有关伴随矩阵的性质.pdf

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第28卷第3期高师理科学刊Vol.28No.32008年5月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityMay2008文章编号：

1007-9831（2008）03-0021-04有关伴随矩阵的性质朱焕1，关丽杰2，范慧玲1（1黑龙江八一农垦大学数学系，黑龙江大庆163319；2牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江157012）摘要：

研究了矩阵与伴随矩阵的联系，通过研究矩阵的性质和计算技巧，总结、推导了其伴随矩阵的若干性质关键词：

矩阵；伴随矩阵；性质中图分类号：

151.21文献标识码：

A1伴随矩阵的概念设n阶矩阵（）nnija=A记=nnnnnnnnijAAAAAAAAAA?

212221212111*）（A，其中ijA为元素ija的代数余子式，则称*A为A的伴随矩阵*A由矩阵A而来，因此可以从A出发推得*A的若干性质2伴随矩阵的基本性质性质11177nIAAAAA=*，当A可逆时，有AAA*1=，即1*=AAA性质22532*TT*）（）（AA=性质32533若A可逆，则*11*）（）（=AA性质4设A为n阶方阵（）2n，则=nrnnrnrr）

（1）（11）（0）（*AAAA证明

（1）当nr=）（A时，则A可逆，由性质1知*A可逆，即nr=）（*A

（2）当1）（=nrA时，0*=nIAAA一方面由0=AB时，nrr+）（）（BA3152可知，1）（*Ar；另一方面由于1）（=nrA，则A至少有一个1n阶子式不为0，即1）（*Ar故有1）（*=Ar（3）当1）（nrA时，A的1n阶子式全为0，此时有0）（*=Ar证毕性质51*=nAA证明A可逆时，由性质1知1*=AAA，11*=nnAAAA收稿日期：

2007-12-22作者简介：

朱焕（1982-），女，黑龙江嫩江人，助教，从事基础数学研究E-mail：

22高师理科学刊第28卷A不可逆时，1）（nrA，0=A

（1）当2n时，由性质4知，若1）（nrA，此时0）（*=Ar，自然有01*=nAA若1）（=nrA，nrn时的情况：

当0A时，由性质1及性质6知（）（）（）=AAAAAAAA11*11*1*）（nnAA2n当0=A时，知1）（nrA若1）（=nrA，则11）（*=nrA，由性质4知0）（*=Ar，从而=*）（AAA20=n若1）（nrA，则0）（*=Ar，即0*=A，故AAA2*0）（=n综上所述，性质7成立证毕性质*）（ABAB=证明当BA,均可逆时，1*1*,=BBBAAA，所以=1*11*）（）（,ABABABABABAB11ABAB从而*）（ABAB=当BA,至少有一个不可逆时，考虑矩阵nnxxIBIA+,当x足够大时，可保证nnxxIBIA+,均可逆，此时有*）（）（）（nnnnxxxxIAIBIBIA+=+而*）（）（）（nnnnxxxxIAIBIBIA+=+左右两端均为有关x的多项式，2个多项式对应相等意味着变量x取任意值时都成立，特别的，对0=x时也成立，即有*）（ABAB=证毕性质若n阶矩阵A的特征值为n,21?

，则*A的特征值为一切的）,1（121niniii?

=证明设A的若当标准形为=JnJJJ?

21，且1=PJPA，其中=iiii11?

J，si,2,1?

=由于下三角的伴随矩阵也是下三角矩阵，则可知=*2*11*）（n?

PAPJ，其中*2*1,n?

是伴随矩阵*J的特征根而*A与*J有相同的特征根，所以*2*1,n?

也是*A的特征根而直接计算J的1n阶主子式可知）,1,1（11*121niniiniiiin?

=证毕性质10若A可逆，则*A可表示为A的多项式证明设A的特征多项式为nnnnnaaaf+=111）（?

AI由于A可逆，故0）1（）0（=Annaf由哈密顿凯莱定理知0）（111=+=nnnnnaaafIAAAA?

，所以（）nnnnnnnaaaaIIAAAA=+122111?

，故）（1122111nnnnnnaaaaIAAAA+=?

第3期朱焕，等：

有关伴随矩阵的性质23由性质1，1*=AAA，所以+=+=+1112211*（）1（）（nnnnnnnnaaaaAIAAAAA?

）1221nnnnaaaIAA+?

证毕性质11设nnnnnnnnnfnr）1（）1（）（,1）（1111+=?

AIA，则*A的一个特征根为1n，其余为0证明由于1）（=nrnnA，所以1）（*=Ar，故*A的特征根至少1n个为0设*A的另外一特征根为0，则有1*0tr=nA证毕性质12设21,AA为n阶阵，=2100AAA，则=1221*00AAAAA证明当21,AA均可逆时，知A可逆，此时=*12211112211*0000AAAAAAAAAAA若21,AA至少一个不可逆时，可仿照性质8的证明过程构造nnxxIAIA+21,，令其可逆进行证明证毕伴随矩阵的继承性由*A与A的联系，矩阵A所具备的特点其伴随矩阵A一样具备性质13（特殊矩阵的伴随矩阵）4202单位矩阵、上（下）三角矩阵及对角矩阵的伴随矩阵继承原矩阵的特殊性性质14若A为可逆矩阵，则*A也为可逆矩阵（可由性质1得出）性质151177若A为对称矩阵，则*A也为对称矩阵性质16若A为正交矩阵，则*A也为正交矩阵证明A为正交矩阵，则nIAA=T且1=A由性质8，nnIIAAAAAA=*T*T*T*）（）（）（）（，故*A为正交矩阵证毕性质17若A为正定（半正定）矩阵，则*A也为正定（半正定）矩阵证明若A正定，则A为对称矩阵，由性质2可知*A也为对称矩阵其次可得A的所有特征值均大于0，由性质9知，*A的所有特征值也均大于0，即证得*A为正定矩阵类似可证A为半正定矩阵式的情况证毕性质18若A为对合矩阵，则*A也为对合矩阵证明因为A为对合矩阵，所以nnIIAAAA=*2*2*）（）（）（，故*A为对合矩阵证毕性质19若A为幂等或幂零矩阵，则*A也为幂等或幂零矩阵（证明过程类似性质18，略）性质20若矩阵BA,合同，则*,BA也合同证明BA,合同，所以存在可逆阵C，使得BACC=T，由性质2及性质8，有T*T*T*）（）（）（CACCACACCB=，即*,BA也合同。

