,11.课课练P.25-P.26.,19、一个人的理想越崇高,生活越纯洁。
20、非淡泊无以明志,非宁静无以致远。
21、理想是反映美的心灵的眼睛。
22、人生最高之理想,在求达于真理。
便有了文明。
24、生当做人杰,死亦为鬼雄。
25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。
26、人需要理想,但是需要人的符合自然的理想,而不是超自然的理想。
27、生活中没有理想的人,是可怜的。
28、在理想的最美好的世界中,一切都是为美好的目的而设的。
29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上,还要在精神旨趣的满足上得到表现。
30、生活不能没有理想。
应当有健康的理想,发自内心的理想,来自本国人民的理想。
31、理想是美好的,但没有意志,理想不过是瞬间即逝的彩虹。
32、骐骥一跃,不能十步;驽马十驾,功在不舍;锲而舍之,朽木不折;锲而不舍,金石可镂。
荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。
34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。
35、理想对我来说,具有一种非凡的魅力。
36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。
37、理想的书籍是智慧的钥匙。
人生的旅途,前途很远,也很暗。
然而不要怕,不怕的人的面前才有路。
鲁迅2人生像攀登一座山,而找寻出路,却是一种学习的过程,我们应当在这过程中,学习稳定、冷静,学习如何从慌乱中找到生机。
席慕蓉3做人也要像蜡烛一样,在有限的一生中有一分热发一分光,给人以光明,给人以温暖。
萧楚女4所谓天才,只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。
鲁迅5人类的希望像是一颗永恒的星,乌云掩不住它的光芒。
特别是在今天,和平不是一个理想,一个梦,它是万人的愿望。
巴金6我们是国家的主人,应该处处为国家着想。
雷锋7我们爱我们的民族,这是我们自信心的源泉。
周恩来8春蚕到死丝方尽,人至期颐亦不休。
一息尚存须努力,留作青年好范畴。
吴玉章9学习的敌人是自己的满足,要认真学习一点东西,必须从不自满开始。
对自己,“学而不厌”,对人家,“诲人不倦”,我们应取这种态度。
毛泽东10错误和挫折教训了我们,使我们比较地聪明起来了,我们的情就办得好一些。
任何政党,任何个人,错误总是难免的,我们要求犯得少一点。
犯了错误则要求改正,改正得越迅速,越彻底,越好。
毛泽东38、理想犹如太阳,吸引地上所有的泥水。
9君子欲讷于言而敏于行。
论语译:
君子不会夸夸其谈,做起事来却敏捷灵巧。
10二人同心,其利断金;同心之言,其臭如兰。
周易译:
同心协力的人,他们的力量足以把坚硬的金属弄断;同心同德的人发表一致的意见,说服力强,人们就像嗅到芬芳的兰花香味,容易接受。
11君子藏器于身,待时而动。
周易译:
君子就算有卓越的才能超群的技艺,也不会到处炫耀、卖弄。
而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。
12满招损,谦受益。
尚书译:
自满于已获得的成绩,将会招来损失和灾害;谦逊并时时感到了自己的不足,就能因此而得益。
13人不知而不愠,不亦君子乎?
论语译:
如果我有了某些成就,别人并不理解,可我决不会感到气愤、委屈。
这不也是一种君子风度的表现吗?
知缘斋主人14言必信,行必果。
论语译:
说了的话,一定要守信用;确定了要干的事,就一定要坚决果敢地干下去。
15毋意,毋必,毋固,毋我。
论语译:
讲事实,不凭空猜测;遇事不专断,不任性,可行则行;行事要灵活,不死板;凡事不以“我”为中心,不自以为是,与周围的人群策群力,共同完成任务。
16三人行,必有我师焉,择其善者而从之,其不善者而改之。
论语译:
三个人在一起,其中必有某人在某方面是值得我学习的,那他就可当我的老师。
我选取他的优点来学习,对他的缺点和不足,我会引以为戒,有则改之。
17君子求诸己,小人求诸人。
论语译:
君子总是责备自己,从自身找缺点,找问题。
小人常常把目光射向别人,找别人的缺点和不足。
很多人(包括我自己)觉得面试时没话说,于是找了一些名言,可以在答题的时候将其穿插其中,按照当场的需要或简要或详细解释一番,也算是一种应对的方法吧1天行健,君子以自强不息。
周易译:
作为君子,应该有坚强的意志,永不止息的奋斗精神,努力加强自我修养,完成并发展自己的学业或事业,能这样做才体现了天的意志,不辜负宇宙给予君子的职责和才能。
2勿以恶小而为之,勿以善小而不为。
三国志刘备语译:
对任何一件事,不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做;相反,对于一些微小的。
却有益于别人的好事,不要因为它意义不大就不去做它。
3见善如不及,见不善如探汤。
论语译:
见到好的人,生怕来不及向他学习,见到好的事,生怕迟了就做不了。
看到了恶人、坏事,就像是接触到热得发烫的水一样,要立刻离开,避得远远的。
4躬自厚而薄责于人,则远怨矣。
论语译:
干活抢重的,有过失主动承担主要责任是“躬自厚”,对别人多谅解多宽容,是“薄责于人”,这样的话,就不会互相怨恨。
5君子成人之美,不成人之恶。
小人反是。
论语译:
君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发,全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求,不会用冷酷的眼光看世界。
