高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教师用书理.docx
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高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教师用书理
第一节 集合
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；
3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn（韦恩）图表达集合的关系与运算。
2016，全国卷Ⅰ，1,5分（集合的交集）
2016，全国卷Ⅱ，2,5分（集合的并集）
2015，全国卷Ⅱ，1,5分（集合的交集）
2014，全国卷Ⅰ，1,5分（集合的交集）
2014，全国卷Ⅱ，1,5分（集合的交集）
主要考查具体集合（能确定集合中元素）的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．集合的含义与表示方法
（1）集合的含义：
研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：
确定性、无序性、互异性。
（2）元素与集合的关系：
①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
（3）集合的表示方法：
列举法、描述法和图示法。
（4）常用数集的记号：
自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A中的元素都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B
或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合。
空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
微点提醒
1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。
2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。
3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。
4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。
5．记住以下结论
（1）若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。
（2）A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。
小|题|快|练
一、走进教材
1．（必修1P12B组T4改编）满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。
故选C。
【答案】 C
2．（必修1P12B组T1改编）已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。
【解析】 由题意知B⊆A，则集合B有8个。
【答案】 8
二、双基查验
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝（ ）
A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}D．{0,1}
【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。
故选B。
【答案】 B
2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝（ ）
A．[0,1]B．[0,1）
C．（0,1]D．（0,1）
【解析】 ∵x2<1，∴－1∴N＝{x|－1＜x＜1}。
∴M∩N＝{x|0≤x<1}。
故选B。
【答案】 B
3．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝（ ）
A．∅B．{2}
C．{5}D．{2,5}
【解析】 由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥
}，所以∁UA＝{x∈N|2≤x＜
}＝{2}。
故选B。
【答案】 B
4．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2【解析】 ∵A∪B＝{x|2∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}。
【答案】 {x|x≤2或x≥10}
5．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________。
【解析】 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素。
【答案】 2
微考点 大课堂
考点一
集合的基本概念
【典例1】
（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3
C．5D．9
（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】
（1）当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0。
根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个。
故选C。
（2）由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－
，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－
时，m＋2＝
，而2m2＋m＝3，故m＝－
。
【答案】
（1）C
（2）－
反思归纳用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。
分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
【变式训练】
（1）已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，0]B．（－∞，1]
C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）
（2）已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。
【解析】
（1）若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。
因为1∉A，所以a≤1。
故选B。
（2）由题意，得
或
解得x＝－1。
【答案】
（1）B
（2）－1
考点二
集合的基本关系…………母题发展
【典例2】
（1）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．7B．8
C．15D．16
（2）（2017·襄阳模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1【解析】
（1）A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。
或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7（个）。
故选A。
（2）当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1≥2m－1，即m≤2，
当B≠∅时，要使B⊆A，则有
解得2综上可得m≤4。
【答案】
（1）A
（2）（－∞，4]
【母题变式】 本典例
（2）中，是否存在实数m，使A⊆B？
若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。
【解析】 由A⊆B，得
即
不等式组无解，故不存在实数m，使A⊆B。
【答案】 不存在，理由见解析
反思归纳根据集合的关系求参数的关键点及注意点
1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。
2.注意点：
注意区间端点的取舍。
提醒：
解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。
【拓展变式】
（1）（2016·辽宁师大附中测试）已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列集合A与B的关系中正确的是（ ）
A．A⊆BB．AB
C．BAD．A∈B
（2）（2016·银川二中考试）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（ ）
A．（0,1]B．[1，＋∞）
C．（0,1）D．（1，＋∞）
【解析】
（1）因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。
故选D。
（2）
解法一：
由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）。
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。
故选B。
解法二：
因为A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），取c＝1，则B＝（0,1），所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝（0,2），所以A⊆B成立，可排除A。
故选B。
【答案】
（1）D
（2）B
考点三
集合的运算…………多维探究
角度一：
两个集合的交集、并集、补集运算
【典例3】
（1）（2016·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1,2}
C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}
（2）（2016·天津高考）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1}B．{4}
C．{1,3}D．{1,4}
（3）设全集U＝R，集合A＝{x|
x≥2}，B＝{y|y＝lg（x2＋1）}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{x|x≤－1或x≥0}
B．{（x，y）|x≤－1，y≥0}
C．{x|x≥0}
D．{x|x＞－1}
【解析】
（1）由已知可得B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}＝{x|－1（2）由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}。
故选D。
（3）∵全集U＝R，
集合A＝
＝{x|x≤－1}，
∴∁UA＝{x|x＞－1}，
∵B＝{y|y＝lg（x2＋1）}＝{y|y≥0}，
∴（∁UA）∩B＝{x|x≥0}。
故选C。
【答案】
（1）C
（2）D （3）C
角度二：
根据集合运算结果求参数
【典例4】
（1）已知集合A＝{1,3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（ ）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
（2）集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|yA．－1≤a<2B．a≤2
C．a≥－1D．a>－1
【解析】
（1）由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝
或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。
故选B。
（2）∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可。
故选D。
【答案】
（1）B
（2）D
角度三：
抽象的集合运算
【典例5】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
【解析】 由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC。
故选C。
【答案】 C
反思归纳集合的基本运算的关注点
1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。
2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。
3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。
微考场 新提升
1．（2016·四川高考）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
解析 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。
故选C。
答案 C
2．（2016·全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 由题意得，A＝{x|1
}，
则A∩B＝
。
故选D。
答案 D
3.
设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0,2}D．{1,2}
解析 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩（∁UA），∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩（∁UA）＝{0,2}。
故选C。
答案 C
4．（2016·辽宁五校联考）已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是（ ）
A．∁UN⊆∁UPB．∁NP⊆∁NM
C．（∁UP）∩M＝∅D．（∁UM）∩N＝∅
解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。
故选D。
答案 D
5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。
对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－
，
，1}，若M与N“相交”，则a＝________。
解析 M＝
，由
＝
，得a＝4；由
＝1，得a＝1。
当a＝4时，M＝{－
，
}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。
答案 1
微专题 巧突破
集合中新情境型问题
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：
通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。
常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。
解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。
1．定义新概念、新公式
【典例1】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。
【解析】 符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。
【答案】 6
【变式训练1】 若x∈A，则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，
，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A．1 B．3
C．7 D．31
【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，
，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，
，
。
故选B。
【答案】 B
2．定义新运算、新法则
【典例2】 设A，B是有限集，定义d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数。
命题①：
对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；
命题②：
对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C），
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
【解析】 命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）＋d（B，C）的区域，故命题②也正确，故选A。
【答案】 A
【变式训练2】 定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝
－
，x∈R}，则A－B＝________。
【解析】 先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。
依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝
可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。
易知y＝
－
＝
在（1，＋∞）上单调递减，则0<
－
≤
，即0，所以B＝（0，
]。
于是A－B＝[－2,0]∪（
，2]。
【答案】 [－2,0]∪（
，2]
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