证毕性质21若矩阵BA,相似，则*,BA也相似（证明过程类似性质19，略）参考文献：

1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M2版北京：

高等教育出版社，19992杨子胥高等代数习题解M济南：

山东科技出版社，20013钱吉林高等代数题解精粹M北京：

中央民族大学出版社，20024徐仲，陆全，张凯院，等高等代数导学导考导练M西安：

西北工业大学出版社，200424高师理科学刊第28卷ThepropertiesofadjointmatrixZHUHuan1，GUANLi-jie2，FANHui-ling1（1.DepartmentofMathematics，HeilongjiangAugustFirstLandReclamationUniversity，Daqing163319，China；2.DepartmentofMathematics，MudanjiangNormalCollege，Mudanjiang157012，China）Abstract：

Abstract：

Discussedtherelationbetweenmatrixandadjointmatrix，summarizedsomepropertiesofadjointmatrixbyresearchingthepropertiesandthecalculationskillsofmatrixKeywords：

Keywords：

matrix；adjointmatrix；propertiesDCS在断线保护上的组态栾波测量工艺变量的各种变送器、热电阻、热电偶及信号线在生产中不可避免地出现一些故障和问题，在检修过程中，也有可能将信号线从相关的DCS端子上摘掉，使信号处于开路（断线）状态，这就要求系统具有断线保护功能，避免联锁动作因此，需要利用DCS系统功能块图（FBD）的功能将PV值处理后再引入调节联锁控制回路1DCS对模拟输入信号的处理图1是模拟输入信号的工作原理图各种输入信号（热电阻、热电偶、标准电流和电压）通过不同的接线端子，进入不同的输入处理电路，变成不同挡量程的电压信号（020mV、0100mV、15V）在组态过程中对卡件配置的一些必要参数（如卡件地址、传感器的类型及每个输入信号的量程范围、补偿、滤波常数、非线性处理等）通过主控卡送给I/O输入卡每个I/O卡件都带有一个微处理器（CPU），可以通过这些参数对输入信号进行处理卡件上的CPU通过读取组态中输入信号的类型和量程范围，用程控放大器对输入信号进行放大，再经过A/D转换，变成数字信号为了防止现场信号对控制站产生干扰，CPU与信号通道之间通过光耦进行隔离进入CPU的信号根据组态的参数进行滤波、非线性处理等，再通过SBU线把采样数据送入主控卡主控卡将数据进行一定的处理后，传送给操作站，获得工艺流程的过程变量2功能块图（FBD）简介功能块图就是将基本的功能/功能块和信号（过程变量和自定义变量）组合在一起完成一定的任务每个功能块除了带有输入输出且完成一定的功能（如算术运算、比较运算、逻辑运算、控制模块、定时器等等）外，还可以用一个EN输入和一个ENO输出进行配置如果当调用功能块时EN值等于OFF，则功能块的算法将不会被执行，ENO值被自动置为OFF；如果当调用功能块时EN值等于ON，则功能块的算法将被执行，执行完成后，ENO值被自动置为ON3断线保护的实现主控制卡是控制站的软硬件的核心它在完成I/O信号处理时，具有灵活的报警处理和质量码功能通过对过程点的传感器和高低限的检查，断线可以通过质量码被系统标识的，体现在功能块图上就是一个功能块ALARM当现场仪表断线时，功能块ALARM的IO（通道故障报警）端被置位ON，利用这个功能块和功能块图的执行次序就可以处理断线保护利用功能块的EN输入端，将功能块ALARM的IO输出引入EN输入根据功能块图的执行次序，AIALM模块首先被执行，当信号开路时IO立即将EN端置OFF（先取反），这样虽然信号开路造成过程变量PV值达到量程上下限或产生报警，使相应的功能块算法被执行，但由于ALARM块的IO已将下一个相应的功能块锁住，阻止了数据流的传送，最终输出不会改变，联锁不会动作.由于功能块ALARM还有上上限HH、下下限LL输出，也可以直接将它们引入联锁输入虽然它们在同一功能块上，但它们的响应时间不同当信号开路时，系统马上响应，IO置位，而报警并不是立即响应的当系统检测到PV值达到报警值时，在本运行周期并不立即报警，而是在下个周期才反应这样IO置位至少比HH和LL置位快1个周期，因此可以用ALARM模块产生的报警信号作为联锁输入直接用功能块AIALM的IO输出与联锁信号进行逻辑运算，依据功能块图的执行次序同样可以处理信号开路如果联锁动作信号是ON，先将IO输出取非，再与联锁信号进行与运算（AND）；如果联锁动作信号是OFF，直接与联锁信号进行或运算（OR），就可以阻止输出变化（作者单位：

黑龙江黑化集团股份有限公司，黑龙江齐齐哈尔161041）SBUCPURt+-+-+-Rt输入处理电路A/D转换隔离程控放大输入处理电路A/D转换隔离程控放大图1模拟输入信号工作原理图