二次根式教案五篇.docx
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二次根式教案五篇
二次根式教案五篇
二次根式教案篇1
一、内容解析
本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．
对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
理解二次根式的性质．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；
（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
（3）了解代数式的概念．
2．目标解析
（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；
（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．
三、教学问题诊断分析
二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.
本节课的教学难点为：
二次根式性质的灵活运用.
四、教学过程设计
1．探究性质1
问题1你能解释下列式子的含义吗？
师生活动：
教师引导学生说出每一个式子的含义．
【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.
问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．
【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．
问题3从以上的结论中你能发现什么规律？
你能用一个式子表示这个规律吗？
师生活动：
引导学生归纳得出二次根式的性质：
（≥0）.
【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.
例2计算
（1）
（2）
师生活动：
学生独立完成，集体订正.
【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.
2．探究性质2
问题4你能解释下列式子的含义吗？
师生活动：
教师引导学生说出每一个式子的含义．
【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.
问题5根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．
【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．
问题6从以上的结论中你能发现什么规律？
你能用一个式子表示这个规律吗？
师生活动：
引导学生归纳得出二次根式的性质：
（≥0）
【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.
例3计算
（1）
（2）
师生活动：
学生独立完成，集体订正.
【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.
3．归纳代数式的概念
问题7回顾我们学过的式子，如___________（≥0），这些式子有哪些共同特征？
师生活动：
学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念.
【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.
4．综合运用
（1）算一算：
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第
（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.
（2）想一想：
中，的取值范围是什么？
当≥0时，等于多少？
当时，又等于多少？
【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.
（3）谈一谈你对与的认识.
【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.
5．总结反思
（1）你知道了二次根式的哪些性质？
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？
说说你对代数式的认识．
6．布置作业：
教科书习题16.1第2，4题.
二次根式教案篇2
一、内容和内容解析
1．内容
二次根式的概念.
2．内容解析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的'形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义.再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
本节课的教学重点是：
了解二次根式的概念；
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）体会研究二次根式是实际的需要．
（2）了解二次根式的概念．
2.教学目标解析
（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．
（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．
三、教学问题诊断分析
对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.
本节课的教学难点为：
理解二次根式的双重非负性.
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130?
，则它的宽为______．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：
s）与开始落下的高度h（单位：
）满足关系h=5t?
，如果用含有h的式子表示t，则t=_____．
师生活动：
学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.
【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
问题2上面得到的式子，，分别表示什么意义？
它们有什么共同特征？
师生活动：
教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．
2．抽象概括，形成概念
问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
师生活动：
学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．
追问：
在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
师生活动：
教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．
3．辨析概念，应用巩固
例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？
师生活动:
引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．
例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
呢？
师生活动:
先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．
问题4你能比较与0的大小吗？
师生活动：
通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.
4．综合运用，巩固提高
练习1完成教科书第3页的练习.
练习2当x是什么实数时，下列各式有意义.
（1）；
（2）；（3）；（4）.
【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.
5．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？
二次根式的值的范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
师生活动：
教师引导，学生小结.
【设计意图】：
学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.
6．布置作业：
教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．
五、目标检测设计
1.下列各式中，一定是二次根式的是（）
A.B.C.D.
【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．
2.当时，二次根式无意义．
【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．
3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．
【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．
4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？
试求出的取值范围．
【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．
二次根式教案篇3
一、教学目标
1.了解二次根式的意义;
2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;
3.掌握二次根式的性质和，并能灵活应用;
4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;
5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：
（1）二次根的意义;
（2）二次根式中字母的取值范围.
难点：
确定二次根式中字母的取值范围.
三、教学方法
启发式、讲练结合.
四、教学过程
（一）复习提问
1.什么叫平方根、算术平方根?
2.说出下列各式的意义，并计算：
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，
表示的是算术平方根.
（二）引入新课
我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：
新课：
二次根式
定义：
式子叫做二次根式.
对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子只有在条件a0时才叫二次根式，是二次根式吗?
呢?
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2）是二次根式，而，提问学生：
2是二次根式吗?
显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.
例1当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?
分析：
，，，、、、四个是二次根式.因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数（如当a-10时，a+10又如当0
例2x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?
解：
略.
说明：
这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义.
例3当字母取何值时，下列各式为二次根式：
（1）
（2）（3）（4）
分析：
由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.
解：
（1）∵a、b为任意实数时，都有a2+b20，当a、b为任意实数时，是二次根式.
