完全平方数初中数学竞赛教案.docx

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完全平方数初中数学竞赛教案

课题：

完全平方数

一、本课知识点和能力目标

1．知识点：

个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。

完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。

2．能力目标：

本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

二、数学思想：

一般到特殊，分类讨论思想。

三、本次授课节次及内容安排

第1课时：

个位数的判定。

第2课时：

完全平方数

第3课时：

典型例题剖析

第4课时：

课堂反馈.

四．课外延伸、思维拓展

第一课时

[知识要点]

个位数知识：

1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。

2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。

3.正整数的幂的个位数有一定的规律。

（a）n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。

（b）个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。

（c）个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。

【经典例题】

答案：

3。

答案：

（1）0；

（2）3。

答案：

9

答案：

1

尝试练习：

答案：

（1）3；

（2）1；（3）8；（4）2；（5）2；（6）7

第二课时

[知识要点]

如果n是一个整数，则n2就叫完全平方数。

性质：

（1）平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9.

（2）平方数被3除的余数只能是0和1。

（3）奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.

（4）平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。

（5）平方数之积是平方数。

（6）平方数的正约数个数为奇数。

根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：

（1）两相邻平方数再没有平方数。

（2）个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。

（3）正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。

（4）个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。

（5）若存在质数p|a,而p2

a,则a不是平方数。

【经典例题】

例1.试证：

形如3n+2的数不是完全平方数。

证明：

整数被3除，余数分别为0，1，2。

易得：

被3整除的数的平方数仍被3整除，

被3除余1的数的平方（3k+1）2=9k2+6k+1余数仍为1.

被3除余2的数的平方（3k+2）2=9k2+12k+4余数仍为1

故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。

例2.求证：

奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍数。

证明：

奇数（2n+1）2=4n2+4n+1=4n（n+1）+1,

n、n+1为连续整数，必有一个偶数.

偶数（2n）2=4n2,为4的倍数。

故得证。

例3.使得（

）为完全平方数的自然数n的个数是多少？

分析：

若n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。

例4.一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍是平方数，试求这个平方数。

尝试练习：

1.判断11、111、1111、…、

，…这串数中是否有完全平方数。

答：

没有完全平方数。

（由性质4可得）

解：

由题意得：

所以A=2，B=-1。

当为奇数时，A+B的n次方根为1。

当为偶数时，A+B的n次方根为±1。

4.已知1176a是一个完全平方数，求a的最小值。

解：

a的最小值为6.

5.一个四位正数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数有几个？

第三课时

【典型例题剖析】

例1.已知四位数

是11的倍数，且有b+c=a，

是完全平方数，求此四位数。

例2.设有四个正整数2，5，13和d,

求证：

在这四个数中存在两个数a、b，使得（ab-1）不是完全平方数。

例3.一个四位数

是一个平方数，且适合x=y+z，x+z=10t,求这四个数。

【尝试练习】

1.求证：

四个连续整数的积加1是一个完全平方数。

证明：

连续自然数n,n+1,n+2,n+3.

则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2.

命题得证。

2.试证：

完全平方数个位数字是奇数时，其十位数上的数字必为偶数。

第四课时

【课堂反馈】姓名得分

4.下列四个数：

921438，76186，750235，2660161中，只有_2660161_

是完全平方数。

5.能被252整除的最小完全平方数是1764.

提示：

252=22*32*7，

6.在下列括号中填入适当的正整数，

从以上填空中，你发现了什么规律？

请用等式表示出来。

2k+1=（k+1）2-（k）2

7.五个连续自然数的平方和不是平方数。

8.一个正整数若加上50得一个完全平方数，若减去31又得一个完全平方数，求这个正整数。

简解：

类似于第二课时例4.

解得：

正整数为1631或175或31

9.试证：

a（a+1）+1（a是自然数）不能是某个整数的平方。

10设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数字是多少？

四．课外延伸、思维拓展

1.若n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：

n+1是3个完全平方数的和。

2.证明：

当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差。

3.正整数n不同的约数的个数记为N（n），如24的约数是：

1，2，3，4，6，8，12，24共8个，记N（24）=8。

那么N

（1）+N

（2）+…+N（1994）是奇数还是偶数？

为什么？

简证：

根据性质（6），平方数的正约数的个数为奇数个，非平方数的正约数的个数为偶数个。

而442<1994<452,因此，在1，2，3，…，1994中有44个平方数，

1950个非平方数。

即在N

（1）,N

（2）,…,N（1994）中，有44个奇数，1950个偶数。

全部的和为偶数。