人教版数学八年级下册《勾股定理的逆定理》教学详案.docx

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人教版数学八年级下册《勾股定理的逆定理》教学详案

《勾股定理的逆定理》教学详案

　1.理解并能证明勾股定理的逆定理.

　2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念.

　3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.

　1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.

　2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.

　1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.

　2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.

　【重点】　勾股定理的逆定理的应用.

　【难点】　勾股定理的逆定理的证明.

　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题.

　【学生准备】　三角板、绳子.

导入一:

　　　同学们,你们是如何画直角的?

想知道古埃及人是如何画直角的吗?

　古埃及人画直角的方法:

把准备好的一根打了13个等距离结的绳子,然后按3个结,4个结,5个结的长度为边长,摆放成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗?

　学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.

　　介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既进行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的能力.

导入二:

　你能说出勾股定理吗?

并指出定理的题设和结论.

　学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.

　追问:

你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?

　师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.

　追问:

“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?

本节课我们一起来研究这个问题.

　　通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.

　1.勾股定理的逆定理

　思路一

（1）归纳猜想

　　　从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?

　提问:

　①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?

　②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,观察三角形的形状.再换成4cm,7.5cm,8.5cm试试看.

　③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?

　教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想:

　如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

　　由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.

　思路二

　下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.

　5,12,13;7,24,25;8,15,17.

　①这三组数都满足a2+b2=c2吗?

　②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?

　学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论:

①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.

　师生进一步通过实际操作,猜想结论:

如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

　　本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件,猜想得出结论.

（2）原命题、逆命题

　　　把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.

　提问:

命题1和命题2的题设和结论分别是什么?

　学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.

　教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:

两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.

　提问:

请同学们举出一些互逆命题,并思考:

原命题正确,它的逆命题是否也正确呢?

举例说明.

　学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如:

①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.

　追问:

在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?

　学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:

①任何一个命题都有逆命题.②原命题正确,逆命题不一定正确;原命题不正确,逆命题可能正确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.

　　让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.

　（3）勾股定理的逆定理的证明

　　　原命题正确,它的逆命题不一定正确,那么勾股定理的逆命题正确吗?

　如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗?

　教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.

　已知:

如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.

　求证:

∠C=90°.

　追问:

要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?

　教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.

　证明:

如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,

　由勾股定理得A'B'===c,

　∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,

　∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,

　∴△ABC是直角三角形.

　教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.

　　引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,帮助学生突破难点.

　2.例题讲解

　（教材例1）判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:

（1）a=15,b=8,c=17;

（2）a=13,b=14,c=15.

　学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师帮助学生分析得到:

要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较,只有相等时才是直角三角形.

　解:

（1）因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,

　所以152+82=172,

　根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.

（2）因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,

　所以132+142≠152,

　所以这个三角形不是直角三角形.

　　　像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.

　提问:

同学们还知道哪些勾股数?

请完成以下未完成的勾股数:

（1）3,4,　　　　; 

（2）6,8,　　　　; 

　（3）7,24,　　　　; 

　（4）5,12,　　　　; 

　（5）9,12,　　　　. 

　　通过练习,学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.

　　勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:

①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形.

　（教材例2）某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

　引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.

　学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出:

已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.

　引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.

　引导学生分析:

图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.

　解:

根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.

　因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,

　所以∠QPR=90°,

　由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,

　即“海天”号沿西北方向航行.

　　学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:

（1）已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.

（2）一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.

　（3）三个数满足勾股数的两个条件:

①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.

　（4）解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.

　1.（2015·毕节中考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是　　（　　）

　A.,,　　　　B.1,,

　C.6,7,8　　D.2,3,4

　解析:

A中,（）2+（）2≠（）2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+（）2=（）2,能构成直角三角形,故正确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.

　2.若△ABC的三边长a,b,c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,则△ABC是　　（　　）

　A.等腰三角形

　B.直角三角形

　C.等腰三角形或直角三角形

　D.等腰直角三角形

　解析:

根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,因此△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.

　3.下列说法中正确的有　　（　　）

（1）在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;

（2）命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;

　（3）勾股定理的逆定理是:

如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;

　（4）△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.

　A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

　解析:

（1）正确,

（2）错误,（3）错误,（4）正确,故有两个说法是正确的.故选B.

　4.如图

（1）所示的是一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.

　解:

如图

（2）所示,连接AC.

