6．（初三）方程组
在实数范围内解的组数为（）
A．多于5组B．5组C．3组D．1组
7．（初二）已知a、b都是正整数，那么a、b和8为边组成的三角形有（）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不
一定按此）.则此五边形的面积为（）
A．680B．720C．745D．760
9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付
钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2
千克，丙5千克，则共应付钱（）
A．8元B．6元C．5元D．4元
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则p+q=.
11．如图3，G是边长为4的正方表ABCD
的边BC上一点，矩形DEFG的边EF
过点A，GD=5，则FG的长为.
12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客人.
13．（初三）已知△ABC是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE，连结AD、AE；已知∠BAD=45°，那么tan∠CAE=.
14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角
形ABC，在劣弧BC上有一点P，若
AP与BC交于点D，且PB=21，
PC=28，则PD=.
15．（初三）四条直线y=x+10，y=－x+10，y=x－10,y=－x－10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有.（注：
若x，y为整数，则（x、y）为整点）
16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是元.
17．（初二）方程|x－2y－3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是.
18．（初二）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有个.
三、（本大题满分15分）
19．（初三）已知k是整数，且方程x2+kx－k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值.
20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x的值并说明理由.
四、（本大题满分15分）
21．某出版公司为一本畅销书价如下：
这里的n表示订购书的数量，C（n）是订购书所付的钱款数（单位：
元）
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？
（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？
最多能赚多少钱？
五、（本大题满分15分）
22．（初三）如图6：
已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.
23．（初二）如图7：
已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.
六、（本大题满分15分）
24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.
25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：
DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使
ADD′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米？
参考答案及评分标准
说明：
评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1．若n满足（n－2004）2+（2005－n）2=1，则（2005－n）（n－2004）等于（B）
A．－1B．0C．
D．1
解答：
设（2005－n）=a,（n－2004）=ba+b=1a2+b=1
故选B.
2．如图1，已知∠CGE=120°，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（C）
A．150°B．210°
C．240°D．270°
解答：
连结AG，则∠AGC=∠B+∠BAG,∠AGE=∠F+∠FAG,
∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120°
则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C
3．设x、y、z均为正实数，且满足
，则x、y、z三个数的大小关
系是（A）
A．z解答：
∵x、y、z为正实数，则有
，
从而
即得z4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点（如图2）；A点
和B点之间的距离是100米，陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60°角的直线
上滑行，在陈洁离开A点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点，
这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度
最早相遇.则最早相遇的时间是（B）
A．18秒B．20秒
C．22秒D．
秒
解答：
如图：
过C作CD⊥AB于点D
设满足题设的时间为t秒，则有AC=8t，BC=7t，又∠A=60°.
由勾股定理知
（舍）故选B.
5．（初三）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点
（－1，0）两点，则S=a+b+c的值的变化范围是（B）
A．0解答：
分别令x=0,y=1和x=－1,y=0.求得c=l,a=b－1∴S=a+b+c=2b.由题设知
，且a<0，可以推知2b>0又由b=a+1及a<0可以推知2b<2.
∴06．（初三）方程组
在实数范围内解的组数为（A）
A．多于5组B．5组C．3组D．1组
解答：
设|x|=a,|y|=b,，则原方程组可化为
两式相减并化为（a－b）（a+b－6）=0
∴a－b=0或a+b－6=0由此可得
前者解得（a,b）=（0，0），（4，4）
后者解得，（a,b）=（3+
，3－
）或（3－
，3+
）
因此（a,b）的第一组解推得（x,y）=（0，0）；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.故选A.
7．（初二）已知a、b都是正整数，那么a、b和8为边组成的三角形有（D）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
解答：
对于a=b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.
8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不
一定按此）.则此五边形的面积为（C）
A．680B．720C．745D．760
解答：
如图：
注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13.
∴S五边形=S长方形－S三角形=31×25－
×5×12=745故选C.
9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付
钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2
千克，丙5千克，则共应付钱（A）
A．8元B．6元C．5元D．4元
解答：
设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x、y、z元，由题设知
（1）×2+
（2）得8x+4y+10z=16即4x+2y+5z=8，故选A.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则p+q=15.
解答：
因为5p2+3q为奇数，故p,q必为一奇一偶，而
p,q均为质数，故p，q中有一个为2.若q为2，则
5p2=
，不合题意，舍去；若p为2，则q=13即p+q=15.
11．如图3，G是边长为4的正方表ABCD
的边BC上一点，矩形DEFG的边EF
过点A，GD=5，则FG的长为
.
解答：
连结AG∵S△ADG=
S正方形ABCD=
S长方形DEFG=16
∴FG=
，注：
利用△AED∽△GDC亦可.
12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客961人.
解答：
设有x辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y人，有30x+1=y（x－1）
从而
所以x=2（不合题意）；x=32.
因此游客数为30×32+1=961人.
13．（初三）已知△ABC是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE，连结AD、AE；
已知∠BAD=45°，那么tan∠CAE=
.
解答：
分别过B、C两点作BM//AC，CN//AB
分别交AD、AC于M、N；容易知道AC=2BM，
AB=2CN又tan∠BAD=BM,tan∠
从而tan∠BAD·tan∠CAE=
又tan∠BAD=1
即tan∠CAE=
.
14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角
形ABC，在劣弧BC上有一点P，若
AP与BC交于点D，且PB=21，
PC=28，则PD=12.
