多元函数积分学复习.pdf

多元函数积分学复习.pdf

《多元函数积分学复习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数积分学复习.pdf（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高等数学下册复习提要张祥芝1高等数学下册复习高等数学下册复习

（2）-多元函数积分学多元函数积分学本章知识点本章知识点:

交换二重积分的积分次序（）利用极坐标计算二重积分（）先一后二或先二后一计算三重积分（）利用球坐标计算三重积分（）利用格林公式计算曲线积分（）利用高斯公式计算曲面积分（）第一类曲线、第一类曲面积分的计算（）利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（）1.二重积分的计算二重积分的计算例1.计算ddDxyxy,其中D为直线4yx和抛物线22yx所围成的平面区域.析1）选择积分次序要考虑到两个因素：

被积函数和积分区域，其原则是：

要使二个积分都能积分出来，且使计算尽量简单.2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是：

由所给二次积分，写出D的不等式表示，还原为积分区域D，最好画出D的图形，再将D按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分.3）极坐标的选取一般根据积分区域和被积函数的情况来决定.如果被积函数的形式为）（22yxf及积分区域为圆域时经常用极坐标.有时用直角坐标函数积不出也可采用极坐标.解如果将D视为X型域，应先对y积分，则需将D分为两部分，所以将D视为Y型域，先对x积分.24:

224yxyDy于是22424442222ddddd2yyyyDxxyxyyxyxyy45464232221184d8902424324yyyyyyyy.例2.计算10sinddyyxyxx.解因sindyyxxx不能用初等函数形式表达出来，故无法计算.通过交换积分次序来改变这种状况，所给的二次积分是将D视为Y型区域，即:

01yxyDy，可见D是由xyo24xy224xy高等数学下册复习提要张祥芝2,xyxy及0,1xx围成.现将D看作X型区域，2:

01xyxDx，于是，21112000sinsinsindddd（）dyxyxxxxyxxyxxxxxx1111100000sindsindcos|cos|cos1sin1xxxxxxxxxdx.例3.求22（）ddDxyyxy，其中D是由圆224xy和22

（1）1xy所围成的平面区域.解将积分区域D表为大圆D1=22（,）4xyxy减去小圆D2=22（,）

（1）1xyxy，再利用对称性与极坐标变换即可。

由对称性dd0Dyxy.12222222ddddddDDDxyxyxyxyxyxy3222cos2220002ddddrrrr16（32）.9所以，I=16（32）9.练1.计算yxyxDdd，其中D为由02,2,2xyxyxy所围成的第一象限部分练2.计算积分Dyexd22，其中D是由直线1y及xy围成的区域.练3.计算yxxyDddarctan，其中D为圆周422yx和122yx及直线xyy,0所围成的在第一象限的区域.练4.计算yxyxDdd22，其中D为圆周xyx222所围成的在区域.2.三重积分的计算三重积分的计算例1.设实数0a，求由曲面222zxya与平面22zxa围成的区域的体积.xyo21D12Dxyo12xyxy1高等数学下册复习提要张祥芝3析计算三重积分的步骤一般为:

1.画出积分区域图;2.根据被积函数及积分区域的类型确定坐标系（直角坐标、柱坐标、球坐标）.如果区域是由上下两个曲面,侧面是柱面围成,一般用投影法（也叫先一后二法）计算;如果被积函数只含有一个变量,且垂直相应坐标轴的截面面积易求的,可以选用截面法（也叫先二后一法）;如果被积函数含有两个变量的平方和且相应的投影区域是圆域或圆域的一部分可以选用柱坐标;如果被积函数是三个变量的平方和,且积分区域是球面或锥面围成,可以选用球坐标.3.确定积分变量的上下限.4.计算各层积分.解先求曲面与平面的交线在XOY面的投影,联立22222zxyazxa，解得22

（1）1xy.所以积分区域在坐标面XOY上的投影为22（,）

（1）1xyDxyxy.那么，22222ddddddxyxavDxyaVxyzxyz22

（2）ddxyDxxyxy1cos21sin200d

（1）d.2xrtyrttrrr例2.计算22（）dddxyxyz，其中是由2216（）zxy，224（）zxy和64z所围成.解在xOy面内的投影域为环域41622zyxz，且被积函数为22yx，可采用先二后一法计算：

