第9讲变量间的关系.docx

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第9讲变量间的关系

第9讲变量间的关系

◆考点链接

1．能发现实际情境中的两个变量及其关系．

2．能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言准确表达．

3．理解平面上的位置与平面直角坐标系之间的联系．

4．利用点的坐标变化，将图形放大、缩小、对称、平移变换．

◆典例精析

【例题1】某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图3－1－1，根据图象回答：

（1）当______时，港口的水最深，深度是_______m；

（2）当______时，港口的水最浅，深度是_______m；

（3）当______时，港口的水深一样深，都是________m；

（4）用语言描述水深随时间的变化情况；

（5）一艘货船于上午7：

30在码头开始卸货，计划当天卸完后离港，已知这艘船卸货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离水面的距离）．该港口规定：

为了保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港，则该船出港时水深不少于_______m，卸货只能用_______h．

解题思路：

观察图象可知，10：

00水最深，21：

00最浅．关键要抓住：

8：

00～9：

00，1：

00水深都一样深，解决（4）问就不易出错了，船只要安全进出该港口，水深不得少于6m，只能有9h时间供卸货用，这是解决（5）问的关键．

解：

（1）10：

00，7.5m

（2）21：

00，3m（3）8：

00～9：

00，11：

00，7m（4）0：

00～8：

00，9：

00～10：

00，21：

00～24：

00，水深在增加10：

00～21：

00，水深在减小（5）6m，7.5m．

评析：

题中的图象有生动的实际背景，必须细心观察有关特征，结合实际问题的背景知识，才能准确地解答这类题目中的若干问题．一般地，两个变量之间的关系用图象表示出来，有别于我们熟悉的一次函数、反比例函数、二次函数这些规律性极强的函数的图象．

【例题2】阅读下列材料：

“父亲和儿子同时出去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象．由图可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练了30min，他们同时到家．”

（1）

（2）（3）

根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或用其他方法解答问题：

一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮速度分别为100km/h和20km/h，巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻．（巡逻艇调头的时间忽略不计）

（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？

（2）出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？

此时离A港口多少千米？

解题思路：

在给出的平面直角坐标系（图3）中，同时画出巡逻艇往返于A、B港口，货轮由A港口航行到B港口的函数图象即可找到解决问题的办法．

解：

实线表示巡逻艇往返于A、B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象；虚线表示货轮从A港口航行到B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象（图3）．

由图可知，货轮从A港口出发以后到直B港口与巡逻艇一共相遇了4次．第三次在M处相遇，则BM=

AB．出发3h20min时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口

km．

评析：

通过阅读一段较为简单的数学材料，从中体会情境与图象的关系以及处理某些问题的方法，从而达到考察学生的阅读和获取信息，分析数据和相关材料解决问题的能力．

【例题3】如图，在直角坐标系中，点A（5，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△AOB全等，并且它们有一条公共边，请你写出这个直角三角形所有可能的未知顶点的坐标．

解题思路：

由题意，两个Rt△全等，且有一条公共边，考虑原△ABO的三边都可以作公共边，利用翻折、旋转、平移等方法，图中的P1、P2、P3点的坐标易求且不会遗漏，在寻找P4、P5、P6点时，翻折、旋转、平移三种方法要综合使用．另外使用好分类的思想方法，也是杜绝遗漏这六个点中的某些点的情况产生的很好方法．

解：

如图所示，满足条件的三角形未知顶点的坐标有P1（5，4），P2（0，－4），P3（－5，0），P4（－5，4），P5（5，－4），连结P6O交AB于F，作P6E⊥OA于E．

∵△ABP6是将△ABO沿AB翻折得到的．

∴根据对称性，P6O⊥AB，且OF=FP6，

（也可以利用相似比求AF的长）．

∵

P6O·AF=

OA·P6E，

∴P6E=

，由△OEP6∽△OFA，得OE=

．

∴P6的坐标是（

，

）．

评析：

以OA、OB、AB为公共边构造与△AOB全等的直角三角形都有两种情况，所以满足条件的6种情况就自然产生，类似的可解决有关等腰三角形的问题．另外，面积法求直角三角形斜边上的高较其它方法方便，同学们应引起足够重视，还应注重平面几何的翻折、旋转、平移等方法在代数中的应用．

◆探究实践

【问题1】如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距10

km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，试探索两船能否有一个最近距离？

若有，这个最近距离是多少千米？

何处是这个最近位置？

解题思路：

B→C，A→C分别是B、A船的航行方向，且△ABC是等腰Rt△，AB=10

km，∴BC=AC=10km．设同一时刻B到B′，A到A′，不妨设AA′=x（km），则BB′=2x（km），由勾股定理可找到两船的距离A′B′与x的表达式，问题就可解答．

解：

如图，AA′=x（km），则BB′=2x（km）．

由题意知△ABC是等腰Rt△，AC=BC=10km．

∴B′C=10－2x，A′C=10－x．

由勾股定理得A′B′=

．

∴当x=6时，A′B′=

=2

最小．

即当A船，B船分别航行6km，12km时处在最近的位置上，这个最近距离是2

km．

评析：

将两个变量、两船的距离、A船行驶的路程的关系找出来，进行配方，利用非负数的性质解答此题是关键．解决最大（最小）值问题通常用的方法是：

（1）配方，利用非负数性质；

（2）抛物线的顶点坐标；（3）两点之间线段最短．

【问题2】某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位．

（1）后面每一排比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式并求n的取值范围；

（2）其他条件不变，当后面每一排都比前一排多2个座位时写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式（1≤n≤25，且n为整数）；

