高中数学人教a版选修44学案第二讲 四 渐开线与摆线 含答案.docx

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高中数学人教a版选修44学案第二讲四渐开线与摆线含答案

四

渐开线与摆线

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

（1）圆的渐开线方程：

（φ为参数）．

（2）摆线的参数方程：

.（φ为参数）．

圆的渐开线的参数方程

[例1]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨]　关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

[解]　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量

的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M（x，y），绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧

的长和线段AM的长相等，记

和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则|AM|＝

＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得

＝（4cosθ，4sinθ）．

由几何知识知∠MAB＝θ，

＝（4θsinθ，－4θcosθ），

得

＝

＋

.

＝（4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ）

＝（4（cosθ＋θsinθ），4（sinθ－θcosθ））．

又

＝（x，y），

因此有

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．

1．已知圆的渐开线的参数方程

（φ为参数），则此渐开线对应基圆的半径是________．

解析：

圆的渐开线的参数方程可化为

（φ为参数），圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r＝3.