四年级奥数专题19整数中的推理问题.docx
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四年级奥数专题19整数中的推理问题
十九、整数中的推理问题（A卷）
年级班姓名得分
一、填空题
1.在下边的表格的每个空格内,填入一个整数,使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数,那么第二行中的五个数字依次是_______.
0
1
2
3
4
2.有30个2分硬币和8个5分硬币,这些硬币值的总和正好是1元.用这些硬币不能组成1元之内的币值是_______.
3.a是一个自然数,已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除,那么这样的自然数a最小是_______.
4.有一个电话号码是六位数,其中左边三位数字相同,右边三个数字是三个连续的自然数,六个数字之和恰好等于末尾的两位数.这个电话号码是______.
5.小明家住在一条小胡同里,各家号码从1号连着排下去,全胡同所有家的号码之和再减去小明家号码后是60.小明家是_______号.
6.女子足球赛,有甲、乙、丙、丁四个队参加,每两队都要赛一场,结果甲队胜丁队,并且甲、乙、丙三队胜的场数相同.则丁队胜了_____场.
7.某校五年级五个班各派一队参加小足球比赛,每两队都要比赛一场,到现在为止,一班赛了4场,二班赛了3场,三班赛了2场,四班赛了1场,那么五班赛了______场.
8.某学校气象小组在一段时间里观察天气,共写出四个数据:
（1）上午和下午共下雨7次;
（2）有5天下午未下雨;
（3）有6天上午未下雨;
（4）下午下雨的那几天,上午都未下雨.
这段时间共有______天,其中全天未下雨的有______天.
9.某年的10月里有5个星期六,4个星期日,问:
这年的10月1日是星期_____.
10.某人买了相同的钢笔和相同的圆珠笔各若干支,买钢笔使用了10元5角6分,如果一支钢笔的价钱比一支圆珠笔的价钱多1元,而买的钢笔比圆珠笔多6支,问这个人买了_______支钢笔.
二、解答题
11.某次考试满分是100分.A,B,C,D,E5人参加了这次考试.
A说:
“我得了94分.”
B说:
“我在5人中得分最高.”
C说:
“我的得分是A和D的平均分.”
D说:
“我的得分恰好是5人的平均分.”
E说:
“我比C多得2分.并且5人中居第二.”
问:
这5个人各得几分?
12.某商品的编号是一个三位数,现有5个三位数
874,765,123,364,925.
其中每一个数与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字.求商品编号的位数?
13.有100根火柴,甲、乙两人轮流取火柴游戏,规定每人每次可取10根以内（包括10根）的任何根火柴,以谁取完火柴使对手已无火柴可取者为胜.
如果开始由甲先取.问谁一定能取胜?
他怎样取才能取走?
14.若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子里没有装棋子,然后他外出了.小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排了一下,小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子,问共有多少个盒子?
十九、整数中的推理问题（B卷）
年级班姓名得分
一、填空题
1.四年级三个班参加运动会,运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛,各取前3名,第一名得5分,第二名得3分,第三名得1分.已知1班进入前3名的人数最少,2班进入前3名人数是1班的2倍,而这两个班所得总分相等，且是年级组的并列第1名,3班得了_______分.
2.A,B,C,D,E5人在一次满分为100分的考试中,得分都是大于91的整数.如果A,B,C的平均分是95分;B,C,D的平均分是94;A是第一名;E是第三名得96分,问D得了_____分.
3.在一次象棋比赛中,规定每个选手必须与其他选手恰好比赛一盘,胜者得2分,负者不得分,平局各得1分.现有五名工作人员分别统计了全部选手的得分总数,各为:
131分,132分,133分,134分和135分
当然,至少有四个数是错的.经核实,确有一个人统计结果正确.那么,有____名选手参加比赛?
4.由A,B,C三个班中各出3名学生比赛长跑.规定第一名得9分,第二名得8分,第三名得7分,…,第八名得2分,第九名得1分.比赛结果是三个班总分相等,而且九名学生没有名次并列的,也没有同一个班的学生获得相连名次的.如果第一名是C班的,第二名是B班的,那么最后一名是______班的?
5.三名学生进行了若干科目的考试,以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多,其次是第二名,第三名得分最少.各科都是如此记分.已知甲最后得22分,乙最后得9分,丙也是得9分.并且已知乙英语考试得了第一名,数学第二是_____.
6.A,B,C,D,E5人参加一次满分为10分的考试.
A说:
“我得了4分.”
B说:
“5人中我得分最高.”
C说:
“我的得分是A与D的平均分.”
