勾股定理 5.docx

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勾股定理5

创新性成果体现在：

 一、第一稿问题在于：

1、创设情境程度不够深广，不能激发学生的浓厚兴趣，必须修改。

2、勾股定理内容的学习，教学平铺直叙地灌受知识，学生难以理解，生硬地、被动地接受知识，学生必须死记硬背。

教师必须拓展，生成创新知识。

3、拓展运用的量小，题型单一，必须充实。

4、小结应该是师生共同回忆总结，特别是要让学生畅所欲言，学会归纳总结知识，因此必须修改。

5、作业布置不合理，一刀切，没有考虑到学生的差异性，应该分层作业，各有所获，必须改。

二、两稿共同点：

1、教学环节齐全。

2、教学内容准确，证明过程合理、严密。

三、第二稿，创新性体现在：

（一）通过新课程学习，本节课设计结合教材特点及新的教学理念，从整体上力求体现以下三个方面：

1、首先，主要教学环节的设计严格遵循知识发生、发展、形成的一般规律；其次，注重探究问题的本质；第三，注重让学生掌握科学的学习方法。

2、通过介绍勾股定理的有关历史和传说，激发学习兴趣；另外，力求实现信息技术与数学课的整合，有效地吸引学生，拓展学生思维。

3、本节课涉及了大量的有关勾股定理的背景知识，学生可以感受到勾股定理所蕴含的浓郁的数学文化，特别是通过介绍国外的研究成果，一方面明确了勾股定理是人类的共同成果和财富，具有国际性；另一方面，肯定了中国古代数学家的巨大贡献，进一步激励学生热爱、学习中国的悠久文化。

（二）具体的教法学法：

1、教法分析：

针对初二学生的认知结构和心理特点，本节课选择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题，引导学生自主探索、合作交流，针对本节课的特点：

采用以“田字格、网格（再现历史）——勾股定理——应用勾股定理”为知识主线，以“创设情境——观察实验——总结归纳——知识运用”为主线的教学方法，让学生在教师的引导下，始终处于一种积极的思维、主动探索的学习状态。

教师在其中要承担好课堂教学的组织者、决策者、创造者和参与者的多种角色。

2、学法分析：

根据新课标要求培养“可持续发展的学生”，因此教师要有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯和能力，使学生真正成为学习的主人。

（三）教学中遵循的行为准则：

1、聆听学生发言，尊重学生发现，问题是数学教学的源泉，教师要不仅善于创设适合学生发展的问题情境，让学生用数学的眼光观察世界、用数学语言来表示实际问题中的数学关系，而且还要学会耐心地倾听学生的每一次回答，重视学生每一个惊喜的发现，因为数学科学的本质在于求真，所以，教师要为学生营造一个有一个跌宕起伏的学习空间，让学生在学习时空逐步扩大的过程中得到发展，要学会尊重他们得出的结论，善于找出理论中合理的成分。

2、引导深挖细究，体现过程方法，数学学习的内容是现实的、富有挑战性的，每当学生进入亢奋的学习状态时，教师要注意因势利导，及时抓住学生学习的兴奋点，引导他们深挖细究，以利于他们主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

同时，在这样的活动中，经历新奇的过程，提炼出好的学习方法，就如本课教学中的实验、猜想、探究法等。

3、突出过程评价，注重情感体验，数学教学不仅要关注学生学习的结果，更友好关注他们学习的过程；注意评价目标的多元化和评价方法的的多样化，还要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，树立信心。

四、创新价值：

1、问题是思维的起点，通过问题激发学生的好奇心和探究欲。

问题1是以网格为依托，能清晰展现每一个图形的面积，问题序列沿着从简单到复杂的认知规律，渗透了从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力，探索出等腰直角三角形中三边满足的关系，为勾股定理的现身提供了探索导向。

2、让学生计算正方形A、B、C的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等，引导学生尽可能的发现一些求法，各种方法都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形A、B、C的面积之间的数量关系，从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。

从低起点的问题入手，这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，有利于激发学生的学习兴趣，体验到成功的乐趣。

3、问题2突破了等腰直角三角形的狭小圈子，趋于一般化，增强学生对以上关系式的认同感。

4、学生自主探究、小组合作完成问题2，这样有利于突破难点，而且为归纳结论打下基础，这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结、交流、表达，让学生体会到观察、归纳、猜想的思想，培养学生运用数学语言进行抽象、概括的能力，由浅到深，有特殊到一般的提出问题、分析问题、解决问题，体会数形结合的思想。

5、在探索定理的过程中，按从网格到脱离网格的序列进行，对学生而言是思维的完善和飞跃，为了突出本节重点，解决难点，设计了两个层次的探索过程，第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形的关系研究，体现从特殊到一般的方法，第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形C面积到用拼图方法探索直角三角形三边关系，展示有简单到复杂的思想，探索出勾股定理，利用弦图证明勾股定理，不但拓展了学生的视野，激发了学生的探究热情，而且使学生感受到勾股定理证明的博大精深。

