112集合间的基本关系教案人教A版必修1.docx

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112集合间的基本关系教案人教A版必修1

1．1

集　合

1.1.2　集合间的基本关系

●三维目标

1．知识与技能

（1）理解集合间的“包含”与“相等”的含义；

（2）能识别给定集合的子集；

（3）了解空集的含义．

2．过程与方法

（1）观察、类比、分析、归纳；

（2）提高学生的逻辑思维能力，培养学生等价和化归的思想方法．

3．情感态度与价值观

（1）认识个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系；

（2）发展学生抽象、归纳事物的能力，培养学生辨证的观点．

●重点难点

重点：

子集、真子集的概念．

难点：

元素与子集，属于与包含间的区别：

空集是任何非空集合的真子集的理解．

（1）重点的突破：

教科书尽最大可能地展示了联想、类比、推广等研究教学问题中常用的逻辑思考方法，为此，教学时，可鼓励学生通过类比的方法（如类比数的大小关系引入集合的包含关系；类比实数中的结论：

若a≥b，且b≥a，则a＝b得出A＝B），完成集合关系的学习，在引导学生总结包含关系的定义的同时培养学生自然语言，符号语言，图形语言（Venn图）的互化意识；

（2）难点的解决：

对学生而言，空集的概念，无论是理解还是应用，都有一定的难度．为此，建议教学时，要多举一些空集的实例（如方程x2＋1＝0无解，不等式x2<0无解等例子），辅助教学，以帮助学生感知空集引入的必要性、必然性．

课标解读

1.理解集合之间的包含与相等的含义．（重点）

2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合

间的关系．（难点、易混点）

3．在具体情境中了解空集的含义并会应用．（难点）

子集与真子集

【问题导思】　

给出下面两个集合：

A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}．

1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？

【提示】　是的．

2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？

【提示】　不全是．

1．子集与真子集

概念

定义

符号表示

图形表示

子集

如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集

A⊆B（或B⊇A）

真子集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.

（或

）

2．Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

3．子集的性质

（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

集合的相等

【问题导思】　

若A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}，则A⊆B吗？

反之呢？

【提示】　是．反之也成立．

1．条件：

A⊆B，且B⊆A.

2．表示：

A＝B.

3．Venn图：

空集

【问题导思】　

　集合A＝{x|x<－1且x>3}中有多少个元素？

【提示】　0个

1．定义：

不含任何元素的集合，叫做空集．

2．符号表示为：

∅.

3．规定：

空集是任何集合的子集．

集合的子集、真子集问题

已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．

（1）写出集合M的子集、真子集；

（2）求集合N的子集数、非空真子集数．

【思路探究】把用描述法表示的集合用列举法表示出来，从而写出子集与真子集．

【自主解答】　M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，

N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1,0,1}．

（1）∴M的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}；其中真子集为：

∅，{0}，{1}．

（2）N的真子集为：

∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．∴N的子集数为23＝8个；非空真子集数为23－2＝6个．

1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集，∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．

2．若集合A含n个元素，那么它子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

若{1,2,3}A⊆{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为（　　）

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

【解析】　集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}．【答案】　B

集合间关系的判断

判断下列每组中两个集合的关系：

（1）A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1

（2）A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}；

（3）A＝

，B＝

；

（4）A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n＋1），n∈Z}．

【思路探究】　利用数轴或适当变形后再根据子集、真子集及集合相等的定义进行判断．

【自主解答】　

（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有

；

（2）∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R，∴

；

（3）在集合A中，x＝k＋

＝

，k∈Z；

∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数．

在集合B中，x＝2k＋

＝

，k∈Z.

∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数．∴

；

（4）∵n∈Z∴n＋1∈Z∴B表示偶数集，∵A也表示偶数集∴A＝B.

1．对于（3）、（4）也可用列举法，先列出集合A，B的部分元素，再观察规律，找出A，B的关系．

2．集合间关系的判断方法

（1）判断A⊆B的常用方法，一般用定义法，即说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．

（2）判断

的方法，可以先判断A⊆B，然后说明集合B中存在元素不属于集合A.