D说:
“我的得分是5个人的平均分.”
E说:
“我的得分是比C多2分,是第二名.”
B得了______分.
7.甲乙共有图书63册,乙丙共有图书77册,三人中图书最多的人的册数是图书最少的人的册数的2倍.那么,甲乙丙三人分别有图书______册,______册,______册.
8.某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的男孩的岁数是______.
9.一个能被8整除的三位数,把它的数字顺序颠倒,得到一个新的三位数,这两个三位数的和等于1111,这个三位数分别是______,______,_______.
10.将1,2,3,4,5,6,7,8八个数分成两组,每组4个数,并且两组数之和相等.从A组拿一个数到B后,B组的数之和将是A组剩下的3数之和的2倍;从B组拿一个数到A组后,B组剩下的3数之和是A组5个数之和的
.
第一组是_______,________,________,________.
第二组是_______,________,________,________.
二、解答题
11.从1至10十个整数中,选出5个数A,B,C,D,E满足下面6个条件;
（1）D比6大;
（2）D能被C整除;
（3）A与D的和等于B;
（4）A,C,E三数之和等于D;
（5）A与C的和比E小;
（6）A与E的和比C与5的和小.
找出所有解答.
为了书写方便,A=1,B=7,C=4,D=2,E=10（不是解答）可简写在（1,7,2,4,10）.
12.A,B,C三人进行小口径步枪射击比赛,每个人射击6次,并且都得了71分,三人共18次的得分情况,从小到大排列为:
1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10,10,20,20,20,25,25,50
已知A首先射击两次,共得22分;C第一次射击只得3分,请根据条件判断,是谁击中了靶心（击中靶心得50分）.
13.某人的电话号码是5位数.下面10个5位数
17560
44356
41892
25731
78697
22171
90389
79500
53970
86075
其中每一个数与电话号码,恰好在同一位上有一个相同的数字,求出这个电话号码.
14.教师对五名学生进行了一次测验,测验成绩按总分排列为:
甲、乙、丙、丁、戊.考试的科目是英语、数学、历史、物理和语文,记分办法是每科第一名得5分,以下依次得分为4、3、2、1.现知道:
（1）在同一科目中以及在总分中没有得相同分数的人;
（2）甲的总分是24分;
（3）丙有四门功课得了相同的分数;
（4）戊的物理得5分,语文得3分;
（5）丁的历史得4分.
列出这次考试每个人的成绩表.
———————————————答案——————————————————————
一、填空题
1.第二行五个数字依次应填:
2,1,2,0,0
先考虑表格中最右边4下面的填数.如果4下面填1,这表明第二行中必有1个4.由于4填在某数的下面,该数在第二行中就必须出现4次,所以4必须填在1的下面.这样0,2,3下面也都是1,但第二行中并没有出现这些数,所以不能满足要求.同样可推知,在4下面不能填大于1的数,所以4下面应该填0.
再看3下面的填数,如果在3下面填1,那么第二行中有一个3,而且1下面已不能填0,所以第二行中最多有两个0,从而3不能填在0的下面.如果3填在1下面,则0和2下面都必须填1.但2下面填1,说明第二行中有一个2,矛盾.如果3填在2下面,那么第二行中必须有三个2,这是不可能的.综上所述,3下面不能填1,当然也不能填大于1的数,所以也必须填0.
如果第二行中再有一格填0,那么就出现三个0.这样,在第一行的0下面空格中要填3,从而第一行中3下面就不能是0.这与上面矛盾.同样可推知第二行不能有四个0,所以第二行中只能有两个0,就是说在第一行的0下面填2.
再看第一行中剩下的1与2下面的填数.若在1下面填2,第2行必有两个1,这不可能,所以1下面必须填1.
最后我们看到第一行的2下面必须填2.
综上所述,第二行五个数字依次应填2,1,2,0,0.
2.用这些硬币不能组成1元之内的币值是:
1分、3分、97分和99分四种.
因为硬币有2分、5分两种,显然不能组成1分和3分币值.
同时根据硬币的总额为1元=100分的条件可知,也不可能组成100-1=99（分）和100-3=97（分）币值.
因此,用这些硬币不能组成1元之内的币值是1分、3分、97分和99分.
3.最小a是69999.
根据题意,a+1必须在a的基础上进位,不然a和a+1的各位数字之和就成为两个相邻的自然数,显然不可能同时被7整除,这样a的个位数字只能是9,而a+1的个位数字必然是0.
首先,a+1不会是两位数,因为个位数字是0,各位数字之和能被7整除的两位数只有70;而69的各位数字之和不能被7整除.