6、通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维，让学生通过动手操作和演示确信结论的正确性，然后利用"弦图”借助面积关系、代数公式给出证明，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想，回应创设情境中提出的问题，并对学生进行爱国主义教育。

 第一稿（初稿）

【教学目标】

一、知识目标

1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明。

2、通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。

3、对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，利用拼图的方法验证勾股定理，对学生进行爱国主义教育。

【重点难点】

重点：

探索和证明勾股定理。

难点：

应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

【教学过程设计】

一、引入课题

   通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题。

二、勾股定理的内容、证明过程。

1、勾股定理的内容。

2、表达式:

a^2+b^2=c^2

3、证明过程。

（1）面积证法（见课本109页图（4））

（2）利用割裂补、拼接图形计算面积的思路证明。

（3）勾股定理的应用。

 例1  甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？

四、练习巩固

81页1、2

五、小结：

（教师总结）

1、勾股定理的内容及证明方法。

2、勾股定理的作用。

第二稿（终稿）

【教学目标】

知识与技能

      生在探索勾股定理的过程中，掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会初步运用勾股定

理进行简单的计算，并解决实际问题。

过程与方法

          让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验

证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。

【重点难点】

教学重点：

探索和验证勾股定理。

 教学难点：

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。

【教学方法】

引导——探索法

【教学过程设计】

一、创设情境、激趣引新

问题1：

请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图（2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽），说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思？

它们之间有联系吗？

封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“弦图”，章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽，大会的会徽使用的主体图案就是赵爽“弦图”。

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。

这个图案是本届大会的会徽。

（1） 你见过这个图案吗？

（2） 你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗？

问题2：

图1是1955年希腊发行的一枚纪念一位数学家的邮票，你知道邮票上的图案表示的意义吗？

      计学生答不出，但能给学生一个直观上的印象，三个正方形图案（可能掩盖了“直角三角形”），为面积的使用搭好支点。

       然后，有条件的学校可播放Flash动画：

茫茫太空——人类一直在探索地球外的生命——我们如何与外星人沟通——我们一直在思考——据说我国著名数学家华罗庚认为，发射“勾股定理图”是最好的选择，因为宇宙人如果是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的！

画面定格于“勾股定理图”，如图所示：

 本节我们一起来解读图纸的奥秘，从而引入课题。

二、实验操作，探求新知

 问题1：

观察下图，并回答问题

（1） 正方形A中含有    个小方格，即A的面积是   个单位面积；

 正方形B中含有     个小方格，即B面积是   个单位面积；

 正方形C含有     个小方格，即C面积是    个单位面积；

（2）在图2，图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?

它们的面积各是多少？

你是如何得到上述结果的？

与同伴交流。

（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？

A的面积（单位面积）

B的面积（单位面积）

C的面积（单位面积）

图1

图2

图3

 （4）a、b、c作为三角形的三边，具有怎样的关系？

此三角形是个什么样的三角形？

（5）在等腰直角三角形中，a、b为直角边，c为斜边，则有a^2+b^2=c^2。

组织学生利用田字格数一数各图每一部分中A、B、C方格的个数并探索它们之间的关系，再现古代发现过程，并注意关注三角形的特征，形成如下结论：

勾股定理在等腰直角三角形的状态下成立，即：

在等腰直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

  问题2：

观察下图，并回答问题。

A的面积

B的面积

C的面积

图1-2

图1-3

（1）你是怎样得到上面的结果的？

与同伴交流。

（2）三个正方形A、B、C的面积之间的关系？

（3）在一般直角三角形中，三边关系如何？

 结论：

在一般直角三角形中，a、b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.

 即：

两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．

问题3：

利用拼图游戏验证定理，体会《赵爽弦图》的原理。

看下边的图案，这个图案我们已经熟悉，它是我们一开始观察的图——“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：

四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形。

（图见课本）

仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长a、b的两个连体正方形能拼成一个新的正方形吗？

试试看。

学生动手，完成拼图，通过手动促使脑动，完成后，提出问题。

 三、得出结论，拓展运用

1、 求如图所示（单位:

mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）。

2、   在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

3、在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c

（1）已知∠C是直角,a=6,b=8.则c=                

（2）已知∠C是直角,c=25,b=15.则a=     

（3）已知∠C是直角,a=3,b=4.则c=        

（4）已知∠C是直角,a:

b=3:

4,c=25,则b=      。

四、反思小结，观点提炼，师生共同完成。

1、勾股定理的内容：

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的用途：

（1）在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长;

（2）在实际应用当中，先构建直角三角形模型，再用勾股定理.

3、思想方法：

特殊到一般、数形结合、面积法、割补法、方程的思想、知二求一等.

五、分层作业，各有所获。

必做题：

教材本节习题18.1第1、2题。

选做题：

 小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的彩电，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞错了，对不对？

（582=3364，462=2116,74.032≈5480）