（3）当后面每一排都比前一排多3个座位，4个座位时，分别写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式（1≤n≤25，且n为整数）；

（4）某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并指出n的取值范围；

（5）针对第

（1）问你能求出该礼堂总共有多少个座位吗？

解题思路：

此题系课本习题的改编题，抓住后面每一排比前一排增加的座位个数与排数之间的数字规律，此题就不难解答了．第（5）问实际上是计算20+（20+1）+（20+2）+…+（20+24）的值的问题，又转化为计算20×25+（1+2+3+…+24）的值的问题，相信同学们已看出了计算方法．

解：

（1）m=19+n，1≤n≤25且n为整数．

（2）m=18+2n．

（3）所求关系式分别为m=17+3n，m=16+4n．

（4）m=（a－b）+bn，1≤n≤p且n为整数．

（5）礼堂总共有座位个数是20×25+（1+2+3+…+24）=500+

=800（个）．

评析：

寻找两个变量之间的关系时，如果是数字规律的题型，那么一般方法是找到变化过程中的不变量和改变量，再寻找改变量与序号（如：

排数、个数、千克数、秒数等）的变化规律；如果是面积、体积、周长类题型，那么一般方法是找到变化过程中所要用到的公式中所缺的量（如：

高、底边等），或者将所缺的量用变量表达出来）．

◆中考演练

一、填空题

1．如果点M（ab，a+b）在第四象限，那么点N（a，－b）在第______象限．

2．点A（－5，2）关于x轴对称的点B的坐标是_______．

点P（6，－4）关于y轴对称的点Q的坐标是________．

3．如图1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为________．

（1）

（2）

二、选择题

1．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图2所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（）．

A．37.2minB．48minC．30minD．33min

2．为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：

（1）若每月每户居民用水不超过4m3，则按每立方米2元计算；

（2）若每月每户居民用水超过4m3，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）．现假设该市某户居民某月用水x（m3），水费y元，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）．

3．（山西）若用图

（1）

（2）（3）四幅图象分别表示变量之间的关系．

请按图象所给顺序，将下面的（a）（b）（c）（d）对应排序：

（a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）；（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的质量的关系；（c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；（d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）

正确的顺序是（）．

A．（c）（d）（b）（a）B．（a）（b）（c）（d）

C．（b）（c）（a）（d）D．（d）（a）（c）（b）

三、解答题

1．如图，直角梯形ABCD，BA⊥x轴于A，BC∥OA，OA=10，OC=4，∠AOC=30°．

（1）求B，C两点的坐标；

（2）求梯形AOCB的面积．

2．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点B在坐标原点，∠α=60°，求点D的坐标．

◆实战模拟

一、填空题:

1．已知：

点A（－2，0），B（－1，－3），C（4，0），D（1，4），则四边形ABCD的面积是_____．

2．m为整数，点P（1－m，3m－9）关于x轴对称的点在第二象限，则点P到原点的距离是________．

3．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在P1，P2，P3，P4……P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=________．

二、选择题

1．某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管的水速是均匀的，那么泳池内水的高度h随时间t变化的图象是（）．

2．如右图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm，动点P从A出发，在折线AD→DC→CB上以1cm/s的速度向B点匀速运动，那么表示△ABP的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系的图像是（）．

3．三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为a（m3），平均每天流出的水量控制为b（m3），当蓄水位低于135m时，b

三、解答题:

1．（长沙）我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200t，B村有柑桔300t．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240t，D仓库可储存260t；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x（t），A，B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y元和y元．

（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

C

D

总计

A

x（t）

200t

B

300t

总计

240t

260t

500t

（2）试讨论A，B两个村中，哪个村的运费较少？

2．如图，菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O→A→B路线运动．点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度，在AB上以每秒2cm的速度沿O→A→B路线运动．过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设点P运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y（cm）．请你回答以下问题：

（1）当x=3时，y的值是多少？

（2）就下列情形，求y与x之间的关系式．

①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．

（3）点P运动到何处时，所围图形的周长最大？

（4）在同一直角坐标系中，用图象表示

（2）中的各种情形下y与x的关系．

参考答案

中考演练

一、1．二2．（－5，－2），（－6，－4）3．（－b，a）

二、1．A2．C3．A

三、1．

（1）B（10，－2）C（2

，－2）

（2）20－2

2．D（

）

实战模拟

一、1．212．

3．2006

二、1．B2．A3．B

三、1．

（1）填表格，yA=－5x+5000（0≤x≤200），yB=3x+4680（0≤x≤200）

（2）由A村调往C50t，由B调往C190t，调往D110t时运费之和最小，为9580元．

2．

（1）y=8

（2）①当0≤x≤2时，y=3OP，即y=3x，

②当2≤x≤4时，y=3PO－QO=3x－（x－2）=2x+2

③当4≤x≤6时，y=2（OA+AP）－QO+BP=2x－（x－2）+（8－x）=10

④当6≤x≤8时，AQ=2[（x－2）－4]=2x－12，

y=3[（AB－AQ）]－PB=3[4－（2x－12）]－（8－x）=－5x+40

（3）当点P运动的时间x在4≤x≤6时，周长的值最大

（4）提示：

分段画图，图略.