专题六轴对称.docx

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专题六轴对称

轴对称与轴对称图形

一、知识点：

1、轴对称：

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线

成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、轴对称图形：

如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：

区别：

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：

①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：

圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

4．线段的垂直平分线：

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（也称线段的中垂线）

5．轴对称的性质：

⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

二、举例：

例1：

判断题：

1角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）

②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）

③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）

④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（）

例2：

下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.

例3：

如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：

例4：

如图，已知：

ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。

例5：

如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。

例6：

如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白球F？

例7：

如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。

修在河边什么地方，可使使用的水管最短？

例8：

如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？

线段、角的轴对称性

一、知识点：

1．线段的轴对称性：

1线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，

另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：

线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合

2．角的轴对称性：

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：

角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合

二、举例：

例1：

已知

ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，

BEC的周长是16。

求

ABC的周长.

例2：

如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、OB的距离相等。

例3：

如图，已知直线

及其两侧两点A、B。

（1）在直线

上求一点P，使PA=PB；

（2）在直线

上求一点Q，使

平分∠AQB。

例4：

如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？

如何选？

例5：

已知：

如图，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？

为什么？

例6：

如图，已知：

AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。

试判断AD和BC的关系，并说明理由。

例7：

已知：

如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF=

BC，试说明∠FCB=

∠B

例8：

已知：

在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、AC上，且DE=DF。

试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

例9：

已知：

在ΔABC中，D是BC上一点，DE⊥BA于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.。

试判断线段AD与EF有何关系?

并说明理由。

例10：

如图，已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。

试说明BD垂直平分AE

等腰三角形的轴对称性

一、知识点：

1．等腰三角形的性质：

①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称“三线合一”）

2．等腰三角形的判定：

①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

3．等边三角形：

1等边三角形的定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

2等边三角形的性质：

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；等边三角形的每个角都等于600。

③等边三角形的判定：

3个角相等的三角形是等边三角形；有两个角等于600的三角形是等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

二、举例：

例1、如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，试说明BD=CE的理由?

例2：

如图，已知：

△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点。

①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系？

并说明理由。

例3：

如图，已知：

AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。

试判断AD和BC的关系，并说明理由。

例4：

如图，已知：

△ABC中，∠C=900，D、E是AB边上的两点，且AD=AC，BD=BC。

求∠DCE的度数。

例5：

如图，已知：

△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点。

试探索FG与DE的关系。

例6：

如图，已知：

△ABC中，∠C=900，AC=BC，M是AB的中点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。

试判断△MEF的形状？

并说明理由。

例7：

如图，已知：

△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，试说明CE=DE。

例8：

如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你的猜想．

等腰梯形的轴对称性

1、知识点：

1、等腰梯形的定义：

①梯形的定义：

一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。

梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。

②等腰梯形的定义：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质：

①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。

②等腰梯形同一底上两底角相等。

③等腰梯形的对角线相等。

3．等腰梯形的判定：

3在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。

4补充：

对角线相等的梯形是等腰梯形。

二、举例：

例1：

填空：

1、等腰梯形的腰长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为cm．

2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为1000，那么此梯形的四个内角的度数分别为．

3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的度数是______；

4、已知等腰梯形的一个底角等于600，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长为_______；

5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝120°，对角线BD平分∠ABC，则

∠BDC的度数是；又若AD＝5，则BC＝．

6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BD=BC，则∠C=0。

例2：

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：

AO＝DO．

例3：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。

试说明：

梯形ABCD是等腰梯形。

例4：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E为CD的中点，四边形ABED的周长比△BCE的周长大2cm，试求AB的长．

例5：

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M为BC中点，则：

（1）点M到两腰AB、CD的距离相等吗?

请说出你的理由。

（2）若连结AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗?

为什么?

（3）又若N为AD的中点，那么MN⊥AD一定成立．你能说明为什么吗?

例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与BC的延长线交于F．

（1）判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．

（2）判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．

（3）上述结论对一般梯形是否成立?

为什么?

例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC＝AB．则：

（1）AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗?

为什么?

（2）AE⊥BE吗?

为什么?

