第一课时 充分条件与必要条件.docx

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第一课时充分条件与必要条件

2.2　充分条件、必要条件、充要条件

第一课时　充分条件与必要条件

课标要求

素养要求

1.了解推出的意义.

2.理解充分条件与必要条件的意义.

通过对必要条件、充分条件、充要条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件、充要条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.

问题　

（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？

（2）B灯亮时A开关一定闭合吗？

提示　

（1）一定亮.

（2）不一定，还可能是C开关闭合.

充分条件、必要条件

如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件.

如果p⇒q，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

拓展深化

[微判断]

1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.（×）

提示　不是唯一的，使结论成立的条件有多个.

2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.（√）

3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.（√）

4.ab>0是a>0，b>0的充分条件.（×）

提示　由ab>0⇒a>0，b>0，也可能a<0，b<0，故不是充分条件.

[微训练]

1.“x>2”是“x>3”的________条件（填“充分”或“必要”）.

答案　必要

2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件（填“充分”或“必要”）.

答案　充分

[微思考]

命题“若p，则q”的真假，与充分条件，必要条件什么关系？

提示　“若p，则q”是真命题；p⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种说法是等价的.

题型一　充分条件的判断

【例1】　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？

（1）在△ABC中，p：

∠B>∠C，q：

AC>AB.

（2）对于实数x，y，p：

x＋y≠15，q：

x≠5或y≠10.

（3）已知x，y∈R，p：

x＝1，q：

（x－1）·（x－2）＝0.

解　

（1）在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件.

（2）对于实数x，y，因为x＝5且y＝10⇒x＋y＝15，

所以由x＋y≠15⇒x≠5或y≠10，

故p是q的充分条件.

（3）由x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0，

故p是q的充分条件.

故

（1）

（2）（3）命题中p是q的充分条件.

规律方法　要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题.

【训练1】　下列命题中，p是q的充分条件的是________.

（1）p：

（x－2）（x－3）＝0，q：

x－2＝0；

（2）p：

两个三角形面积相等，q：

两个三角形全等；

（3）p：

m<－2，q：

方程x2－x－m＝0无实根.

解析　

（1）∵（x－2）（x－3）＝0，

∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.

∴p不是q的充分条件.

（2）∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，

∴p不是q的充分条件.

（3）∵m<－2，∴12＋4m<0，

∴方程x2－x－m＝0无实根，

∴p是q的充分条件.

答案　（3）

题型二　必要条件的判断

【例2】　下列各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？

（1）p：

ac＝bc，q：

a＝b.

（2）p：

x＝y，q：

x2＝y2.

（3）p：

a＋5是无理数.q：

a是无理数.

解　

（1）因为a＝b⇒ac＝bc，所以p是q的必要条件.

（2）由x2＝y2⇒x＝y，所以p不是q的必要条件.

（3）由a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的必要条件.

规律方法　“若p，则q”为真，即p⇒q，则q是p的必要条件，若q⇒p，则p是q的必要条件.

【训练2】　判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？

（1）p：

两个三角形相似，q：

两个三角形全等；

（2）p：

一个四边形是矩形，q：

四边形的对角线相等；

（3）p：

A⊆B，q：

A∩B＝A；

（4）p：

a>b，q：

ac>bc.

解　

（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p.

∴p是q的必要条件.

（2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即q

p.

∴p不是q的必要条件.

（3）因为A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p，∵p是q的必要条件.

（4）若ac>bc，因为c的正负不确定，所以不能推出a>b，即q⇒p，

∴p不是q的必要条件.

题型三　充分条件、必要条件的应用

【例3】　已知p：

实数x满足3a

实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

解　p：

3a

q：

－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以

⇒－

≤a<0.

所以a的取值范围是

.

【迁移1】　（变换条件）将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.

解　p：

a

q：

－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.

因为q⇒p，所以B⊆A，所以

⇒a∈∅.

【迁移2】　（变换条件）将例题中的条件“q：

实数x满足－2≤x≤3”改为“q：

实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围.

解　p：

3a

q：

－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}.

因为p是q的充分条件，

所以p⇒q，所以A⊆B，

所以

⇒－1≤a<0.

所以a的取值范围是[－1，0）.

规律方法　充分条件与必要条件的应用技巧

（1）应用：

可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

（2）求解步骤：

先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.

【训练3】　

（1）若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围.