　∵AD⊥DC,

　∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,

　∴AC===5（m）.

　∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,

　∴△ABC为直角三角形,

　∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24（m2）.　

　17.2　勾股定理的逆定理

　1.勾股定理的逆定理

（1）归纳猜想

（2）原命题、逆命题

　（3）勾股定理的逆定理的证明

　2.例题讲解

　例1　例2

一、教材作业

【必做题】

　教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.

【选做题】

　教材第34页习题17.2第7题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列三角形中,一定是直角三角形的有　　（　　）

①有两个内角互余的三角形;②三边长为m2-n2,2mn,m2+n2（m>n>0）的三角形;③三边长的比为3∶4∶5的三角形;④三个内角的度数比是1∶2∶3的三角形.

A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

2.把三边分别为BC=3,AC=4,AB=5的三角形ABC沿最长边AB翻折成△ABC',则CC'的长为　　（　　）

A.　　B.　　C.　　D.

3.下列定理中,没有逆定理的是　　（　　）

A.等腰三角形的两个底角相等

B.对顶角相等

C.三边对应相等的两个三角形全等

D.直角三角形两个锐角的和等于90°

4.把一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,则这个三角形是　　　　三角形. 

【能力提升】

5.已知:

如图所示,CD⊥AB于D,且有AC2=AD·AB.求证:

△ACB为直角三角形.

6.如图所示的是一个四边形的边角料,韦三通过测量,获得了如下数据:

AB=3cm,BC=12cm,CD=13cm,AD=4cm,韦三由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为韦三的判断正确吗?

如果你认为他的判断正确,请说明其中的理由;如果你认为他的判断不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?

7.如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长.

8.如图所示,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西22.62°,求甲巡逻艇的航向.

【拓展探究】

9.冬冬准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.

（1）请用a表示第三条边长.

（2）第一条边长可以为7米吗?

为什么?

请说明理由,并求出a的取值范围.

（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?

若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.

【答案与解析】

1.D（解析:

有两个内角互余的三角形,第三个内角为直角;（m2-n2）2=m4+n4-2m2n2,（2mn）2=4m2n2,（m2+n2）2=m4+n4+2m2n2,因此可得（m2+n2）2=（m2-n2）2+（2mn）2,所以能构成一个直角三角形;三边长的比为3∶4∶5的三角形,设一边长为3x,则另外两边长分别为4x,5x,因为（3x）2+（4x）2=25x2=（5x）2,所以可以构成一个直角三角形;三个内角的度数比为1∶2∶3的三角形,最大的角为×180°=90°,所以这个三角形也为直角三角形.故选D.）

2.C（解析:

先画出图形如图所示,∵32+42=52,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,斜边是AB,由对称的性质可知:

AB垂直且平分CC',设AB交CC'于D,则D是垂足,∴CD=C'D,CC'=2CD,∵AC·BC=AB·CD,∴CD===,∴CC'=2CD=2×=.）

3.B（解析:

A.等腰三角形的两个底角相等的逆命题为:

有两个角相等的三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题,所以A选项有逆定理;B.对顶角相等的逆命题为:

相等的角为对顶角,此命题为假命题,所以B选项没有逆定理;C.三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为:

全等三角形的三边对应相等,此逆命题为真命题,所以C选项有逆定理;D.直角三角形的两个锐角的和等于90°的逆命题为:

两个锐角的和等于90°的三角形为直角三角形,此逆命题为真命题,所以D选项有逆定理.故选B.）

4.直角（解析:

设一条边长为x米,则另外两边长分别为（x-7）米、（x+1）米,根据题意得x+x-7+x+1=30,解得x=12,所以三边长分别为12米、5米、13米,因为122+52=132,所以这个三角形为直角三角形.）

5.证明:

∵CD⊥AB,∴CD2=AC2-AD2=AD·AB-AD2=AD·BD,BC2=CD2+BD2=AD·BD+BD2=BD·AB,∴AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=AB2.∴△ABC为直角三角形.

6.解:

韦三的判断不正确.可添加DB⊥BC或DB=5cm.理由如下:

∵四边形具有不稳定性,∠A可以是锐角,可以是直角,也可以是钝角,∴韦三的判断不正确.如果添加DB⊥BC或DB=5cm,那么∠A恰好是直角.当BD⊥BC时,∵BC=12cm,CD=13cm,∴BD=5cm,在△ABD中,AB=3cm,AD=4cm,BD=5cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.当DB=5cm时,在△ABD中,AB=3cm,AD=4cm,BD=5cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.