642220（）ddddddzDxyxyzzrrr64223004ddd2560zzzrr.练1.计算2dddzxyz，其中是由2222xyzR与2222xyzRz所围的公共部分）0（R.xyzo2a1高等数学下册复习提要张祥芝4练2.计算dddzxyz，其中是由222zxy与22zxy所围的区域.练3.计算22（）dddxyxyz，其中是由22zxy与221zxy所围.3.第一类曲线与第一类曲面积分第一类曲线与第一类曲面积分例1.计算Lsyxxd）（22,其中L是半圆周24xy.析此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下:

1.画出积分曲线;2.写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围;3.求出弧微分dttytxdydxds2222）（）（;4.将曲线积分转化为参数的定积分.5.在计算过程中注意被积函数是否有奇偶性,积分曲线是否有对称性,以便简化计算.解方法一利用曲线的参数方程转化为定积分.,0,sin2,cos2:

ttytxL,所以dttttdsyxxL02222）cos2（）sin2（）4cos2（）（8）4cos2（20dtt.方法二利用对称性LLLLssyxsxsyxx8d40d）（dd）（2222.例2.求面密度为1的锥面22yxz（）10z）对z轴的转动惯量.解SyxSyxIzd）（d）（2222，曲面1:

:

2222yxDyxzxy，yxyxzzSyxdd2dd1d22xyDzyxyxSyxIdd）（2d）（222222.练1.计算syxLd）32（22，其中）（2:

22yxyxL.练2.计算sxzyzxyLd）（，其中L为球面1222zyx与平面0zyx的交线.练3.计算SSyxd）（2，其中0,0,:

222ahzayxS.练4.计算SSxyzd，其中10,:

22zyxzS.高等数学下册复习提要张祥芝533xyo24.第二类曲线积分与格林公式第二类曲线积分与格林公式例1.计算lxxyxyxxyyd）cose（d）3sine（2，其中l为由点）0,3（A经椭圆tytxsin2cos3的上半弧到点）0,3（B再沿直线回到A的路径析1）这节的题目类型有:

封闭曲线积分直接应用格林公式,积分与路径无关取新路径,求积分表达式的原函数,两类曲线积分的转化等.2）遇到第二类曲线的积分的题目,首选格林公式.3）当积分曲线不是封闭曲线时,可添加辅助线使成为封闭的.4）若被积函数在曲线所围的区域里有奇点时,不可使用格林公式.这时,一般用曲线的参数方程转化为定积分计算.有些情况也可做辅助线将奇点包围,然后在多连通区域上使用格林公式.5）注意检查积分曲线的封闭性,被积函数的解析性,二重积分的正负号,函数QP,的次序以及其偏导数.解xyQxyyPxxcose,3sine2，由格林公式原式lxxyxyxxyyd）cose（d）3sine（2DddyxyPxQ=Dxxyxyydd3cose（）1cose（=Dyxdd2=23212=6.例2.计算LyyxxyxyId）（d）21（22,其中L是从原点沿直线xy到点）1,1（的一段弧.若yyxxyxyd）（d）21（22是某个函数的全微分,求出一个这样的函数.解10:

:

xxyL,10222d）（）21（xxxxxI34）71（102dxx.因为）（2yxyPxQ,所以存在函数）,（yxu使得yyxxyxyd）（d）21（22是其全微分.下面用两种方法求）,（yxu.高等数学下册复习提要张祥芝6方法一yyxxyxyyxuyxd）（d）21（）,

