方法归纳利用勾股定理解决折叠问题.docx

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方法归纳利用勾股定理解决折叠问题

方法归纳--利用勾股定理解决折叠问题

方法归纳利用勾股定理解决折叠问题

一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）

A.

cmB.

cmC.

cmD.

cm

【分析】图中CD在Rt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.

【方法归纳】

1.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

2.（2014·青岛）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）

A.4B.3

3.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）

A.3B.4C.5D.6

4.如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）

A.1B.2C.3D.4

5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为

A′，且B′C=3，则AM的长为（）

B.2C

6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为__________.

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是__________.

8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为__________.

二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题

【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm.

【分析】将圆柱形平面展开，将A、C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.

【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18cm.

9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（）

A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm

10.如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是__________m（精确到0.01m）.

11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6cm，底面是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？

最短长度是多少？

12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

参考答案

例1要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线.

设CD=x，则AD=BD=10-x.

在Rt△ACD中，由勾股定理，得x2+52=（10-x）2.解得x=

.

故应选D.

变式练习

1.A2.A3.D4.B5.B6.77.6cm28.

例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后，侧面是一个长18cm，宽12cm的长方形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.

由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP.

由已知和长方形的性质，得DC=9,BD=12.

在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=

=

=15.

∴AP+PC=BP+PC=BC=15.

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.

变式练习

9.C10.2.60

11.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图.构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，

易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.

即O为DC的中点，

由勾股定理得AC′2=AD′2+D′C′2=82+62=100,

∴AC′=10cm.

即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10cm.

12.

（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1′和AC1两种.

（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长l1=

=

.

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2=

=

.

∵l1>l2，

∴最短路径的长是

.