组合图形的面积.docx

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组合图形的面积

组合图形的面积

适用学科

小学数学

适用年级

小学六年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1.圆的周长与面积计算公式

2.基本图形的周长与面积计算公式

教学目标

1.基本图形的周长与面积计算方法

2.组合图形的周长与面积计算方法

3.圆与组合图形的周长与面积的计算方法

教学重点

圆与组合图形的周长与面积计算方法

教学难点

圆与组合图形的周长与面积计算方法

教学过程

一、复习预习

我们已经学了基本图形的知识，运用这些基本图形的知识来解决与基本图形有关的组合图形

圆的周长公式：

2πr或πd圆的面积计算公式：

s=πr²或s=π（

）²

长方形的周长公式：

c=2（a+b）长方形的面积公式：

s=ab

正方形的周长公式：

c=4a正方形的面积公式：

s=a²

平行四边形的周长公式：

c=2（a+b）平行四边形的面积公式：

s=ah

梯形的面积公式：

s=

（a+b）h三角形的面积公式：

s=

ah

对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

二、知识点讲解

1、圆与长方形的组合图形

2、圆与三角形的组合图形

3、圆与长方形与三角形的组合图形

考点/易错点1

用拼的方法计算圆与组合图形的面积

考点/易错点2

用割的方法计算圆与组合图形的面积

考点/易错点3

用旋转的方法计算圆与组合图形的面积

三、例题精讲

【例题1】

【题干】如图所示，求图中阴影部分的面积。

【解析】

解法一：

阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米

[3.14×102×

－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：

以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×

－（20÷2）2×

＝107（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是107平方厘米。

【例题2】

【题干】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【解析】

解法一：

先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。

如图所示。

3.14×42×

+3.14×62×

－4×6＝16.28（平方厘米）

解法二：

把阴影部分看作

（1）和

（2）两部分如图20－8所示。

把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影

（1）的面积，即长方形的面积。

3.14×42×

+3.14×62×

－4×6＝16.28（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是16.82平方厘米。

【例题3】

【题干】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

【解析】

解法一：

先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半：

10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）

阴影部分的面积：

10×10－21.5×2＝57（平方厘米）

解法二：

把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。

（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是57平方厘米。

【例题4】

【题干】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。

求阴影部分的面积。

【解析】

这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。

但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。

根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。

这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：

6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）

阴影部分的面积为：

18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是3.87平方厘米。

【例题5】

【题干】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。

求阴影部分的面积。

【解析】

阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。

可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。

我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。

这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。

3.14×（30×2）×

－30＝17.1（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是17.1平方厘米。

三、课堂运用

【基础】

1．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。

求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

答案

49×29÷2=710.5（平方厘米）

答：

红蓝两张三角形纸片之后是710.5平方厘米。

分析

把红色三角形逆时针旋转90°，与原蓝色三角形结合成一个大的直角三角形。

原蓝色三角形的斜边就是现在直角三角形的一条直角边，原红色三角形的斜边是现直角三角形的另一条直角边。

2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。

以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。

求图中阴影部分的面积。

答案

两个半圆的交点在AB边上。

求图中阴影部分的面积。

AC=4，BC=2，所以三角形ABC的面积是三角形BCD面积的4倍。

分别过D点作AC、BC的高，所以DE=

BC=1.6,DF=

AC=

X4=0.8。

所以，阴影部分面积为：

3.14x2x2÷2-4x1.6÷2+3.14x1x

-2x0.8÷2=3.85（平方厘米）

分析

把这个组合图形中图中阴影部分的面积就是两个半圆的面积减去直角三角形的面积

3.已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=

BC，求阴影部分的面积。

答案

8÷5=1.6（平方厘米）

1.6×2=3.2（平方厘米）

答：

阴影部分的面积3.2平方厘米。

分析

阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。

因为BD=

BC，所以S△BDF＝2S△DCF。

又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。