（2）-3x0，x0，即x0时，是二次根式.
（3），且x0，x0，当x0时，是二次根式.
（4），即，故x-20且x-20,x2.当x2时，是二次根式.
例4下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（1）;
（2）;（3）;（4）
分析：
这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：
只有在条件a0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.
解：
（1）由2a+30，得.
（2）由，得3a-10，解得.
（3）由于x取任何实数时都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是，式子是二次根式.所以所求字母x的取值范围是全体实数.
（4）由-b20得b20，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：
b=0.
（三）小结（引导学生做出本节课学习内容小结）
1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.
2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零.
（四）练习和作业
练习：
1.判断下列各式是否是二次根式
分析：
（2）中，，是二次根式;（5）是二次根式.因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x0时，又如当x-1时=，因此
（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.
2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
五、作业
教材P.172习题11.1;A组1;B组1.
六、板书设计
二次根式教案篇4
第十六章二次根式
代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
5.5（解析:
这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.）
6.
（1）（x+）（x-）
（2）n（n+）2（n-）2（解析:
关键是逆用（）2=a（a≥0）将3变成（）2.
（1）x2-3=（x+）（x-）.
（2）n5-6n3+9n=n（n4-6n2+9）=n（n2-3）2=n（n+）2（n-）2.）
7.解:
（1）.
（2）宽:
3;长:
5.
8.解:
（1）=.
（2）（3）2=32×（）2=18.（3）=（-2）2×=.（4）-=-=-3π.（5）==.
9.解:
原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.
10.解析:
在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.
解:
乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.
本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.
在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.
练习（教材第4页）
1.解:
（1）（）2=3.
（2）（3）2=32×（）2=9×2=18.
2.解:
（1）=0.3.
（2）=.（3）-=-π.（4）=10-1=.
习题16.1（教材第5页）
1.解:
（1）欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义.
（2）欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义.（3）欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义.（4）欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.
2.解:
（1）（）2=5.
（2）（-）2=（）2=0.2.（3）=.（4）（5）2=52×（）2=25×5=125.（5）==10.（6）=72×=49×=14.（7）=.（8）-=-=-.
3.解:
（1）设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R=,即面积为S的圆的半径为.
（2）设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.
4.解:
（1）32.
（2）（）2.（3）（）2.（4）0.52.（5）.（6）02.
5.解:
由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.
6.解:
设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.
7.解:
（1）∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义.
（2）∵（x-1）2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义.（3）∵即x>0,∴当x>0时,在实数范围内有意义.（4）∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.
8.解:
设h=t2,则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t=（负值已舍去）.当h=10时,t==,当h=25时,t==.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为s和s.
9.解:
（1）由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18.
（2）∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.
10.解:
V=πr2×10,r=（负值已舍去）,当V=5π时,r==,当V=10π时,r==1,当V=20π时,r==.
如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:
+.
〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.
解:
由数轴可得:
a+b<0,a-b>0,
∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-（a+b）=-2b.
[解题策略]结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.
已知a,b,c为三角形的三条边,则+=.
〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=（a+b-c）+[-（b-a-c）]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.
[解题策略]此类化简问题要特别注意符号问题.
化简:
.
〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.
解:
当x≥3时,=|x-3|=x-3;
当x<3时,=|x-3|=-（x-3）=3-x.
[解题策略]化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.
5
O
M
二次根式教案篇5
教学目的
1.使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;
2.会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点
最简二次根式的定义。
教学难点
一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程
一、复习引入
1.把下列各根式化简，并说出化简的根据：
2.引导学生观察考虑：
化简前后的根式，被开方数有什么不同?
化简前的被开方数有分数，分式;化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3.启发学生回答：
二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式?
二、讲解新课
1.总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式;
（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第
（1）条说明被开方数不含有分母;分母是1的例外。
第
（2）条说明被开方数中每个因式的指数小于2;特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2.练习：
下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：
3.例题：
例1把下列各式化成最简二次根式：
例2把下列各式化成最简二次根式：
4.总结
把二次根式化成最简二次根式的根据是什么?
应用了什么方法?
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
三、巩固练习
1.把下列各式化成最简二次根式：
2.判断下列各根式，哪些是最简二次根式?
哪些不是最简二次根式?
如果不是，把它化成最简二次根式。
四、小结
本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。
同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。
五、布置作业
下列各式化成最简二次根式：
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