高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修210602128.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系学案新人教A版选修210602128

1.1　

1．1.1　命　题

预习课本P2～3，思考并完成以下问题

1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？

2．在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？

命题

[点睛]　

（1）判断一个语句是命题的两个要素：

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假．

（2）命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“集合{a，b，c}有3个子集”是命题（　　）

（2）“x2－3x＋2＝0”是命题（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”（　　）

A．不是命题　B．是真命题

C．是假命题D．不能判断真假

答案：

B

3．下列语句中，是假命题的是（　　）

A．一条直线有且只有一条垂线

B．不相等的两个角一定不是对顶角

C．直角的补角必是直角

D．两直线平行，同旁内角互补

答案：

A

4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______，结论q为________．

答案：

一个正整数　不是合数就是素数

命题的判断

[典例]　判断下列语句是否是命题，并说明理由．

（1）是有理数；

（2）3x2≤5；

（3）梯形是不是平面图形呢？

（4）x2－x＋7>0.

[解]　

（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

（3）“梯形是不是平面图形呢？

”是疑问句，所以它不是命题．

（4）因为x2－x＋7＝2＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．

判断语句是否是命题的策略

（1）命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

（2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．　　　　　　

[活学活用]

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

（1）若平面四边形的边都相等，则它是菱形；

（2）任何集合都是它自己的子集；

（3）对顶角相等吗？

（4）x>3.

解：

（1）是陈述句，能判断真假，是命题．

（2）是陈述句，能判断真假，是命题．

（3）不是陈述句，不是命题．

（4）是陈述句，但不能判断真假，不是命题.

判断命题的真假

[典例]　判断下列命题的真假，并说明理由．

（1）正方形既是矩形又是菱形；

（2）当x＝4时，2x＋1<0；

（3）若x＝3或x＝7，则（x－3）（x－7）＝0；

（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解]　

（1）是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

（2）是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.

（3）是真命题，x＝3或x＝7能得到（x－3）（x－7）＝0.

（4）是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

命题真假的判定方法

（1）真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

（2）假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．　　　　　　

[活学活用]

下列命题中真命题有（　　）

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；

③互相包含的两个集合相等；

④空集是任何集合的真子集．

A．1个　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

选A　①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集.

命题的结构形式

[典例]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）6是12和18的公约数；

（2）当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

（3）平行四边形的对角线互相平分；

（4）已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

[解]　

（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

（2）若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

（4）已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．　　　　　　

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）奇数不能被2整除；

（2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1；

（3）两个相似三角形是全等三角形；

（4）在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

解：

（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．

（2）若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1，是真命题．

（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

（4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

层级一　学业水平达标

1．下列语句不是命题的有（　　）

①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax（a>0，且a≠1）在R上是增函数．

A．0个　　　　　　　　　B．1个

C．2个D．3个

解析：

选C　①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．

2．下列命题是真命题的是（　　）

A．所有质数都是奇数

B．若>，则a>b

C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立

D．方程x2＋x＋2＝0有实根

解析：

选B　选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根．

3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是（　　）

A．若a∥b，则α∥β

B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交

D．若α，β相交，则a，b相交

解析：

选D　由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．

4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　）

A．4B．2

C．0D．－3

解析：

选C　方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．

5．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．

其中真命题的序号为（　　）

A．①②③B．①②

C．①③D．②③

解析：

选C　对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；

对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：

1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；

对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心（0,0）到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．

6．下列语句中是命题的有________（写出序号），其中是真命题的有________（写出序号）．

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；

⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．

解析：

①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；

④是真命题；

⑤祈使句，不是命题．

答案：

②③④　④

7．给出下面三个命题：

①函数y＝tanx在第一象限是增函数；

②奇函数的图象一定过原点；

③若a>b>1，则0

其中是真命题的是________．（填序号）

解析：

①是假命题，反例：

x＝2π＋和x＝，tan＝，tan＝1,2π＋>，但tan2π＋

②是假命题，反例：

y＝是奇函数，但其图象不过原点．

③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．

答案：

③

8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵ax2－2ax－3>0不成立，

∴ax2－2ax－3≤0恒成立．

当a＝0时，－3≤0恒成立；

当a≠0时，则有

解得－3≤a<0.

综上，－3≤a≤0.

答案：

[－3,0]

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

（1）乘积为1的两个实数互为倒数；

（2）奇函数的图象关于原点对称；

（3）与同一直线平行的两个平面平行．

解：

（1）“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．

p：

两个实数乘积为1；q：

两个实数互为倒数．

（2）“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

p：

一个函数为奇函数；q：

函数的图象关于原点对称．

（3）“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：

两个平面与同一条直线平行；q：

两个平面平行．

10．已知A：

5x－1>a，B：

x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．

解：

若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；

若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.