其次,考虑a+1是三位数
此处B只能是0,不然a的各位数字之和一定是A+（B-1）+9=A+B+8,而a+1的各位数字之和是A+B,这两个数字和不会同时被7整除.当B是0时,A只能是7,即a+1等于700,但a等于699,各位数字之和不能被7整除,说明a+1不能是三位数.
采用类似的办法可知,a+1不会是四位数.说明a+1至少是五位数,而且末尾四位也必须都是0,即a+1至少是五位数,而且末尾四位也必须都是0,即a+1=70000,此时a=69999.均满足要求,说明符合条件的最小a是69999.
4.电话号码是555321
设电话号码为
其中b、c、d为连续自然数,则
因为b、c、d为连续自然数,所以d=c-1,或d=c+1.
①若
则
从而
显然c只能为2,此时a=5,b=3,d=1.所求六位数为555321.
②若
从而
只有c=1,此时b=0,d=2,因为0不是自然数,矛盾,这说明
是不能成立的.
所以,所求电话号码是555321.
5.小明家是6号.
依题意知,全胡同所有家的号码之和一定大于60.据此估算如下:
10家门牌号码之和是55,不合题意;
11家门牌号码之和是66;
12家门牌号吗之和是78,不合题意.
由此可见,胡同里应该是11家,小明家的号码应是6号.
6.丁队胜了0场.
4个队每两队都要赛一场,每队要赛3场,一共赛了（4×3÷2=）6场.已知甲、乙、丙三队胜的场数相同.假设他们各胜1场,则丁队要胜3场.这不可能.因为丁队已知败给甲队.所以甲、乙、丙三队各胜2场.故知丁队胜了0场.
7.五班赛了2场.
一班赛了4场,这就是说,一班与二、三、四、五班各赛了1场.因此,二班、三班、四班除去与一班比赛之外分别还赛了2场、1场、0场.于是二班只能是与三班、五班各赛1场.所以,五班到现在为止共赛了2场.
本题用图形来表示更直观.如右图,一班、二班、三班、四班、五班分别用一个点表示,两个点之间的连线表示他们之间进行过比赛.
8.共有9天,全天末下雨的有2天.
由“（4）下午下雨的那几天,上午都未下雨”,可推出:
在观察的这段时间内,没有全天下雨的,但有全天未下雨的.上午和下午各是半天.未下雨的几个全天的上午和下午,都包含在未下雨的5个下午和6个上午之中.因此共观察的半天有:
7+5+6=18（个）
共观察的天数为:
18÷2=9（天）
全天未下雨的有:
9-7=2（天）
用图示法也可以解答此题,以●代表下雨的半天,而以○代表未下雨的半天.如下图所示,即可推出结果.
○○○●●○●○○
●○●○○●○●○
9.10月1日是星期四.
10月有31天,而31=4×7+3,所以,这个月有4个星期零3天,要判断10月1日是星期几,可以先推算这个月的第一个星期六是几日:
如果10月1日是星期六,那么10月2日、9日、16日、23日30日都是星期日,出现了5个星期日,与题设的“10月里有4个星期日”不符,所以10月1日不是星期六,用同样的方法,可以推算出10月2日也不是星期六.
如果10月3日是星期六,那么10月4日、11日、18日、25日是星期日,恰好是4个星期日,符合题目条件.倒推回去,可以知道10月1日是星期四.
这里的关键是要判定10月的第一个星期六是10月几日,由此就容易算出10月1日星期几,也可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日,读者不妨一试.
10.买了8支钢笔.
由“买的钢笔比圆珠笔多6支”这个条件,就能判断买的钢笔不少于7支.由“一支钢笔的价钱比一支圆珠笔的价钱多一元”能判断出一支钢笔的价钱多于1元.由“买钢笔用了10元5角6分”能判断买的钢笔支数不能多于10支,而且只能是7、8、9、10这四个数,而这四个数中,只有8才能整除1056分,所以这个人买了8支钢笔.
二、解答题
11.A,B,C,D,E5人得分依次是94,98,95,96,97.
题目已告诉我们,B得分最高,E其次.现在要分析,A,B,D3人的得分谁多谁少.C是A和D的平均分,因此C是A与D之间的数.为了说明清楚起见,分三种情况来说:
（1）A和D相等,C是它们的平均分,也与A、D相等,B和E都比它们得分多.D就不可能是5个人的平均分,与题目的条件不符合,因此这一情况不成立.
（2）A比D得分多,C是它们的平均分,当然也比D得分多,这样一来,D是得分最少的,就不可能是5人平均分,因此这一情况也不成立.
