七年级上册数学平面图形的认识一专题练习解析版.docx

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七年级上册数学平面图形的认识一专题练习解析版

-X初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1.已知，∩ABC,点E是直线AC上一个动点（不与AzC重合），点F是BC边上一个定点，过点E作昭％C,交直线AB于点D,连接BE,过点F作曲色，交直线AC于点G.

图①

（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：

NDEB=NGFC・

（2）在

（1）的条件下，判断NDEC、NEGF、^BFG这三个角的度数和是否为一个泄值？

如果是，求出这个值，如果不是，说明理由.

（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，

（2）中的结论是否仍然成立？

如果不成立，请直接写出上DEC、NEGF、NBFGZ间的关系・

（4）当点E在线段CA的延长线上时，

（2）中的结论是否仍然成立？

如果不成立，请直接写出NDEC、上EGF、^BFG之间的关系•

【答案】

（1）解：

JDE//BC

・•・XDEB=^EBC

•・・FG//BE

・•・XEBC=ZGFC・・GEB=NGFC

（2）解：

GEC、NEGF、NKFG这三个角的度数和为一个定值,是360"过点G作HGHDE,交BE于点H

・•・^DEC+^EGH=180*

•・・DE//BC

・•・HG//BC

・•・^HGF+ZBFG=ISQ9・•・ZDEC十ZEGH十ZHGF十4FG=360即ZDEC+ZEGF十ZBFG=360*

（3）解：

过点G作HG//DE,交BE于点H

∙∙∙^DEC-I-^EGH=I80'

•・・DE//BC

・・・HG//BC

・•・RGF亠刁FG=180•

・•・GEC+^EGH÷ZHGF+^BFG=360

即GEC÷^EGF+^BFG=360*

图②

故ZDEC+^EGF十ZBFG=360*的关系仍成立

（4）不成立IZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°

【解析】【解答】解：

⑷过点G作HGnDEf交BE于点H

・•・ZDEC=ZEGH

•・・DE//BC

・•・HG//BC

・•・ZHGF+ZBFG=I80°

•・•ZHGF=ZEGF-ZEGH

∙∙∙ZHGF=ZEGF-ZDEC

・•・ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°

・•・

（2）中的关系不成立，ZEGF.ZDEC、ZBFG之间关系为：

ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°故答案为：

不成立，ZEGF-ZDEC+ZBFG=I80°

【分析】（I）根据两条直线平行，内错角相等，得出NDEB=NEEC；两条直线平行，

同位角相等，得出NTEC=GFC'即可证明^DEB=NGFC•

（2）过点G作

HG//DE,交BEF点H,根据平行线性质泄理，^DEC÷^EGH=180**

/7GF十APG=I80'，即可得到答案•（3）过点G作HGJ/DEr交BEF点H,得到

^DEC÷^EGH=180*,因为DE//BC,所以HG//BC,得到//GF+NFFG=180「即可求解・（4）过点G作HGHDE,交BE于点H,得ZDEC=ZEGH,因为DS//BC,所以HG//BCy推得ZHGF+ZBFG=I80°,即可求解.

2.数轴上AzB,C,D四点表示的有理数分别为1,3,一5,—8

（1）计算以下齐点之间的距离：

①A、B两点,②B、C两点,③C、D两点，

（2）若点M、N两点所表示的有理数分別为m.n,求M、N两点之间的距离.

【答案】

（1）AB=3-1=2:

BC=3-（-5）=8：

CD=-5-（-8）=-5+8=3.

（2）MN=S-T

【解析】【分析】

（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此讣算即可：

（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.

3.如图，点C在乙AOB的边OA±,过点C的直线DEWOB,CF平分ΛACD,CG丄CF于C.

（1）若Z0=40%求ZECF的度数；

（2）试说明CG平分ZOCDx

（3）当ZO为多少度时，CD平分ZOCF?

并说明理由.

