中考数学必考专题18 解直角三角形问题原卷版.docx
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中考数学必考专题18解直角三角形问题原卷版
专题 18 解直角三角形问题
专题知识回顾
一、勾股定理
1．勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：
如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.定理：
经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它
的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
5.直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）直角三角形中 30°角所对直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.直角三角形的判定：
（1）有一个角等于 90°的三角形是直角三角形
（2） 两锐角互余的三角形是直角三角形
（3）两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形
（4）有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
二、锐角三角函数
1.各种锐角三角函数的定义
（1）正弦：
在△ABC 中，∠C=90°把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦，记作 sinA＝
（2）余弦：
在△ABC 中，∠C=90°，把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做∠A 的余弦，记作 cosA＝
（3）正切：
在△ABC 中，∠C=90°，把锐角 A 的对边与邻边的比值叫做∠A 的正切，记作 tanA＝
2. 特殊值的三角函数：
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
cos
α
sinα
tanα cotα
α
0°
0
1
0
不存在
30°
45°
1
2
2
2
3
2
2
2
3
3
1
3
1
31
22
90°不存在
三、仰角、俯角、坡度概念
1．仰角：
视线在水平线上方的角；
2．俯角：
视线在水平线下方的角。
0
铅垂线
视线
仰角
俯角
水平线
视线
h i = h :
l
l α
3．坡度（坡比）：
坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（坡比）。
用字母 i 表示，即 i =
h
l
。
把坡面与
水平面的夹角记作α （叫做坡角），那么 i =
四、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos（90°—A），cosA=sin（90°—A）
tanA=cot（90°—A），cotA=tan（90°—A）
（2）平方关系sin 2 A + cos 2 A = 1
（3）倒数关系tanA tan（90°—A）=1
（4）弦切关系tanA= sin A
cos A
h
l
= tan α 。
专题典型题考法及解析
【例题 1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，∠1＝60°，P
点是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP＝．
【例题 2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A
出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的
距离是（）
A．30nmileB．60nmile
C．120nmile
D．（30+30 ）nmile
【例题 3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为 25 海里．在某时
刻，哨所 A 与哨所 B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所 B 南偏东 37°
的方向上．
（1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离；
（2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 76°
的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 D 处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：
sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
专题典型训练题
一、选择题
1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）
A．1，，2B．1，3，4C．2，3，6D．4，5，6
2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）
A．，，
C．
B．32，42，52
D．0.3，0.4，0.5
3.（2019 广西省贵港市）将一条宽度为 2cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为 AB ，重叠部分为 ∆ABC
（图中阴影部分），若 ∠ACB = 45︒ ，则重叠部分的面积为 （）
A． 2 2cm2B． 2 3cm2C． 4cm2 D． 4 2cm2
4.（2019 贵州省毕节市） 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形 ABCD 的面
积为（）
A． 3B．3C． 5D．5
5．（2019•南岸区）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，并交 BC
于点 E，若 ED＝3，则 AC 的长为（）
A．3B．3C．6D．9
6．（2019•西藏）如图，在⊙O 中，半径 OC 垂直弦 AB 于 D，点 E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径
OB 等于（）
A．1B．C．2D．2
7.（2019•江苏苏州） 如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水
平距离为18 3 m 的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ，测得教学楼的顶部 A
处的仰角为 30o，则教学楼的高度是（）
A． 55.5 m
B． 54 m C．19.5 m D．18 m
A
D
30°
C
B
8.（2019•湖南长沙）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，
则 CD+BD 的最小值是（）
A．2B．4C．5D．10
二、填空题
9.（2019·贵州安顺）如图，在
ABC 中，∠BAC＝90°，且 BA＝3，AC＝4，点 D 是斜边 BC 上的一个动
点，过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为．
10. （2019 贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的
延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则 CD 的长度是．
11. （2019 海南）如图,将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 α （0°< α <90°）得到 AE,直角边 AC 绕点 A
逆时针旋转 β （0°< β <90°）得到 AF,连接 EF,若 AB＝3,AC＝2,且 α + β ＝∠B,则 EF＝________.
12.（2019 黑龙江哈尔滨）如图将△ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△A′B′C,其中点 A′与 A 是对应点,点 B′
与 B 是对应点,点 B′落在边 AC 上,连接 A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则 A′B 的长为．
°
14.（2019•浙江宁波）如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东
方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为
米．（精确到 1 米，参考数据：
≈1.414，≈1.732）
15.（2019•海南省）如图，将
ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到 AE，直角边
β
AC 绕点 A 逆时针旋转 （0°＜β＜90°）得到 AF，连结 EF．若 AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则 EF＝．
16．（2019•山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，BC＝4，D 为 AB 的中点，DC⊥
，则ABC 的面
积是．
三、解答题
17.（2019 黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC 中，AB＝BC，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于
点 F，BH⊥AB 于点 B，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H．
（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：
DF＋BH＝3BD；
3
（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点 M 与点 D 重合），猜想线段 DF，BH，
BD 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．
A
A
A
F
E
F
E
F
E
B
B
D（M）
H
H
H
图①图②
图③
18.（2019 广西池河）如图，在河对岸有一棵大树 A，在河岸 B 点测得 A 在北偏东 60°方向上，向东前进
120m 到达 C 点，测得 A 在北偏东 30°方向上，求河的宽度（精确到 0.1m）．参考数据：
1.732．
≈1.414， ≈
19. （2019•湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 B 处测得对岸 A 处
一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达 C 处，此时测得柳树
位于北偏东 30°方向，试计算此段河面的宽度．
20.（2019 四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点 D 在河的右侧，红军路 AB 与某桥 BC 互相垂直．某校
“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东
（
65°方向，另测得 BC＝414m，AB＝300m，求出点 D 到 AB 的距离． 参考数据 sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，
tan65°≈2.14）
21.（2019•湖北省荆门市）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AC＝2
（1）求平行四边形 ABCD 的面积；
（2）求证：
BD⊥BC．
．
22.（2019 广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD=600 米，AD⊥BC，施工队站在点 D 处看
向 B，测得仰角 45°，再由 D 走到 E 处测量，DE∥AC，DE=500 米，测得仰角为 53°，求隧道 BC 长.（sin53°
34
，cos53°≈，tan53°≈）.
553
23.（2019 湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3m，坝高 AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β
＝30°，求 BC 的长．
24. （2019 湖南郴州）如图所示，巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，距离 A 处 30km．在灯塔
C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知 B 处在 A 处的北偏东 60°
方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到 0.01km ．参考数据：
√2 ≈1.414，√3 ≈1.732，√6 ≈2.449）
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