（3）D比A得分多.C是A和D的平均分,得分就比D少,比A多.也就是说A是得分最少的.A得94分,其他人得分就在95分至100分之间.
A的得分94是偶数,与D的平均分C的得分是整数,D的得分也一定是偶数,D只能是96或98分.如果D是98分,B和E中只能是99和100,而C的得分是（94+98）÷2=96.5个人的平均分将是
（100+99+98+96+94）÷5=97.4,
并不等于D的得分98,与题目条件不符合.因此D的得分是96分,C的得分是（96+94）÷2=95,E的得分是95+2=97.为了使5人平均分是D的得分96,B应得98分.
B,E,D,C,A5人得分依次是98,97,96,95,94.
分情况讨论,这是数学推理时常用的方法.这道例题对D的得分98和96进行讨论,排除与题目条件不符合的情况,缩小了考虑问题的范围,逐渐求出正确答案.
12.商品编号是724.
每一个数与商品的编号,恰好在同一位有一个相同的数字,5个数就出现5次相同,列出这5个数
874
765
123
364
925
这5次相同要分布在百位、十位、个位上.百位上5个数各不同,只能与商品编号的百位数出现一次相同.十位上有两个6和两个2;个位上有两个4和两个5,因此,十位和个位只能各出现两次相同.
分两种情况:
（1）商品编号的十位数字是6,这样个位数字就不能是5和4,个位上就不能出现两次相同.
（2）商品编号的十位数字是2.这样,个位数字就不能是3和5.商品编号的个位只能是4,在个位上恰好出现两次相同.
当确定后两位是24后,5个数中后两位与24都不相同的只有第二个数765.商品编号的百位数只能是7.商品编号是724.
13.先取者甲一定能胜.
因为100=9×11+1,甲开始取1根,余下99根是11的倍数,这时不论乙取多少,甲再取的火柴根数与乙刚才取的数目凑成11（这时余下88根,仍是11的倍数）.
依此法进行,直至最后余下11根火柴时,轮到乙取,这时不论乙取几根火柴时,余下火柴甲都可一次取完.
14.共有11个盒子.
原有一个空盒子,现在装进了棋子.而小明没有发现有人动过,可见现在又有一个空盒子.这说明原来一定有一个盒子内装的是一个棋子.原来装有一个棋子的盒子现在成了空盒子,可见现在另有一个盒子装有一个棋子.而这另一个盒子原来是装有两个棋子.
同样的推理分析,原来一定有一个盒子装三个棋子,装四个棋子…等等.
总之,原来各盒中棋子数是0,1,2,3…这一系列数.
由于,0+1+2+…+9=45
0+1+2+…+10=55
0+1+2+…+11=65
可见原来一定是11个盒子,各装着0个,1个,2个,…10个棋子.
这个题的解题依据是小光移动棋子前后情况一样,突破口是“空盒”,棋子的总量控制了盒的数量,由此推理,便一环扣一环,将盒子装棋子的情况逐渐推开,同时也就知了盒子数.
———————————————答案——————————————————————
一、填空题
1.3班得了7分
1班得的名次如果是3人,则2班需有6人得名次,但这样一来全部9个名次均被2个班瓜分,却无法产生并列第一名:
全部得分[3×（1+3+5）=]27是奇数.因此1班至多只有2人得名次,而2人得名次还只能都拿第一名才能满足与2班并列第一的要求,若有一人拿第二,则只能拿8分,而这不超过平均分（27÷3=）9分.据此,1班和2班各得10分,3班必然得（27-10×2=）7分.
2.D得了97分.
分析B、C、D中谁是第二名.如果B是第二名,由E得96分,A,B得至少97.A,B,C三人平均95分95×3-97×2=91,C最多91分,与题目条件不符合.同样道理C也不是第二名.只能D是第二名.D最少97分,A最少100分.
3.参赛选手有12名.
参赛选手中每两人赛一盘,与若干个点、每两点连一条线段相当.可用数线段方法算出比赛的总盘数,每盘提供2分.
不论赛多少盘,选手所得的总分应是偶数,所以,131分,133分和135分必不对.
设n个选手参赛,比赛盘数:
总分数:
这是两个连续自然数之积.它的个位上数字有如下的可能:
0（4×5,5×6）
2（1×2,3×4,6×7,8×9）
6（2×3,7×8）
所以,134分必错.
那么,正确的总分只能是132分.
n必是两位数,且十位上为1,所以,
132=11×12,即n=12
答:
参赛选手有12名.
4.最后一名是B班的学生.