【答案】

（1）解：

∙.∙DE∕∕0B,.∙.Z0=ZACE,（两直线平行，同位角相等）•・・Z0=40%

・・・ZACE=40%•・・ZACD+ZACE=IgO「（平角定义）・：

ZACD=140。

又TCF平分ZACD,

^ACF=NDCF=70e（角平分线泄义）

・•・ZECF=IlO°

（2）证明:

VCG丄CF,

・•・^FCG=90r・

・•・4）CF+ZDCG=90°

又VZGCO+^GCD+ZFCA+ZFCD=180°（乎富定义）

・•・^GCO^ZFCA=^v

TXACF=^FDC

∙,∙^GCO=^DCG（等角的余角相等）

即CG平分ZOCD

（3）解：

结论：

当Z0=60°时，CD平分ZOCF・

当Z0=60°时

TDE//0B,

・•・ZDCO=Z0=60°.

・•・ZACD=I20°.

又∙.∙CF平分ZACD

・•・ZDCF=60%

・•・XDCO=^DCF

即CD平分ZOCF

【解析】【分析】

（1）根据平行线"两直线平行，同位角相等”，求得ZACE=40。

，根据平角的泄义以及CF平分ZACD,可得到ZACF=70%然后求出ZECF的度数：

（2）根据ZDCG+ZDCF=90%ZGCO÷ZFCA=90o,以及ZACF=ZDCF,可得到ZGCO=ZGCD,即可证明CG平分ZOCD；

（3）根据两直线平行，内错角相等得出ZDCO=ZO=60°,根据角平分线可得到ZDCF=60%以此可得ZDCO=ZDCF,即CD平分ZOCF.

4・如图1,已知ZABC=90JΔABE是等边三角形•点产为射线万C上任意一点（点f与点5不重合），连结曲，将线段曲绕点力逆时针旋转&T得到线段亦，连结少并延长交射线於C于点产・

（1）如图1,当BP=BA时，ZEBF=°,猜想ZQFC=

（2＞如图2,当点产为射线风上任意一点时，猜想/血的度数，并说明理由:

【答案】⑴30；60

（2）解：

结论：

ZQFC=60。

如图：

・・・ZBAP=ZBAE≠ZEAP=60o≠ZEAF,ZEAQ=ZQAF≠ZEAP=60Q十ZEAF

・・・ZBAP=ZEAQ

在△ABF和2∆AEQ中，AB=AEfZBAP=ZEAQIAP=AQ

・•・4ABP丝ΔAEQ^）

・•・ZAEQ=ZABP=90Q.

：

・ZBEF=I80°-ZAEQ-ZAEB=I80°-90°-60Q=30Q

・•・ZQFC二ZEBF+ZBEF二30°+30°=60Q.

【解析】【解答】证明：

（1）∙.∙ZABC=9（Γ,△ABE是等边三角形，

・•・ZABE=60o,

••・ZEBF=30o;

猜想：

ZQFC=60°:

理由如下：

如图，

图E

•・・ZBAP=ZBAE-^EAP=60°-ZEAft

ZEAQ=ZQAP一ZE4P=60°一ZEAF,

.・・ZBAP=^EAQ,

・・・AB=AE,AP=AQ,

.・・4ABP^ΔAEQ^）.

・•・ZAEQ=ZABP=90Q,

：

・ZBEF=I80°-ZAEQ-ZAEB=I80°-90°-60Q=30Q,

・•・ZQFC二ZEBF+ZBEF二30°+30°=60Q.

故答案为：

30：

60：

【分析】

（1）ZEBF与ZABE互余，而ZABE=600,即可求得ZEBF的度数：

先证明ZBAP=ZEAQ,进而得到AABP旻AAEQ,证得ZAEQ=ZABP=90o,则ZBEF=I80o-ZAEQ-ZAEB=I80o-90o-60o=30o,ZQFC=ZEBF+ZBEF,即可得到答案：

（2）先UE明ZBAP=ZEAQ,进而得到ZkABP旻AAEQ,证得ZAEQ=ZABP=90°,则ZBEF=I80o-ZAEQ-ZAEB=I80o-90o-60o=30%ZQFC=ZEBF+ZBEF,即可得到答案・5・如图①，ΔABC的角平分线BD,CE相交于点R

（2）如图②，过点P作直线MNIlBe分别交AB和AC于点M和N,试求ZMPB+ZNPC的度数（用含ZA的代数式表示）.