解答：
由△ABD∽△CPD知
又由△ACD∽△BPD知
二式相除得
（注：
此处用角平分线定理亦可直接得出）
∵△ABD∽△CPD知
15．（初三）四条直线y=x+10，y=－x+10，y=x－10,y=－x－10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有221.（注：
若x，y为整数，则（x、y）为整点）
解答：
如图：
分4个三角形考虑：
△AOB
（仅不含BO边），△BOC（仅不含CO边）
△COD（仅不含DO边）△DOA（仅不含
AO边）每个三角形内所含整点的个数均为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有55×4+1=221.
16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是－12元.
解答：
设盈利25%的成本价为x元,亏损25%的成本价为y元,则有90－x=25%x，
90－y=－25%y解得x=72，y=120.从而利润为：
（x+y）－180=－12元
17．（初二）方程|x－2y－3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是1.
解答：
由题设知
从而得到—F面四个方程组：
①
②
③
④
解以上方程组，得惟一整数解
.
18．（初二）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有8个.
解答：
①当P在x轴上若OA为腰时，由OA=OP得P1（
，0），P2（－
，0）；由OA=AP得P3（2,0）;若OA为底时，得P4（1，0）有4个点.②当P在y轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.
三、（本大题满分15分）
19．（初三）已知k是整数，且方程x2+kx－k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值.
解：
设方程两个不相等的正实数根为a,b（不妨设a于是a+b=－k,ab=－k+1.消去k有ab－a－b=1，即（a－1）（b－1）=2……（10分）
只有a－1=1，b－1=2.即a=2，b=3.进而k=－5.……………………（15分）
20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x的值并说明理由.
解：
x=5.………………（5分）
其理由是：
按如图所示填字母a,b,c,d,e,f,g,h,
有:
a+b+c+d+x+e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分
且有
四式相加得（a+b+c+d+x+e+f+g+h）+3x=60
从而3x=15即x=5.………………（15分）
四、（本大题满分15分）
21．某出版公司为一本畅销书价如下：
这里的n表示订购书的数量，C（n）是订购书所付的钱款数（单位：
元）
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？
（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？
最多能赚多少钱？
解：
（1）由C（25）=275，C（24）=288，C（23）=276，C（22）=264；有C（25）<（23）由C（49）=490,C（48）=528,C（47）=517,C（46）=506,C（45）=495,C（44）=484,有C（49）故共有6个n（即23，24，45，46，47，48）出现买多于n本书比恰买n本所花的钱少.……（5分）
（2）设两人共购买a本和b本共付钱S元，不妨设a≤b，由a+b=60知道1≤a≤30
（i）当1≤a≤11时，49≤b≤59，S=12a+10b=10（a+b）+2a=600+2a602≤S≤622
（ii）当12≤a≤24时，36≤b≤48S=12a+11b=660+a672≤S≤684
（iii）当25≤a≤30时，30≤b≤48S=11a+11b=660
故出版公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……（15分）
五、（本大题满分15分）
22．（初三）如图6：
已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.
证明：
连结OB、AF.
∵BD垂直平分半径OC，∴BO=BC
又OB=OC=CP∴CP=CB从而∠PBC=∠BPC；
又∵∠PBD=∠PBC－∠CBD
∠ABP=∠BPC－∠BAC
而已知OC⊥BD得到点C是弧BD中点
∴∠BAC=∠DAC=∠CBD
因此∠PBD=∠ABP即P为△ABD的内心.……（10分）
这样一来，∠EAF=∠ABF，∠F=∠F，
∴△AEF∽△BAF即得AF2=EF·BF
又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD
∠FPA=∠ABF+∠BAC
由内心可知，∠CAD=∠BAC，∠FAE=∠ABF
所以∠FAP=∠FPA即PF=AF…………………………（15分）
因此PF2=EF·BF结论成立.
23．（初二）如图7：
已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.
证明：
过B点作BM⊥AH，过E点作EN⊥AH，
交AH或其延长线分别于点M、N
∵AB⊥AD∴∠BAM+∠ABM=90°
又∵AH⊥CD∴∠DAH+∠ADH=90°
∴∠BAM=∠ADH
而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD
∴Rt△ABN≌Rt△DAH
∴BM=AH…………………………（5分）
同理可证明Rt△EAN≌Rt△ACH得到EN=AH………………（10分）
在Rt△BMF和Rt△ENF中，有EN=AH，∠BFM=∠EFN，∠BMF=∠ENF=90°
∴Rt△BMF≌Rt△ENF
因此BF=EF……………………………………………………（15分）
六、（本大题满分15分）
24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.
解：
连结PM，设DP=x，则PC=4－x，∵AM//OP
同理可求
……………………（8分）
因此
………………（13分）
当x=2时，上式等号成立.………………………（15分）
25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：
DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使
ADD′E′EB的路程最短.这个最短路程是多少米？
解：
如图所示，作AA′⊥CD，AA′⊥DD′；
BB′⊥CE，BB′⊥EE′，则折线
ADD′E′EB的长度等于折线AA′D′E′B′B的长度，
等于折线A′D′E′B′以线段A′B′最短.…………………………（10分）
故题目所示最短路程S=A′B′+10.而A′，B′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A′B′=
=100米，故S=110米.………………（15分）
升级会员 