待定系数法分解因式.docx
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待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
…•…名师点拨
经验谈：
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
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【要点讲解】
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。
解法1因为”…V所以可设
2十十0-3才+x+14》-15=（x-y5）（2x■+3y+n）.
=2#+xy~3y2+（2朋+同）兀+（3碑-总）丿
f21t+n=I
比较系数，得
由①、②解得:
■■-把:
--代入③式也成立。
/..T1:
‘:
“：
;•"-:
/I…:
I:
;：
T[
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为a：
：
、；;”所以可设
2xJ+xy-3y2+x+14.y^l5=（x-y+刑）（2x+3y+n\
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令：
「得™=-15.
令__-■得"‘•一」
解①、②得"V或'汀
把它们分别代入恒等式检验，得-
'■:
:
-:
.■:
■-…
说明：
本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
★★例2分解因式/
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设:
'八一一:
=（?
++l）（x2+肚+5）
www.pkuschaoLeom-—一一
=『+©十（必+®『十（5a+加+5,
a+b=-1①
ab+6=4②
由恒等式性质有：
ka+b=3③
由①、③解得■-代入②中，②式成立。
.•.于■：
』I:
:
;—一-:
;I门:
；：
.■:
:
I■'
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式=宀-小:
护”J
★★★例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0;当」时，其值为0;当：
-时,其值为10,求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为：
、：
：
：
：
：
*把已知
a+b+c=0①
弋9a+3b+c-0②
条件分别代入，得h+2b+c*③
a=2,
解得”
故所求的二次三项为丄+-…
思路2根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为
a（x-l）（x+3）把“2代入上式，得5x10,
解得；=1
故所求的二次三项式为几1"'J即一…
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
★★★★例4已知多项式，+亦的系数都是整数。
若少丄是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数
多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
『+J;
证明：
设'+加+加+』=（"聊）（严+松+心
F+m+d工F+伽+初“+（删+r）x+mr（mnr都是整
数）
。
比较系数，得
mr=止
因为-:
「「1是奇数，贝M'：
':
与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令1，得—…—r1-?
.-■:
.②
由-是奇数，得-■：
■■■是奇数。
而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。
这样②的左边是奇数，右边是偶数。
这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：
所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
★★★★例5已知"能被：
「整除，求证:
思路：
可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
■5232K
证明：
设展开，比较系数，得
a—2c=0（I）
c2+b-2ac-0②
电汩-abu+尊=D③
cJ
^-bca=59④
-c
由①、②，得,
代入③、④得：
’■=「」，
...一」」
★★★例6若a是自然数，且：
「-：
「】」：
'」.：
'_'的值是一个质数，求这个质数。
思路：
因为质数只能分解为1和它本身，
故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。
进而解决问题。
解：
由待定系数法可解得
a4-4?
+15a3-30a+27
=（/-%+3（/~a+9）.
由于a是自然数，且?
-/：
：
＜堤一
个质数，/-3a+3〈/-3a+9.
/.;:
一:
「一-1.
解得■：
-・厂■
当一时，-不是质数。
当「时，,4:
1是质数
.•.u」.一.；_=11.
A级
★★★1、分解因式3x2+5xy-2b+;r+9厂4=.
★★★2、若多项式能被：
；：
14
整除，贝0n=.
★★3、二次三项式当」1时其值为-3，当：
-时其值为2,当丄1时其值为5，这个二次三项式是.
★★4、m,n是什么数时，多项式-1-1
能被整除？
B级
★★★5、多项式—「「一：
r能分解为两
个一次因式的积，则k=.
★★★6、若多项式+能被―整
除，则血+"=.
★★7、若多项式--：
.:
当..2时的值均为
0,则当x=时，多项式的值也是0★★★8、求证：
.7■'丁不能分解为两个一次因式的积
参考答案或提示:
1.®+y+4）（x+2y-l）
提示：
设原式-二「f「
=3x2+5xy-2y2+©+3b）x+（2a-b}y+ab.
比较两边系数，得
"a+3b=1①
*2a-1-9②
ab=-4③
p=4,
由①、②解得z
将；「T代入③式成立。
・・.原式：
-厂w厂h
2、-4。
提示：
设原式---■--■：
:
；|
=.-「，；.■■:
:
•.•:
■■-■■.■■；:
比较系数，得
3m+4=1
①
8-m=9
②
n
③
由①、②解得:
代入③得7=-4.
3、一；“一
提示：
设二次三项式为：
：
「:
把已知条件代入，得
a+b+c=-3,
彳4m+2&+（?
-2,
\a-b-^c=5.
k
解得I
•••所求二次三项式为一:
:
」：
-
4.從=71卫=4
设..■-■-■■■：
■■■■---'；■■-：
.7.：
■X*十0-2）只+2fi+l）xa+（~2n+fi）i+a
比较系数，得
3-2=-》
丿菲r2&十1=11
-2n
.••当m=-11,n=4已知多项式能被<整
5.-2
提示：
设原式-：
：
叮“5
=3x2+2心+（并+%）x+〔并_朋）y+朋号.
比较系数，得
k+3^1=5,
=m=~3tmn=k.
k
Q=2,
解得
6.-7
提示：
设原式…
=x*+（a-2）x‘+（b~2a+1）*+（a-26）x+b
比较系数，得
-2--5t
b~2a+1=11
a~2b=%
•I+U二-1--二-
7.3.
提示：
设原式.-■■■r--：
^---
=x3-（3+c）x2+（2十％）并-2e
比较系数，得
p+厂6,
^2+3c=a,
2cf
解得c=3.
•••当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式-小丁匕+止f且一.展开后比较系数，得
2mn=1
*3m—n=14
、mn=15
由④、⑤得《=B代入③，再由①、③得c=d,将上述H入②得加"2.而这与③矛盾，即方程组无解。
故命题得证。
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