（3）将直线MN绕点P旋转。

（i）当直线MN与AB,AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系，并说明你的理由。

（ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问（i）中ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系是否仍然成立？

若成立，请说明你的理由：

若不成立，请给出ZMPB,ZNPC,ZA三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（Λ）ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB

=180°_UZABC÷-ZACB）

=180°-：

（180。

-ZA）

=90°÷-ZJ

=130Q故答案为：

130Q

得ZMPB+ZNPC=180-ZBPC=1801-（90'+^zA）=

9L-EzA;故答案为：

ZMPB+ZNPC=%r-左ZA・

（3）{i）ZMPB+ZNPC=^OA・

理由如下：

•・・ZBPC=90。

+12z2凡

：

.ZMPB+ZNPC=180：

-ZBPe=280。

-（90”+^ZA）=^O-12A・

（ii）不成立,有ZMPB-ZNPC=90'-EzA・

理由如下：

由题图④可知ZMPB+ZBPC-ZNPC=180,

由⑴知：

ZBPC=90°+2zA,・•・ZMPB-ZNPe=/80”-ZBPC=180C-（90°+纟ZA）=

-ZBPC即可算出答案：

（3）（i）ZMPB+ZNPC=%r-EzA,理由如下：

由

（1）知ZBPC=%r+NA,然后根

拯平角的左义由ZMPB+ZNPC=180Q-ZBPC即可算出答案：

（ii）不成立,有ZMPB-ZNPC=

90°-Wza,根拯平角的定义及角的和差得出ZMPB+ZBPC-ZNPC=180σ,由⑴知：

ZBPC=+2zA,从而即可由ZMPB-ZNPC=180c-ZBPC得岀结论。

6.如图⑴，ABIlCDt在AB、CD内有一条折线EPE

（1）求证：

ZAEP+ZCFP=ZEPR

（2）如图

（2）,已知ZBEP的平分线与ZDFP的平分线相交于点Q,试探索ZEPF与ZEQF之间的关系.

（3）如图⑶，已知ZBEQ=

ZBfħ

（4）已知ZBEQ二刀ZBEP,ZDFQ=CZDFP,则ZP与ZQ有什么关系・（直接写结论）

【答案】

（1）证明：

如图匕过点P作PGIlABZ

（3）解：

如图3,

图3,

由

（1）,可得

ZP=ZAEP+CFP>ZQ=ZBEQ+ZDFCb

ZBEQ二二ZBEP,ZDFQ二二ZDFP,

T33

：

.ZQ=ZBEQ+ZDFQ

=_（ZBEP≠ZDFP）,

=-[360O-（ZAEP+ZCFP）],

=-×（360°-ZP）,

・•・ZP+3ZQ=360°

（4）解：

由

（1）,可得

ZP=ZAEP+CFP,ZQ=ZBEQ+ZDFQ,

mIn

ZBEQ=-ZBEP,ZDFQ二-ZDFP,

∙.∙nn

：

.ZQ=ZBEQ+ZDFQ

二—（ZBEP+ZDFP）,

=-[360°-（ZAEP+ZCFP）],

In,。

二-X（360-ZP）,

.∙.InZP+nZQ-360°m.

【解析】【分析】

（1）如图1,过点P作PGIlAB,根据两直线平行，内错角相等，可得

ZAEP=Z1,ZCFP=Z2,从而可得ZAEP+zCFP=ZEPF.

（2）由

（1）,可得ZEPF=ZAEP+CFP,ZEQF=ZBEQ+zDFQ,利用角平分线的定

义，可得ZEQF=ZBEQ+zDFQ=2（ZBEP+zDFP）,利用平角定义，可得

ZBEP+zDFP=360o・（ZAEP+zCFP）=36OO-ZEPF,从而可得ZEPF+2zEQF=360o.

（3）同

（2）方法，即可得岀ZP+3ZQ=360o・

（4）同

（2）方法，即可得出结论・

（1）如图，请证明ZA+ZB+ZC=180°

（2）如图的图形我们把它称为"8字形〃，请证明ZA+ZB=ZC+ZD

（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分ZBAD,CP平分ZBCE,猜想ZP与ZB、ZD之间的关系，并证明

（4）如图，ABllCD,PA平分ZBACtPC平分ZACD,过点P作PM.PE交CD于M,交AB于E,则①Z1+Z2+Z3+Z4不变；②Z3+Z4-Z1-Z2不变，选择正确的并给予证明.