故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．

层级二　应试能力达标

1．在空间中，下列命题正确的是（　　）

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一平面的两条直线平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

解析：

选D　A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.

2．下面的命题中是真命题的是（　　）

A．y＝sin2x的最小正周期为2π

B．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根同号，则>0

C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

D．在△ABC中，若

·

>0，则B为锐角

解析：

选B　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当

·

>0时，向量

与

的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.

3．下列命题为真命题的是（　　）

A．若＝，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝

D．若x

解析：

选A　很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.

4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（　　）

A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

解析：

选C　命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.

5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包括边界）”条件p：

________，结论q：

________________________________.它是____________命题（填“真”或“假”）．

解析：

a>0时，设a＝1，把（0,0）代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，

∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域（包括边界），

∴命题为真命题．

答案：

a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域（包含边界）　真

6．定义“正对数”：

ln＋x＝现有四个命题：

①若a>0，b>0，则ln＋（ab）＝bln＋a；

②若a>0，b>0，则ln＋（ab）＝ln＋a＋ln＋b；

③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；

④若a>0，b>0，则ln＋（a＋b）≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.

其中的真命题有________．（写出所有真命题的编号）

解析：

对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋（ab）＝lnab＝blna＝bln＋a；当0

同理讨论a，b在（0，＋∞）内的不同取值，可知③④为真命题．

对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋（ab）＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．

综上可知，真命题有①③④.

答案：

①③④

7．已知p：

x2－2x＋2≥m的解集为R；q：

函数f（x）＝－（7－3m）x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

解：

若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝（x－1）2＋1≥m，可知m≤1；

若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.

命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，

即或所以1

故实数m的取值范围是（1,2）．

8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．

解：

方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：

当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；

当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.

综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．

1．1.2&1.1.3　四种命题　四种命题间的相互关系

　预习课本P4～8，思考并完成以下问题

1．一个命题的四种形式分别是什么？

它们之间的相互关系分别是什么？

2．什么样的两个命题有相同的真假性？

3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题结构

3．四种命题之间的关系

4．四种命题的真假性之间的关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性（　　）

（2）原命题与逆命题之间的真假性没有关系（　　）

答案：

（1）√　

（2）√

2．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是（　　）

A．若a2＋b2<，则a＋b≠1

B．若a＋b＝1，则a2＋b2<

C．若a＋b≠1，则a2＋b2<

D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1

答案：

C

3．若a≠0，则ab≠0的逆命题是________．

答案：

若ab≠0，则a≠0

4．命题p：

若a＝1，则a2＝1；命题q：

若a2＝1，则a＝1，则命题p与q的关系是________．

答案：

互逆命题

四种命题的概念

[典例]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）当x＝2时，x2－3x＋2＝0.

[解]　

（1）原命题：

若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：

若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：

若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：

若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

（2）原命题：

若x＝2，则x2－3x＋2＝0；

逆命题：

若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：

若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：

若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

（2）如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．　　　　　　

[活学活用]

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

（2）如果x>10，那么x>0.

解：

（1）逆命题：

如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：

如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：

如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

（2）逆命题：

如果x>0，那么x>10；

否命题：

如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：

如果x≤0，那么x≤10.

四种命题真假的判断

[典例]　判断下列命题的真假．

（1）“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．

（2）“正三角形都相似”的逆命题．

（3）“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

[解]　

（1）原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

（2）原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．

（3）原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

因为方程x2＋x－m＝0无实根，

所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－，

故m≤0，为真命题．

[一题多变]

1．[变设问]若本例（3）改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？

解：

原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．

因为方程x2＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－，故逆命题为假命题．

2．[变条件]若本例（3）改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

解：

原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．

因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，

所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，

故m≤0，为真命题．

解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．　

等价命题的应用

　　[典例]　证明：

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.

[证明]　法一：

原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f（a）＋f（b）

若a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：

假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．　　　　　　

[活学活用]

证明：

若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

证明：

将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥（m＋n）2>×22＝2，

所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

层级一　学业水平达标

1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是（　　）

A．原命题、否命题　　　　B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题

解析：

选C　因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：

选A　a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（　　）

A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D．不能被6整除的整数，能被3整除

解析：

选B　即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．

4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（　　）

A．互逆命题B．互否命题

C．互为逆否命题D．以上都不正确

解析：

选A　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

解析：

选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.

6．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是______________________，这是________（填“真”或“假”）命题．

解析：

逆命题即将原命题条件和结论互换位置．

答案：

如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数　假

7．已知命题“若m－1

解析：

由已知得，若1

∴∴1≤m