（3）判断A＝B的方法，可以证明A⊆B，且B⊆A；也可以证明两个集合的元素完全相同．

下列各式中，正确的个数是（　　）

（1）{0}∈{0,1,2}；

（2）{0,1,2}⊆{2,1,0}；（3）∅⊆{0,1,2}；（4）∅＝{0}；（5）{0,1}＝{（0,1）}；（6）0＝{0}

A．1　　　　　　　B．2C．3D．4

【解析】　对于

（1），是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于

（2），实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于（3），空集是任何集合的子集；对于（4），{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅≠{0}；对于（5），{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{（0,1）}是以有序数组（0,1）为元素的单元素集合，所以{0,1}与{（0,1）}不相等；对于（6），0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}，故

（2）（3）是正确的．【答案】　B

由集合间的关系求参数的范围

已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

【思路探究】　对集合B是否为空集进行分类讨论求解．

【自主解答】　当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得

或

解得a<－4，或2

综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．

1．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

2．涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况进行讨论，其中A＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．

把集合A换成“A＝{x|－1

【解】　∵A＝{x|－1

若A⊆B，如图，∴

或

∴实数a的取值范围为

.

因混淆数学符号“∈”与“⊆”及集合“{0}”与“∅”致误

　集合∅和{0}的关系表示正确的有______．（把正确的序号都填上）

①{0}＝∅　②{0}∈∅　③{0}⊆∅　④∅{0}

【错解】　①②③④或①③④或①④等．

【错因分析】　出现此类错误的原因有两处：

（1）不清楚集合{0}与∅的关系；

（2）混淆数学符号“∈”与“⊆”的使用条件．

【防范措施】　1.注意∈与⊆的区别．

“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合间的关系．

2．注意{0}与∅的区别

“∅”是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故∅{0}．

【正解】　∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，②③不正确．【答案】　④

1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“

”、“＝”或“≠”等表示．

2．处理集合间的关系时要注意以下三点：

（1）A⊆B隐含着A＝B和A

B两种关系．

（2）注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．

（3）要注意数学思想在解题中的应用．如借助Venn图分析了集合的关系，其体现了数形结合的思想；又如在处理A⊆B的含参数范围时，分A＝∅和A≠∅两类问题分别求解，其体现了分类讨论的数学思想.

1．已知P＝{1}，Q＝{0,1,4}，下列式子不正确的是（　　）

A．P

QB．P⊆QC．1∈PD．1⊆Q

【解析】　∵P＝{1}，Q＝{0,1,4}，∴P⊆Q，P

Q及1∈P均正确．

【答案】　D

2．（2013·江苏高考）集合{－1,0,1}共有________个子集．

【解析】　集合{－1,0,1}的所有子集为：

∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}共8个．【答案】　8

3．集合A＝{x,2}，集合B＝{3，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.

【解析】　∵A＝B，∴A，B中元素相同，∴x＝3,2＝y.【答案】　3　2

4．已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，求实数a的取值范围．

【解】　将集合A表示在数轴上（如图所示），

要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}.

一、选择题

1．设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为（　　）

A．P⊆N⊆M⊆Q　　　　　B．Q⊆M⊆N⊆P

C．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P

【解析】　结合菱形、平行四边形、四边形及正方形的概念可知Q⊆M⊆N⊆P.

【答案】　B

2．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是（　　）

A．0∈AB．{1}∈A

C．∅⊆AD．{0,1}⊆A

【解析】　∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．【答案】　B

3．下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；④若∅

A，则A≠∅.

其中正确的有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

【解析】①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；

③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．

【答案】　B

4．集合M＝{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集个数是（　　）

A．9B．8

C．7D．6

【解析】　由题意知集合M＝{1,3,5}，故其子集的个数是23＝8.【答案】　B

5．（2012·湖北高考）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　由题意知：

A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．【答案】　D

二、填空题

6．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则能表示集合M与集合N的关系的Venn图是________．

【解析】　∵M＝{－1,0,1}，∴N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}＝{0，－1}

∴N

M.【答案】　②

7．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.

【解析】　集合A、B中均含有元素3，由B⊆A得B中另一元素m2一定与A中元素－1,2m－1中一个相等，故m2＝2m－1，得m＝1.【答案】　1

8．已知∅

{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．

【解析】　∵∅

{x|x2－x＋a＝0}，∴Δ＝（－1）2－4a≥0，∴a≤

.【答案】　

三、解答题

9．（2014·三亚高一检测）设A＝{x|（x2－16）（x2＋5x＋4）＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．

【解】　由（x2－16）（x2＋5x＋4）＝0得（x－4）（x＋1）（x＋4）2＝0，

则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，

因此集合A的子集为：

∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}，真子集为：

∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．

10．已知集合P＝{x|x＝|x|，x∈N且x<2}，Q＝{x∈Z|－2

【解】　∵x＝|x|，∴x≥0.∵x∈N且x<2，∴集合P＝{0,1}．

又∵x∈Z且－2

Q.

11．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.

（1）求实数m的取值范围；

（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．

【解】　

（1）①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅符合题意；

②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴如图所示，

得

解得0≤m≤

.所以0≤m≤

.

综合①②可知，实数m的取值范围为

.

（2）∵当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.