【答案】

（1）证明：

如图1,延长BC到D,过点C作CEIlBA,

•・•BAIlCE,

.∙.ZB=Z1,

ZA=Z2,

又•・・ZBCD=ZBCA+Z2+Zl=180∖

・•・ZA+ZB+ZACB=I80°：

（2）证明：

如图2,在ZkAOB中，ZA+ZB+ZAOB=I80°.

TZAOB=ZCOD,

.β.ZA+ZB=ZC+ZD；

（3）解：

如图3,

・・AP平分ZBAD,CP平分ZBCD的外角ZBCE,

.∙.ZI=Z2,Z3=Z4,•・・（Z1+Z2）+ZB=（180°-2Z3）+ZD.

Z2+ZP=（180o-Z3）+ZD,/.2ZP=180o+ZD+ZB,

・•・ZP=90°+纟（ZB+ZD）:

（4）解：

②Z3+Z4-Z1-Z2不变正确.理由如下：

∙.∙ABIlCD,

••・PQllCD,

由ABIlPQ得ZAPQ+Z3+Z4=180%即ZAPQ=I80°-Z3・Z4,

由PQIlCD得Z5=Z2,

TZAPQ+Z5+Z1=90%

・•・1800-Z3-Z4+Z2+Z1=90。

，

/.Z3+Z4-Z1-Z2=900.

【解析】【分析】

（1）如图1,延长BC到D,过点C作CEIlBA,根据二直线平行，同位角相等、内错角相等得岀ZB=Zl,ZA=Z2,根据平角的窪义得ZBCA+Z2+ZI=180\再等量代换即可得出结论：

ZA+ZB+ZACB=I80°；

（2）根据三角形的内角和得出：

在AAOB中，ZA+ZB+ZAOB=I80\在ZkCOD中，ZC+ZD+ZCOD=I80°,根据对顶角相等得出ZAOB=ZCOD,根据等式的性质得岀ZA+ZB=ZC+ZD：

（3）ZP=90o+^（ZB+ZD）,理由如下：

根据角平分线的定义得岀ZI=Z2,Z3=Z4,根据

（2）的结论得出（Zl+Z2）+ZB=（180o-2Z3）÷ZD①，Z2÷ZP=

（180o-Z3）+ZD②，由①得180°-2Z3=Z1+Z2+ZB-ZD③，

（2）×2得:

2Z2+2ZP=2（180o-Z3）+2ZD④，将③代入④即可得出结论：

ZP=90°+（ZB+ZD）:

（4）@Z3+Z4-Z1-Z2不变正确.理由如下：

作PQIlAB,如图4,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PQIlCD,根据平行线的性质得出ZAPQ+Z3+Z4=180。

，即ZAPQ=I80o-Z3-Z4,Z5=Z2,根摒角的和差得出ZAPQ+Z5+Z1=90%再整体替换即可得岀Z3+Z4-Z1-Z2=90°.

&如图，在厶ABC中，点E在AC边上，连结BE,过点E作DFIlBC,交AB于点D•若BE平分ZABC,EC平分ZBER设ZADE=α,ZAED=β.

（1）当β=80o时，求ZDEB的度数・

（2）试用含α的代数式表示B.

（3）若β=kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.

【答案】

（1）解:

Vβ=80β,

AZCEF=ZAED=80%

TBE平分ZABC,

・•・ZBEC=ZCEF=80∖

・•・ZDEB=I80°-80°-80°=20°：

（2）•・・DFIlBC,/.ZADE=ZABC=Ob

TBE平分ZABC,...ZDEB=ZEBC=評

TEC平分ZBEF,

（3）∙.∙β=kα,.∙.90°-4cc=ka,

解得：

4⅛+1

【解析】【分析】

（1）根据对顶角的性质得到ZCEF=ZAED=80。

，根据角平分线的泄义即可得到结论：

（2）根据角平分线的左义和平行线的性质即可得到结论：

9.课题学习：

平行线的“等角转化功能.