（2）已知p：

x<－3或x>1，q：

x>a，且p是q的必要条件，求a的取值范围.

解　

（1）由已知条件知{x|x2或x<1}.

∴m≤1.即m的取值范围为（－∞，1].

（2）由已知条件得{x|x>a}⊆{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞）.

一、素养落地

1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.

2.充分条件、必要条件的判断方法

（1）定义法：

直接用定义进行判断.

（2）利用集合间的包含关系进行判断，也就是小范围推出大范围.

3.p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立.

二、素养训练

1.下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）

A.p：

ab≠0，q：

a≠0

B.p：

a2＋b2≥0，q：

a≥0且b≥0

C.p：

x2>1，q：

x>1

D.p：

a>b，q：

>

解析　根据充分条件的概念逐一判断.

答案　A

2.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（　　）

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.无法判断

解析　当a＝1时，|a|＝1成立，

但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.

∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.

答案　A

3.“0

解析　当0

答案　充分

4.下列各式：

①x<1；②0

解析　x<1时，取x＝－2，则x2<1不成立，故x<1

x2<1，由②0

答案　②③④

5.已知P＝{x|a－4

解　因为x∈P是x∈Q的必要条件.

∴1

所以

即

所以－1≤a≤5.

即所求实数a的取值范围为[－1，5].

基础达标

一、选择题

1.“－21或x<－1”的（　　）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.既是充分条件，也是必要条件

解析　∵－2

　x>1或x<－1，且x>1或x<－1

－21或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.

答案　C

2.使x>3成立的一个充分条件是（　　）

A.x>4B.x>0

C.x>2D.x<2

解析　只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.

答案　A

3.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（　　）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不是充分条件，也不是必要条件

解析　x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2，故选A.

答案　A

4.设p：

x<3，q：

－1

A.既充分又必要条件

B.充分条件但不是必要条件

C.必要条件但不是充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析　因为{x|－1

答案　C

5.设x，y是两个实数，使“x，y中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是（　　）

A.x＋y＝2B.x＋y>2

C.x2＋y2>2D.xy>1

解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立，也不符合题意.

答案　B

二、填空题

6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件（填“充分”或“必要”）.

解析　若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.

答案　充分

7.已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“

>

”的________条件（填“充分”或“必要”）.

解析　

>

可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出

>

.

答案　必要

8.下列说法不正确的是________（只填序号）.

①“x>5”是“x>4”的充分条件；

②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；

③“－2

解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.

答案　②

三、解答题

9.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？

（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的对边分别相等；

（2）若x为无理数，则x2为无理数.

解　

（1）这是平行四边形的一个性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件.

（2）当x＝

时，x2＝2，2是有理数，pD⇒q，所以p不是q的充分条件.

10.下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：

a＋b＝0，q：

a2＋b2＝0；

（2）p：

四边形是正方形，q：

四边形的四条边相等；

（3）p：

x＝1或x＝2，q：

x－1＝

.

解　

（1）∵a＋b＝0

a2＋b2＝0，

a2＋b2＝0⇒a＋b＝0.

∴p是q的必要条件，但不是充分条件.

（2）∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等，

四边形的四条边相等

四边形是正方形.

∴p是q的充分条件，但不是必要条件.

（3）∵x＝1或x＝2⇒x－1＝

，

x－1＝

⇒x＝1或x＝2，

∴p是q的既充分又必要条件.

能力提升

11.已知集合A＝{x∈R|－1

A.m≥2B.m≤2

C.m>2D.－2

解析　因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.

答案　A

12.试说明0

是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件.

解　若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，

则

∴0

.反之，若0

，

则

>0，

>0，－3<－12m<0，从而4－12m＞0，

即Δ>0，且

>0，

>0.

因此0

是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的充分条件，但不是必要条件.

创新猜想

13.（多选题）给出四个条件：

①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<

<

.

其中能成为x>y的充分条件的有（　　）

A.①B.②

C.③D.④

解析　①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；②当t>0时，x>y，当t<0时，xyt⇒x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2⇒x>y；

④由0<

<

⇒x>y.故选AD.

答案　AD

14.（多选题）下列式子中，能使

<

成立的充分条件有（　　）

A.a<0

C.b<0

解析　A中，当a<0

<0<

；B中，当b

<

<0；C中，当b<0

<0<

；D中，当0

<

，故能使

<

成立的充分条件有ABD.

答案　ABD