空间几何体教案.docx

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空间几何体教案

第一章课文目录

1.1空间几何体的结构

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.3空间几何体的表面积与体积

重难点：

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

（1）柱

棱柱：

一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的

底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底

面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做

圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什

么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

（2）锥

棱锥：

一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫

做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围

成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜

边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的

底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：

用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的

底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质:

名称

棱柱

直棱柱

正棱柱

图形

1■

i；

定义

有两个面互相平仃，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体

侧棱垂直于底面

的棱柱

底面是正多边形的直棱柱

侧棱

平行且相等

侧面的形状

平行四边形

矩形

全等的矩形

对角面的形状

平行四边形

矩形

平行于底面的截面

的形状

与底面全等的多边形

与底面全等的正多

边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

定义

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

由正棱锥截得的棱台

侧棱

相交于一点但不一定相等

相交于一点且

相等

延长线交于一

占

八、、

相等且延长线

交于一点

侧面的

形状

三角形

全等的等腰三

角形

梯形

全等的等腰梯形

对角面

的形状

三角形

等腰三角形

梯形

等腰梯形

平行于

底的截

面形状

与底面相似的多边形

与底面相似的

正多边形

与底面相似的多边形

与底面相似的

正多边形

其他性质

咼过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质:

名称

特殊性质

平行六面体

底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体

侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体

底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体

棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

2.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：

物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：

物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：

物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规则：

高平齐：

主视图与左视图的高要保持平齐长对正：

主视图与俯视图的长应对正宽相等：

俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

1建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OXOY建立直角坐

标系；

2画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,o'y,使Nx'oY'=450（或135°）,它们确定的平面表示水平平面；

3画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X’轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于丫车由，且长度变为原来的一半；

4擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

注意：

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点

的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观

图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：

［例1］将正三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2,

［例2］在正方体ABCDABCD中，E,F分别为棱AA,CG的中点，则在空间中与三条直线AD,EF,CD都相交的直线（）

A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条

［例3］正方体tiL'/kkkU匚的棱长为，点是；的中点，点上是平面注也内的一个动

点，且满足匸上,［到直线匸丿的距离为.5，则点上的轨迹是（）

江圆…双曲线显两个点让直线

解析：

点1到上/的距离为.5，则点1到L的距离为，满足此条件的上的轨迹是到直线匕的距离为的两条平行直线，

又TPM=2，.满足此条件的上的轨迹是以为圆心，半径为的圆，这两种轨迹只有

两个交点卜、

故点1的轨迹是两个点。

选项为LL

点评：

该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

［例4］两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为的正方体内，使正四棱

锥的底面圧该与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体

体积的可能值有（）

M_个匕个□•个丿•无穷多个

解析：

由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形1±匚匕中

心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面

正方形匸匸匚匕的面积，问题转化为边长为的正方形的内接正方形有多少种，所以选丿。

点评：

本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。

正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型：

空间几何体的定义

［例5］长方体ABCD-AiBiGDi的个顶点在同一个球面上，且上比，上比、3,

bdJIAC1=0,则0A=0B=RF2,

3T■31

=AOB,I二R=2—,故

点评：

抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

［例6］已知直线二江和平面〉，：

满足m_n,m_a,_:

；则

An_1B.n//-,或n一：

C.n_：

D.n//：

或n:

解析：

易知D正确.

点评：

对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型：

空间几何体中的想象能力

［例7］如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为的菱形，.BCD=60°，

堤二的中点，比..底面注也，PA=、..3。

（）证明：

平面辽匚.平面辽上；

（）求二面角ii-i-iik和的大小。

解析：

解法一（）如图所示上连结BD,由ABCD是菱形且.BCD=60°知，

△BCD是等边三角形辻因为b是二的中点，所以

BE丄CD,又AB//CD,所以BE丄AB,

又因为比.平面注也,BE：

_平面i-i-'U-'-

所以PA丄BE,而PA「|AB=A,因此BE丄平面辽比

又BE二平面江匚所以平面江上.平面江注

（）由（）知，BE丄平面辻•比PB平面辻•比所以PB_BE.

又AB丄BE,所以.PBA是二面角A-BE-P的平面角.

在Rt△PAB中上tanPBA二砂=3,PBA=60..

故二面角A-BE-P的大小为60.

解法二：

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系•则相关各点的坐标分别是

A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（¥,0）,D（£,0）,P（0,0,3）,E（1,£,0）.

22222

（）因为BE=（0,

0）,平面辻汇的一个法向量是山=（01,0）,所以BE和n0共线上

从而BE丄平面辽比又因为BE:

-平面辻匚所以平面过上…平面i-i-ii-

（）易知PB二（1,0,-J3）,be=（0，乜,0）,设m=（洛，力，乙）是平面沁的一个法向量上

故二面角A-BE-P的大小为60.

点评：

解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

［例8］如图，在三棱锥P-ABC中，AC二BC=2,.ACB=90：

AP二BP二AB,

在厶BCE中，BCE-90,BC=2,BE3AB

.sin.BEC=丄

BE3

面角B-AP-C的大小为arcsin弓.

解法二：

（I）：

AC=BC,AP=BP,

△APCBPC.

又PC_AC,

PC_BC.

tACDbc二C,

PC_平面ABC.

AB平面ABC,

PC_AB.