例8：

在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？

中考试题集

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

⑴轴对称图形：

如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。

⑵轴对称：

对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点叫做__________

典例1．下列几何图形中，

线段　

角　

直角三角形　

半圆，其中一定是轴对称图形的有（　　　）

　　A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

典例：

1、如图，Rt△ABC，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是

2、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.

若AP=PQ，求证∠APQ是多少度

考点四、线段垂直平分线的性质

⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________⑵线段的垂直平分线上的点到_____________相等

归类回忆角平分线的性质

⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________⑵角平分线上的点到______________________________相等

典例1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。

2、如图，△ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：

AD垂直平分BC

3、如图,DE是

ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则

EBC的周长为（）

A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米

4、如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，3图PD=28,则AM=

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交4图

BC于D.过C点作CG⊥AB于G，交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论：

①∠CED=∠CDE；②

︰

︰

；③∠ADF=2∠ECD；

④

；⑤CE=DF.其中正确结论的序号是（）

A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤

考点五、等腰三角形的特征和识别

⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）

⑵等腰三角形的__________、______________、______________互相重合（简称“________________”）

特别的：

（1）等腰三角形是___________图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.

⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

典例1、如图，△ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC

交AB于F，则四边形AFDE的周长为______。

2、

如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，EF过D

且EF∥BC，若AB=7，BC=8，AC=6，则△AEF周长为（）

A.15B.14C.13D.18

3、如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且

AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=________度．

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________

5、△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于°

6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于

7、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE=度.

8、如图：

在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。

试说明DE=DF。

9、如图,E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.求证：

△ABC是等腰三角形.

10、已知：

如图，△ABC中，∠ACB的平分线

交AB于E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G．试判断△EFC的形状，并说明你的理由．

11、如图，△ABC中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F.

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；

（2）选择

（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.

考点六、等边三角形的特征和识别

⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________

⑵三个角相等的三角形是__________三角形⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形

特别的：

等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________

典例1、下列推理中，错误的是（　　）

A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

求证：

M是BE的中点。

3、已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝___度

4、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，

求证：

PE+PF+PG=AD

5、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形

6、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：

AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有（）个

A．0B．1C．2D．3

考点七、30°所对的直角边是斜边的一半

1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（）A．1mB．2mC．3mD．4m

2、如图：

△ADC中，∠A=15°，∠D=90°，B在AC的垂直平分线上，AB=34，则CD=（）

A.15B.17C.16D.以上全不对

3、如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF=

1图2图

4、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？

甲

5、在

中，

，

的垂直平分线交

于点

，交

于点

．如果

，求

的长

6、如图，已知：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.

求证：

CF=2BF.

7、已知：

如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC＝AB，

AE、BD相交于O.求证：

BC=2OD.

轴对称中考试题集　

一、填空题

1、已知等边三角形ABC的边长为3+

，则△ABC的周长是　_________　．

2、如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB

交BC于点D．则四边形BDFE的周长是　_________　cm．

3、如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE

的周长是　_________　cm．

4、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，

使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为　_________　．

5、如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=　_________　度．

6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长__　．

　2图3图4图5图6图

7、以边长为2cm的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以

此类推，则第十个正三角形的边长是　　cm．

8、如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=　_________　度．

9、如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是　____　．

10、如图，在直线m上摆放着三个正三角形：

△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=

CE，F、G分别是BC、CE

的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S=　____　．11、如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABE、△BCD，连接DE，已知△BDE的面积是

，AC=4，如果AB＜BC，那么AB的值是　_________　．

　8图9图19图11图

12、正三角形的每一个内角都是　_________　度．

13、如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于　_________　度．

　13图14图15图16图

14、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，

则图中阴影部分的面积是　_________　cm2．

15、如图所示，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次，依次得到点P1，P2，P3…P2010．则点P2010

的坐标是　_________　．

16、如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则

A、E两点间的距离为　_________　．

　二、解答题

1、请阅读，完成证明和填空．

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：

∠NOC=60度．

（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=　_________　，且∠DON=　_________　度．

（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=　_________　，且∠EON=　_________　度．

（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：

　_________　．

2、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．

3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

4、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果