因此，S△ABC＝5S△DCF。

由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【巩固】

1.如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

答案

30÷5=6（平方厘米）

6×2=12（平方厘米）

答：

阴影部分的面积12平方厘米。

分析

阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。

因为BC=3BD，所以S△BDF＝

S△DCF。

又因为AE＝ED，所以S△ACF＝S△CDF＝2S△DBF。

因此，S△ABC＝5S△DBF。

由于S△ABC＝30平方厘米，所以S△DCF＝30÷5＝6（平方厘米），则阴影部分的面积为6×2＝12（平方厘米）。

2.如图所示，AE=ED，DC＝

BD，S△ABC＝21平方厘米。

求阴影部分的面

答案

21÷7=3（平方厘米）

3×3=9（平方厘米）

答：

阴影部分的面积9平方厘米。

分析

阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。

因为DC

BD，所以S△BDF＝3S△DCF。

又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝3S△DCF。

因此，S△ABC＝7S△DCF。

由于S△ABC＝21平方厘米，所以S△DCF＝21÷7＝3（平方厘米），则阴影部分的面积为3×3＝9（平方厘米）。

3.两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？

答案

三角形AOB的面积是6，三角形AOD的面积是3

分析

已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：

BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：

S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为6÷2＝3。

因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6

因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍

所以S△AOD＝6÷2＝3。

【拔高】

3.如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。

答案

45cm²

分析

由图可知：

s阴影是以o为圆心,AB为直径的半圆，减去以C为圆心AC为半径，AB为弦的弓形面积。

因为s△ABC=

×（AC）²，s△ABC=45，所以AC=3根10，s弓形=90π÷4-45=45（π-2）÷2.。

因为AB²=AC²+BC²=180，所以AB=6

，

即圆O的半径为3

，所以半圆O的面积为45π÷2.

所以s阴影=45π÷2-45（π-2）÷2=45cm²。

四、课堂小结

基本图形的周长与面积计算方法

组合图形的周长与面积计算方法

五、课后练习

【基础】

1.平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。

答案

14.25平方厘米

分析

圆半径平方=100÷2=50平方厘米，这也是三角形两个直角边的乘积

所以阴影部分面积为

×3.14×50-

×50

=14.25平方厘米

2.两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？

答案

三角形DOC面积是4，三角形AOD面积是2.

分析

已知S△BOC是S△AOB的2倍，且高相等，可知：

CO＝2AO；从S△ABC与S△BCD相等（等底等高）可知：

S△DCO等于4，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为4÷2＝2。

3.四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积（如图所示）。

答案

15×3＝45（平方厘米）

答：

四边形ABCD的面积为45平方厘米。

分析

由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。

同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。

由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。

【巩固】

1.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积（如图）。

答案

15×2=30（平方厘米）

答：

四边形ABCD的面积是30平方厘米。

分析

由于E、F、G三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFG、AGD是等底等高的三角形，它们的面积相等。

同理，三角形BEC、CEF、CFG、CGD的面积也相等。

由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEG面积的2倍，三角形BCD的面积是三角形CEG面积的2倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的2倍。

2.已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积（如图所示）。

答案

15×4=60（平方厘米）

答四边形ABCD的面积是60平方厘米。

分析

由于E、F、G三等分BD，所以三角形ABE、BEF、BFG、BGC是等底等高的三角形，它们的面积相等。

同理，三角形AED、DEF、DFG、CGD的面积也相等。

由此可知，三角形ABC的面积是三角形BEF面积的4倍，三角形ACD的面积是三角形DEF面积的4倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形BEDF面积的4倍。

3.如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。

那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

答案

S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米）S△DAB＝4×3＝12平方厘米

S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）

答：

梯形ABCD的面积是18平方厘米。

分析

因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。

根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。

【拔高】

1、如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。

答案

6.5

分析

连接AE。

仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。

由图上看出：

三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。

用8减去3得到三角形ABE的面积为5。

同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。

因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。