（n）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0,0,0）,A（0,2,0）,B（2,0,0）.

设P（0,0,t）.

取AP中点E，连结BE,CE•

CE_AP,BE_AP•

.■BEC是二面角B-AP-C的平面角.

面角B”C的大小为arccos三

想图、画图的角度考查了

是高考从深层上考查空

点评：

在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。

通过识图、空间想象能力。

而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，间想象能力的主要方向。

［例9］画正五棱柱的直观图，使底面边长为—■-1-■'侧棱长为江丄二。

解析：

先作底面正五边形的直观图，再沿平行于L■轴方向平移即可得。

作法：

（_）画轴：

画匸，卩，E*轴，使（或一E）,E^^EEEE

（）画底面：

按卜l一轴，卜l_轴画正五边形的直观图ktL'/k

）画侧棱：

过I、［、二、八上各点分别作卜l_轴的平行线，并在这些平行线上分别截取上上，上上，UU，…，比

（）成图：

顺次连结辻，上，口，/，辻，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡

的部分为虚线。

点评：

用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

［例10］ABC•是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若ABC•的面积为

3，那么i±i-U的面积为Liiiiiiiiiiiiik

解析：

2.6。

点评：

该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。

特别底和高的对应关系。

［例11］如图，在棱长为一的正方体ABCD-A"B"C"D"中，^理恺！

（E&J），截面•uAD，截面L.kkAD

（）证明：

平面匸di：

和平面k.kk互相垂直；

（•）证明：

截面二止二和截面二止二面积之和是定值，

并求出这个值；

（.）若DE与平面上止匸所成的角为45^，求DE与平

面k-LL所成角的正弦值.

本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与

逻辑思维能力。

解析：

解法一：

（I）证明：

在正方体中，AD1AD,AD'_AB，又由已知可得

PF//AD,PH//AD,PQ//AB,

所以PH_PF,PH_PQ,

所以PH—平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

（'）证明：

由（）知

PF2AP,P^.2PA，又截面•注和截面•注都是矩形，且「匸，所以截面•注和截面k.kk面积之和是

（、.2ap、、2pa）pq—2，是定值.

i'i'i'）解：

连结匸口交r•于点..

因为PH//AD,PQ//AB,

所以平面ABCD■和平面•注互相平行，因此DE与平面•注所成角与DE与平面

ABCD•所成角相等.

与（I）同理可证二二平面kEk，可知t上平面ABCD，因此二与DE的比值就是所求的正弦值.

设AD•交比于点•「，连结匕」，由FD"-b知

“（1—b「=J（1—b）2+2,

因为ADL平面•比，又已知DE与平面成45角,

所以DE=、2ND•，即,2—-

1“

解得b二㊁，可知上为.…中点.

所以艷汙，又DE「（1—b）22

故DE与平面匸，Uk所成角的正弦值为

解法二：

以,为原点，射线Q,，□,「二-分别为i_,i■轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系辽上由已知得DF=1-b,故

A（1,0,0）,A（1,0,1）,D（0,0,0）,D（0,0,1）,

P（1,0,b）,Q（1,1,b）,E（1-b,0）,

F（1-b,0,0）,G（b,1）,H（b,0,1）.

（I）证明：

在所建立的坐标系中，可得

PQ=（0,,0）,PF=（七,0,-b）,

PH=（b_1,0,1_b）,AD=（-1,0,）,A"D=（-1,0,-1）.

因为aDIpq

=0,aD_pF=0,所以鼠是平面•注的法向量.

因为ADpQ’=0,AD_pH0,所以AD是平面的法向量.

ADlAD=0，所以AD—ad,

因为

所以平面上止匸和平面上止匸互相垂直.

对空间想象能力、分析问题的能力、

操作能力和思维的灵活

|cos：

：

DE,ADH

-11

23.2

点评：

考查知识立足课本，性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

［例12］多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平

面「内，其余顶点在:

的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到:

的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面：

•的距离可能是：

①；②；

③1；④一；⑤--

以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）

解析：

如图，BD、A到平面〉的距离分别为1、

2、4，贝UD、A1的中点到平面:

-的距离为3,所以D到平面〉的距离为6;B、A1的中点到平面:

-的距离为

，所以B1到平面〉的距离为5;贝9DB的中点到

平面〉的距离为2,所以C到平面〉的距离为3;C

A的中点到平面a的距离为7,所以C到平面a的距

离为7;而P为C、G、B1、D中的一点，所以选①③④⑤。

点评：

该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

［例13］

（1）画出下列几何体的三视图

为矩形，同理■注为矩形.

所以截面二上二和截面二上二面积之和为2，是定值.

（川）解：

由已知得DE与AD成45：

角，又DE=（1-b,，,_1）,，DJ（-1,0,1）可得

2—b1

即=2b=1，解得b=丄.

（1-b）222

所以DE二1,1,-1，又AD=（-1,0,-1），所以DE与平面k.kk所成角的正弦值为辽丿

解析：

这二个几何体的三视图如下

正前方

点评：

画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。

一般先画

主视图，其次画俯视图，最后画左视图。

画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画

成虚线。

物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

［例14］某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：

该几何体为一个正四棱锥分析：

三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三

个视图。

点评：

主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。

而

俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。

左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。

据

此就不难得出该几何体的形状。

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