九名学生的总得分为:
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
由于三个班的总分相等,即每个班均为15分,将1-9这9个自然数,三个数一组分为3组,使每组之和都是15,只有以下两种情况:
（1）一组得分为:
9,5,1
二组得分为:
7,6,2
三组得分为:
8,4,3
（2）一组得分为:
8,6,1
二组得分为:
9,4,2
三组得分为:
7,5,3
在第一种情况中,二组、三组都有相连的数,即相连的名次,这不合题意,所以只能取第二组的数字.
那么C班有第一名,得分是9,4,2;B班有第二名,得分是8,6,1,则A班得分为7,5,3.可见最后一名是B班的学生.
5.数学第二只能是丙.
由乙英语第一,至少乙得3分,且总分为9分.所以科目不会多于7科,且每科第一名至多得8分.又由甲总分为22分,所以考试科目不少于3科.
因为三人共得40分,而每科分配得分情况相同,故考试科目应是40的约数,而3,6,7都不是40的约数,所以只可能是4科或5科.若4科,每科共有10分,按名次分配应有4种:
（7,2,1）、（6,3,1）、（5,4,1）、（5,3,2）.
由甲共得22分,且至多有3科第一（英语不是第一）,则后三种情况不成立,因为即使3科第一,1科第二,总分也达不了22分.
又由乙得9分,且英语第一,如果按（7,2,1）分配,即使其他三科都是最后一名,得1分,总分也超过9分.所以,以上几种情况不能成立.
若是5科,每科共为8分,按名次分配只有两种:
（5,2,1）、（4,3,1）.而后一种也不能成立,原因仍然是不能与甲22分吻合,所以只有（5,2,1）符合题意.
按照这样分配方案:
乙的得分情况是5,1,1,1,1.甲的得分情况是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英语,所以数学第二只能是丙.
6.B得了8分.
D的得分不能比A少,也不能与A得分一样.否则D成为5人中得分最少的.就不是5人的平均分.因此5人得分从大到小次序是B,E,D,C,A.
A得4分,C得A与D的平均分,D的得分也一定是偶数,D不能是10分或8分;否则B的得分要超出10分.D只能得6分,C得5分,E得7分.B的得分是:
6×5-（7+6+5+4）=8（分）
7.甲有21册书,乙有42册书,丙有35册书.
根据已知条件,甲乙之和小于乙丙之和,则甲之册数小于丙之册数.因而乙有三种可能:
最多、最小或居中.若能否定其中两种可能,则另一种必成立.然后计算各人册数.
先假设乙的图书最少,则丙的图书最多.那么,乙丙之和应是3的倍数.（最多数是最少数的2倍）.
然而3|77
所以作的假设是谬误的.
再假设乙之数居中,则甲丙之差是甲的册数,且可求乙丙册数.
甲:
77-63=14（册）
乙:
63-14=49（册）
丙:
77-49=28（册）
28<49
结论与丙为最多的条件矛盾,所作假设也是谬误的.
那么,乙必定是最多的.相应甲是最少的,丙之数居中.可作如下合理计算:
甲:
63÷（1+2）=21（册）
乙:
21×2=42（册）
丙:
77-42=35（册）
答:
甲有21册书,乙有42册书,丙有35册书.
8.最大男孩是8岁.
分两种情况考虑:
（1）最小的男子是4岁.
（2）最小的女孩是4岁.
9.这个三位数是704.
把这道题目写成数字谜形式,设三位数是
就有
ABC
+CBA
1111
很明显,A+C=11,B=0.这个三位数一定是偶数,只能是308,506,704,902其中一个数,被8整除只有704.
10.A组的4个数是1,4,6,7;
B组的4个数是2,3,5,8.
1+2+3+4+5+6+7+8=36.
因此每组4个数之和是36÷2=18
因为36÷（2+1）=12
所以从A组拿出一个数到B组,要使B组5数之和是A组剩下3数之和的2倍,从A组拿出的数一定是18-12=6.
因为
所以从B组拿出一个数到A组,要使B组剩下3数之和是A组5数之和的
从B组拿出的数一定是21-18=3.
上面的推理说明,分组是6在A组,3在B组.
A组中其他3数之和是12,在1,2,4,5,7,8六个数中,和12的三数,只有1,4,7.
因此分在A组的4个数是1,4,6,7;分别在B组的4个数是2,3,5,8.
11.本题有两个答案:
（1,9,2,8,5）与（1,10,3,9,5）
从条件
（1）,D可能是7,8,9,10,但D=10,就不能满足条件（3）.我们就D=
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