或是唯恐天下不乱,不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。
小人却相反,总是“成人之恶,不成人之美”。
6见贤思齐焉,见不贤而内自省也。
论语译:
见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点,就虚心请教,认真学习,想办法赶上他,和他达到同一水平;见有人存在某种缺点或不足,就要冷静反省,看自己是不是也有他那样的缺点或不足。
7己所不欲,勿施于人。
论语译:
自己不想要的(痛苦、灾难、祸事),就不要把它强加到别人身上去。
8当仁,不让于师。
论语译:
遇到应该做的好事,不能犹豫不决,即使老师在一旁,也应该抢着去做。
后发展为成语“当仁不让”。
18君子坦荡荡,小人长戚戚。
论语译:
君子心胸开朗,思想上坦率洁净,外貌动作也显得十分舒畅安定。
小人心里欲念太多,心理负担很重,就常忧虑、担心,外貌、动作也显得忐忑不安,常是坐不定,1.书到用时方恨少,事非经过不知难。
陈廷焯译:
知识总是在运用时才让人感到太不够了,许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。
72、笨鸟先飞早入林,笨人勤学早成材。
省世格言译:
飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林,不够聪明的人只要勤奋努力,就可以比别人早成材。
73.书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。
增广贤文译:
勤奋是登上知识高峰的一条捷径,不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。
74.学如逆水行舟,不进则退。
增广贤文译:
学习要不断进取,不断努力,就像逆水行驶的小船,不努力向前,就只能向后退。
75.吾生也有涯,而知也无涯。
庄子译:
我的生命是有限的,而人类的知识是无限的。
76.天下兴亡,匹夫有责。
明顾炎武译:
国家的兴旺、衰败,每一个人都负有很大的责任。
77.生于忧患,死于安乐。
孟子译:
逆境能使人的意志得到磨炼,使人更坚强。
相反,时常满足于享受,会使人不求上进而逐渐落后。
78.位卑未敢忘忧国。
陆游病起书怀译:
虽然自己地位低微,但是从没忘掉忧国忧民的责任。
79.人生自古谁无死,留取丹心照汉青。
宋文天祥过零丁洋译:
自古以来,谁都难免会死的,那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧!
80.先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。
宋范仲淹岳阳楼记译:
为国家分忧时,比别人先,比别人急;享受幸福,快乐时,却让别人先,自己居后。
知缘斋主人81.小来思报国,不是爱封侯。
唐岑参关人赴安西译:
从小就想着报效祖国,而不是想着要封侯当官。
)82.有益国家之事虽死弗避。
明吕坤呻吟语卷上译:
对国家有利的事情要勇敢地去做,就算有死亡的危险也不躲避译:
风声、雨声、琅琅读书声,都进入我们的耳朵,所以,作为一个读书人,家事、国事,天下的事情,各种事情都应该关心,不能只是死读书。
87.生当作人杰,死亦为鬼雄。
宋李清照夏日绝句译:
活着的时候要做英雄,死后也要当英雄。
88.利于国者爱之,害于国者恶之。
晏子春秋译:
对于国家有利的事就要热心地去做,对国家有害的事就要憎恶它,远离它。
89.读书本意在元元。
宋陆游译:
读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务,而不是为了自己的升官发财。
90.时穷节乃现,一一垂丹青。
宋文天祥译:
历史上许多忠臣义士,在国家有难时,他们的节操就显现出来,一个个名垂史册。
91.哀哀父母,生我劬劳。
诗经译:
想起父母,做子女的是多么为他们感到心痛啊!
他们生我育我,花费了多少辛勤的劳动啊!
92.报国之心,死而后已。
宋苏轼译:
报效祖国的志向到死都不会变。
93.忧国忘家,捐躯济难,忠臣之志也。
三国曹植求自诚表译:
忧虑国家大事忘记小家庭,为拯救国家危难而捐躯献身,这都是忠臣的志向。
94.大丈夫处世,当扫除天下,安事一室乎?
汉陈蕃语译:
有志气的人活在世上,应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争,哪能只满足于处理好自己小家的小事呢?
95.君子之交淡如水,小人之交甘若醴。
庄子译:
君子之间的交往,像水一样的平淡、纯净,这样的友谊才会持久;往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠,但不会长久。
96.老吾老,以及人之老;幼吾幼,以及人之幼。
孟子译:
尊敬、爱戴别人的长辈,要像尊敬、爱戴自己长辈一样;爱护别人的儿女,也97.见侮而不斗,辱也。
公孙龙子译:
当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出,是一种耻辱的表现。
98.天下皆知取之为取,而莫知与之为取。
后汉书译:
人们都认为只有获取别人的东西才是收获,却不知道给予别人也是一种收获。
99.人固有一死,或重于泰山,或轻于鸿毛。
汉司马迁史记译:
人终究免不了一死,但死的价值不同,为了人民正义的事业而死就比泰山还重,而那些自私自利,损人利已的人之死就比鸿毛还轻。
知缘斋主人100.羊有跪乳之恩,鸦有反哺之义。
增广贤文译:
羊羔有跪下接受母乳的感恩举动,小乌鸦有衔食喂母鸦的情义,做子女的更要懂得孝顺父母83.一寸山河一寸金。
金左企弓语译:
祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵,是绝不能让给外人的。