（2）问题情景：

（3）根据题意列方程即可得到结论.

如图1»LA知点力是风外一点，连接W北，求NgAC+NB+NT

图2

天天同学看过图形后立即想出：

^BAC+^B÷=180,请你补全他的推理过程.

解：

（1）如图1,过点力作EDIlFC，•・^B=又TZEAB+ZBAC+ZCAD=180P，二4AC+F+NC二18Cr・

解题反思：

从上而的推理过程中，我们发现平行线具有"等角转化"功能，将^AC.

A，Nt■"凑"在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）问题迁移：

如图2,AEIlED，求A+^BCD+ND的度数・

（3）方法运用:

【答案】

（1）ZEAB；ZDAC

（2）解：

过C作CFIlAB,

∙.βABIlDE,・∙.CFIlDEIlABt

・•・ZD=ZFCD,ZB=ZBCF,

•・•ZBCF+ZBCD+ZDCF=360∖

・・・ZB+ZBCD+ZD=360o,

（3）解：

如图3,过点E作EFIlAB,

∖∙ABIlCD,・∙.ABIlCDIlEF,

・•・ZABE=ZBEF,ZCDE=ZDEF,

∙.βBE平分ZABC,DE平分ZADC,ZABC=60o,ZADC=70%

・•・ZABE=ZzABC=30o,ZCDE=ADC=350

【解析】【解答】解:

・•・ZBED=ZBEF+ZDEF=30o+35o=65o.

（1）根据平行线性质可得：

因为EDIlBC＞所以NB=ZEAB,

ZB+ZBCD+ZDZBCF+ZBCD+ZDCF：

（2）过C作CFIlAB,根拯平行线性质可得；（3）

如图3,过点E作EFIlAB,根据平行线性质和角平分线泄义可得ZABE=^ZABC=30°,

ZCDE=^ZADC=35∖故ZBED=ZBEF+ZDER10•问题情景：

如图1,AB∕∕CD,ZPAB=I30o,ZPCD=I20°,求ZAPC的度数・

小明的思路是：

过点P作PE//AB,

・•・ZPAB+ZAPE=I80°.

••・ZPAB=I30%・•・ZAPE=50o

TAB//CD,PE//AB,・β.PE∕∕CD>

・•・ZPCD+ZCPE=I80°・

••・ZPCD=I20°,・•・ZCPE=60o

••・ZAPC=ZAPE+ZCPE=IlOo.

问题迁移：

如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时,

ZPAB,ZPCD的度数会跟着发生变化.

（1）如图3,当动点P运动到直线AC右侧时，请写岀ZPAB,ZPCD和ZAPC之间的数量关系？

并说明理由.

（2）如图4,ACbCQ分别平分ZPAB,ZPCD,请直接写出ZAQC和ZAPC的数量关系

（3）如图5,点P在直线AC的左侧时,AQ,CQ仍然平分ZPAB,ZPCD,请直接写出

ZAQC和角ZAPC的数量关系

【答案】（I）ZPAB+ZPCD=ZAPC理由：

如图3,过点P作PFIlAB,

∖∙ABllCD,PFIlAB,

・•・PFIlCD,

・•・ZPCD=ZCPF,

・・・ZPAB+ZPCD=ZAPF+ZCPF=ZAPC,即ZPAB+ZPCD=ZAPC

故答案为：

ZPAB+ZPCD=ZAPC

（2〉^AQC=^ZAPC

（3）2ZAQC+ZAPC=360o

【解析】【解答】

（2）^AQC=I^APC

・•・ZQAB二2ZPAB,ZQCD=EZPCD,IlI

：

.ZQAB+ZQCD=ZPAB+2ZPCD=纠ZPAB+ZPCD）,由

（1）,可得ZPAB+ZPCD=ZAPC,

ZQAB+ZQCD=ZAQC

・•・ZAQC=2ZAPC

故答案为：

ZAQC=2zAPC：

（3）2ZAQC+ZAPC=360o理由：

如图5,过点P作PGIlAB,

・•・ZPAB+

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