九年级数学中考复习平行线专题平行线的判定与性质二.docx

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九年级数学中考复习平行线专题平行线的判定与性质二

2021年九年级数学中考复习——平行线专题：

平行线的判定与性质

（二）

1．已知：

如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

①求证：

BD∥CE．

②若∠A＝40°，求∠F的值．

2．如图，△ABC中，AD⊥BC、EF⊥BC，垂足分别为D、F，且∠ADG＝40°，∠C＝50°．

（1）DG与AC平行吗？

为什么？

（2）∠FEC与∠ADG相等吗？

为什么？

3．如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM＝2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．

（1）直接写出∠QBA的大小为　　；

（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？

（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD＝120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．

4．已知：

如图，点B，E分别在直线AC和DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D

求证：

∠A＝∠F

证明：

∵∠AGB＝∠EHF（已知）

∠AGB＝∠FGD（　　）

∴∠EHF＝　　（等量代换）

∴DB∥EC（　　）

∴∠　　＝∠DBA（　　）

∵∠C＝∠D

∴　　（　　）

∴　　∥　　（　　）

∴∠A＝∠F（　　）

5．已知∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．求证：

∠B+∠F＝180°．

证明：

∵∠B＝∠BGD（已知）

∴　　∥CD（　　）

∵∠BGC＝∠F（已知）

∴CD∥　　（　　）

∴　　∥　　（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠B+　　＝180°（　　）．

6．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．

（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数．

7．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．

（1）求证：

AB∥CD；

（2）若DG∥BE，试说明DG是∠CDF的平分线．

8．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．

（1）请说明DE∥BC的理由；

（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．

9．完成下面的证明过程．

已知：

如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，

∠B＝∠C．

求证∠A＝∠D．

证明：

∵∠1＝∠2（已知），

∠2＝∠AGB（　　），

∴∠1＝　　．

∴EC∥BF（　　）．

∴∠B＝∠AEC（　　）．

又∵∠B＝∠C（已知），

∴∠AEC＝　　．

∴　　（　　）．

∴∠A＝∠D（　　）．

10．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°．

（1）求证：

AC∥FG；

（2）若∠A＝45°，∠BCD：

∠ACD＝2：

3，求∠BCD的度数．

参考答案

1．解：

如图，

①证明：

∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，

∴∠2＝∠5，

∴BD∥CE；

②∵BD∥CE，

∴∠3+∠C＝180°，

∵∠3＝∠4，

∴∠4+∠C＝180°，

∴DF∥AC，

∴∠F＝∠A＝40°，

答：

∠F的值为40°．

2．解：

（1）DG与AC平行，理由如下：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADG＝40°，

∴∠BDG＝90°﹣40°＝50°，

∵∠C＝50°，

∴∠BDG＝∠C，

∴DG∥AC；

（2）∠FEC与∠ADG相等，理由如下：

∵EF⊥BC，

∴∠EFC＝90°，

∵∠C＝50°．

∴∠FEC＝90°﹣50°＝40°，

∵∠ADG＝40°，

∴∠FEC＝∠ADG．

3．解：

（1）∵PQ∥MN，

∴∠QBA＝∠BAN，

∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，

∴3∠BAN＝180°，

∴∠BAN＝60°，

∴∠QBA＝∠BAN＝60°，

故答案为：

60°；

（2）①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，

∴∠PBF＝∠BFA，

∵AE∥BF，

∴∠EAM＝∠BFA，

∴∠EAM＝∠PBF，

∴2t＝1（30+t），

解得t＝30；

②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，

∴∠PBF+∠BFA＝180°，

∵AE∥BF，

∴∠EAN＝∠BFA，

∴∠PBF+∠EAN＝180°，

∴1（30+t）+（2t﹣180）＝180，

解得t＝110，

综上所述，当t＝30秒或110秒时BF∥直线AE；

（3）∠BAC＝2∠BCD，理由如下：

如图3，作CH∥PQ，

∵PQ∥MN，

∴CH∥PQ∥MN，

∴∠QBC+∠2＝180°，∠MAC+∠1＝180°，

∴∠QBC+∠2+∠MAC+∠1＝360°，

∵∠QBC＝180°﹣m°，∠MAC＝2m°，

∴∠BCA＝∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣m°）﹣2m°＝180°﹣m°，

而∠ACD＝120°，

∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣m°）＝m°﹣60°，

∵∠CAN＝180°﹣2m°，

∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2m°）＝2m°﹣120°，

∴∠BAC：

∠BCD＝2：

1，

即∠BAC＝2∠BCD．

4．证明：

∵∠AGB＝∠EHF（已知），

又∠AGB＝∠FGD（对顶角相等），

∴∠EHF＝∠FGD（等量代换），

∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），

∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），

∵∠C＝∠D，

∴∠D＝∠DBA（等量代换），

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

对顶角相等；∠FGD；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；∠D＝∠DBA，等量代换；DF，AC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

5．证明：

∵∠B＝∠BGD（已知）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵∠BGC＝∠F（已知）

∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）

∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：

AB，内错角相等，两直线平行；EF，同位角相等，两直线平行；AB，EF；∠F，两直线平行，同旁内角互补．

6．解：

（1）DE∥BC，理由如下：

∵∠1+∠2＝180°，

∴AB∥EF，

∴∠ADE＝∠3，

∵∠B＝∠3，

∴∠ADE＝∠B，

∴DE∥BC；

（2）∵AB∥EF，

∴∠A＝∠4＝65°，

∵∠C＝70°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，

∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，

∴∠FGD＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣100°﹣45°＝35°

答：

∠FGD的度数为35°．

7．证明：

∵DG∥BE，

∴∠1＝∠3，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDF，

又∵BE平分∠ABD，

∴∠1＝

∠ABD，

∴∠3＝

∠CDF，

∴DG是∠CDF的平分线．

8．解：

（1）∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFG，

∴∠1+∠DFG＝180°，

∴AB∥EG，

∴∠B＝∠EGC，

又∵∠B＝∠3，

∴∠3＝∠EGC，

∴DE∥BC；

（2）CD⊥EG．

理由如下：

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠EDC，

∵DE∥BC，

∴∠B＝∠ADE＝∠EDC，

又∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，

∴2∠B+∠B+∠B＝180°，

∴∠B＝45°，

∴∠2＝2∠B＝90°，

∴CD⊥AB

又∵AB∥EG，

∴CD⊥EG．

9．证明：

∵∠1＝∠2（已知），

∠2＝∠AGB（对顶角相等），

∴∠1＝∠AGB．

∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）．

∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）．

又∵∠B＝∠C（已知），

∴∠AEC＝∠C．

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：

对顶角相等；∠AGB；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠C；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

10．解：

∵∠BCD：

∠ACD＝2：

3，

∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A+∠ACD＝90°，

∴解得x＝15°，

∴∠BCD＝2x＝30°．

答：

∠BCD的度数为30°．