7.解:

∵BD2+CD2=122+162=202=BC2,∴△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,则△ADC也为直角三角形.设AC=xcm,则AB=xcm,AD=（x-12）cm.根据勾股定理得AD2+CD2=AC2,∴（x-12）2+162=x2,解得x=,则△ABC的周长为AB+AC+BC=++20=53（cm）.

8.解:

AC=120×0.1=12（海里）,BC=50×0.1=5（海里）.又因为AB=13海里,所以AB2=BC2+AC2,即∠ACB=90°.因为∠CBA=90°-22.62°=67.38°,所以∠CAB=22.62°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东67.38°.

9.解:

（1）由题意知第二条边长为（2a+2）米,∴第三条边长为30-a-（2a+2）=28-3a（米）.　

（2）当a=7时,三边长分别为7米、16米、7米.由于7+7<16,故不能构成三角形,即第一条边长不能为7米.由解得

（2）的条件下,注意到a为整数,所以a只能取5或6.当a=5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当a=6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102≠142知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的直角三角形,三边长分别为5米、12米、13米.

　本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,能力目标基本实现,情感目标基本实现.

　在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的及时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.

　在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.

　本节课内容较多,由于时间紧,还是不敢放手,总是牵着学生走,结果学生的积极性没有充分调动起来,还需要注意教师精讲,留足时间让学生探究.

练习（教材第33页）

1.解:

是直角三角形.理由如下:

∵a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴这三条线段组成的三角形是直角三角形.

2.解:

（1）内错角相等,两直线平行.成立.　

（2）如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等.不成立.　（3）如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等.不成立.　（4）角平分线上的点到角两边的距离相等.成立.

3.解:

∵BC2+BA2=52+122=132,AC2=132,即BC2+BA2=CA2,∴△CBA为直角三角形,且∠B=90°,∴C地在B地的正北方向.

习题17.2（教材第34页）

1.解:

（1）因为a2+b2=72+242=49+576=625=c2,所以由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形.　

（2）因为b2+c2=42+52=41=（）2=a2,所以由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形.　（3）因为b2+c2=12+==a2,所以由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形.　（4）因为a2+b2=402+502=1600+2500=4100,而c2=602=3600,所以a2+b2≠c2,所以由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形.

2.解:

（1）两直线平行,同旁内角互补.这个命题成立.　

（2）如果两个角相等,那么它们是直角.这个命题不成立.　（3）如果两个三角形的对应边相等,那么这两个三角形全等.这个命题成立.　（4）如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等.这个命题不成立.

3.解:

根据题意画出图形,如图所示.分两种情况讨论:

①小明从O走到A,再走到B,最终由B回到O.因为OA=80m,AB=60m,BO=100m,所以OA2+AB2=802+602=6400+3600=1002=BO2,即OA2+AB2=BO2,所以△AOB是直角三角形,且∠OAB=90°.因此,小明向东走80m后,又向北走了60m,再走100m回到原地.②小明从O走到A,再走到B',最后由B'回到O.同理,△OAB'是直角三角形,且∠OAB'=90°.因此,小明向东走80m后,又向南走了60m,再走100m回到原地.综上所述,小明向东走80m后,又向南或向北走了60m,再走100m回到原地.

4.解:

因为BC边上的中线是AD,且BC=10,所以BD=DC=BC=×10=5.在△ABD中,AB=13,BD=5,AD=12,因为BD2+AD2=52+122=169,AB2=132=169,所以BD2+AD2=AB2,所以△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°.又因为∠ADB+∠ADC=180°,所以∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=12,DC=5,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,所以AC2=AD2+DC2=122+52=169,所以AC=13,所以AC的长是13.

5.解:

在Rt△ABC中,AC===5,而在△ACD中,AC2+CD2=52+122=169=132=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=36.

6.证明:

设CF=k,则k=CD,即CD=4k,DF=3k（k>0）.又E是BC的中点,所以BE=CE=2k.∵△ABE,△CEF,△FAD都是直角三角形,∴AE====2k,同理求出EF=k,AF=5k.在△AEF中,AE2+EF2=（2k）2+（k）2=25k2=（5k）2=AF2,∴△AEF是以AF为斜边的直角三角形,∴∠AEF=90°.

7.解:

3k,4k,5k（