（2）,（）0,0（2yyxxxyd）（d00232231yxyyxx.方法二2,2222）（）

（2）（d）21（）,（yxyxyxyuyxyyxxxyxyyxu2,）（yycyy331）（故cyxyyxxyxu32231）,（.练1计算lxxyyxyyd）21cose（d）2sine（2，其中l是上半圆周xyx222）0（y和x轴围成平面区域边界的正向练2.计算曲线积分Lyyxxyyxd）12cos（d）2sin（2其中L为圆222Ryx上从点）0,（RA经第一象限到点）,0（RB.练3.计算lyxxyyx224dd，其中l为正向曲线1yx练4.计算Lyyyexxxxyd）（d）sin3（2,其中L为曲线xxy22上从点）0,0（A到点）8,4（B的曲线段.练5.计算Lyxyyxxyx22d）（d）（,其中L是从点）,（A沿曲线xycos到点）（B的曲线段.5.第二类曲面积分及高斯公式第二类曲面积分及高斯公式例1.计算yxzzyxzdddd）（2，其中是抛物面）（2122yxz介于平面0z和2z之间部分的下侧.析1）遇到第二类曲面的积分的题目,首选高斯公式.2）当积分曲面不是封闭曲面时,可添加辅助面使成为封闭的.高等数学下册复习提要张祥芝7xyzo213）若被积函数在曲面所围的区域里有奇点时,不可使用高斯公式.这时,一般用投影法.有些情况也可做辅助面将奇点包围,然后在多连通区域上使用高斯公式.4）做题步骤:

一,画出积分区域图;二,检查积分曲面是否封闭,被积函数在封闭曲面所围区域上是否具有一阶连续偏导数.否则,做出相应的辅助面;三,使用高斯公式,将第二类曲面积分转化成三重积分,看清楚RQP,;四,检查是否忘了减掉辅助面的积分（如果有的话）,检查三重积分的正负号与曲面的外内测是否对应.5）注意试用高斯公式后积分区域的变化.解方法一利用高斯高斯,将曲面积分转化为三重积分.作辅助面40:

）,（,2221yxDyxzxy：

取上侧.记与1所围区域为,则yxzzyxzdddd）（211dddd）（dddd）（22yxzzyxzyxzzyxzxyDyxzyxdd）2（ddd）1（18.方法二投影法,将曲面积分转化成二重积分.先计算zyxzdd）（2.将分成前后两部分:

2:

）,（,222121zyDzyyzxyz：

取前侧;2:

）,（,222122zyDzyyzxyz：

取后侧.zyxzdd）（211dd）（dd）（22zyxzzyxzyzyzDDzyyzzzyyzzdd）2（dd）2（2222yzDzyyzdd）2222222221d2d2yzyzy4.再计算yxzdd.高等数学下册复习提要张祥芝8oyx2yxzddxyDyxyxdd）（222120220dd214所以yxzzyxzdddd）（28）4（4.方法三利用两类曲面积分之间的关系,将所有坐标面上的积分转化为一个坐标面上的积分.因为曲面下侧上任一点处的法向量为）1,（）1,（yxzznyx，所以221cosyxx，2211cosyx，由cosddcosddcosddyxxzzy，知yxxyxzyddddcoscosdd，所以yxzzyxzdddd）（2yxzxxzdd）（2xyDyxyxxxyxdd）（）（）（222122221xyDyxyxxxyxdd）（）（）（222122221xyDyxyxxdd）（22212202212220d）cos（d8.练1.计算yxyxxzxzzyzyISdddddd22其中S为旋转抛物面高等数学下册复习提要张祥芝922yxz,圆柱面122yx和坐标面在第一象限内所围成的空间区域的外侧.练2.计算yxzxzyzyxISdd）1（3dd2dd2233其中S为曲面0,122zyxz的上侧.练3.计算23222）（ddddddzyxyxzxzyzyx,其中为任一不经过原点的闭曲面外侧.附三重积分的例附三重积分的例例1计算VVxyzd，V是由曲面1222zyx所围成的立体区域.解区域为：

2210yxz，210:

）,（xyyxxy，10x.于是VVxyzdzzyxyyxxxd01d01d01222yyxyxxxd）1（01d0121222.481d）1（018122xxx.例2.VVzxyd32,V是由曲面,xyzxy，1x，0z所围的区域.解由区域,0:

xyzVxyyxxy0:

）,（,10x,于是VzzxyyyxxxVzxyd0d0d01d3232yyxyxxxd410d01442yyxxxd0d014165xxxd0171417536411312810128112dxx.例3.求由曲面22yxz，2222yxz，xy，2xy所围立体的体积.xyz1o1xyzo111高等数学下册复习提要张祥芝10解）,（2:

2222yxzyxVxyxDyxxy2:

）,（，10x,于是VzyxyxyxxxVVd22dd01d22222,yyxxxxd）（d01222353d）3134（01643xxxx.例4求VczbyaxIVd222222.其中VV是椭球体1222222czbyax.解如果用投影法计算较复杂，因此用平面截割法.由VczVbyVaxIVVVddd222222321III,下面我们来计算3I.由czcDyxVz,）,（:

由2222221czbyax,有11122222222czbyczax.zD的面积为222222111czabczbcza,于是zczabczccyxczzccIDzd1ddd2222223abcdzczzccab154022422.同理abcI1541，abcI1542,故xyzo24xyzo高等数学下册复习提要张祥芝11abcI54.方法二用广义球坐标变换令,cos,sinsin,cossinczbyax有sin2abcJ.此时,10,0,20:

V，于是VczbyaxIVd222222d01dsin0d024abcabc54.例5.计算VVzd，其中是由4222zyx及抛物面223yxz所围成（在抛物面内的那一部分）的立体区域.解按直角坐标系中的计算，由两曲面交线的方程为：

.3,422222yxzzyx这曲线在oxy平面上的投影曲线方程为.6,322zyx由此可知V在oxy平面的投影区域为圆域322yx.于是VzzrrrrVzd314ddd22rrrd942103d0242413d940353rrrr.例6计算密度函数为222zyx的立体V的质量M,V是由球面xyzo高等数学下册复习提要张祥芝122222Rzyx,22yxz所围成的区域（锥面的内部）.解由题意知VVzyxMd）（222.用球坐标变换,0,40,20:

RV于是ddsind404020RMddsind404020R）.251（525R例7.计算VVzd2,V是由曲面2222Rzyx与Rzzyx2222所围成的立体区域.解方法一用柱坐标变换由.2,2222222RzzyxRzyx.）23（,2222RyxRz所以积分区域为20,220,:

2222RrrRzrRRVVrRrRRRzzrrVz2222dddd2230202.480595R方法二用球坐标变换由.2,2222222RzzyxRzyx.）23（,2222RyxRzxyzoxyzoR高等数学下册复习提要张祥芝13由,2121cosRR得,3以锥面3为界上面的立体为1V,下面的立体为2V.,21VVV,0,30,20:

1RV,cos20,23,20:

2RV于是VVvVzVzVz12ddd222dcosdd2203020Rdsindsincosdd22222cos202320Rddsincosdddsincosd4cos20223204023020RRdRR5522353cos）2（51sincos251）03cos31（2.48059160607555RRR方法三平面截割法以平面2Rz为界,上面的立体为3V，下面的立体为4V.VzVzzzVVVddd43222ZZDDyxzzRyxzzRRddd02ddd222zzRzzRzzRzRRd）2（02d）（222222548059R.例8.计算vxyzd）21（.其中是由曲面222yxaz与0z所围成的区域.高等数学下册复习提要张祥芝14解由0,222zyxaz在xoy平面上的投影曲线为：

222ayx，则2220:

yxazV,222:

）,（ayxyxxy.由V关于xOz平面对称，且xyz2关于y是奇函数，于是vxyzd）21（vxyzvd2dxyzyxa0d0d222xyyxad）（222rrraad）（0d022220412124422aarra.例9.已知均匀半球体的半径为a，在该半球体的底圆的一旁，拼接一个半径与球的半径相等，材料相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合，为了使拼接后的整个立体重心恰是球心，问圆柱的高应为多少？

解如图建立坐标系，设所求的圆柱体的高度为H，使圆柱体与半球的底圆在oxy平面上，圆柱体的中心轴为z轴，设整个立体为，其体积为，重心坐标为（zyx,），要求0zyx,由立体均质，且关于xoz平面及yoz平面对称，显然有0xy，由Vzzd1，由题意知0z，即0dvz.xyzoxyzoaH高等数学下册复习提要张祥芝15设圆柱体与半球分别为21,，分别用柱坐标与球坐标，得dsincos0d2d02d0d0d02d2azzrHraVzd0dsincos2d02d0d0d024azzHrra0）2（44）21（221212222422aHaaHa,得aH22就是所求圆柱的高.例10.求高为h，半顶角为4，密度为（常数）的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.解以对称轴为正轴，以顶点为原点，如图建立坐标系.由vyxIzd）（22,利用平面截割法10:

z,222:

）,（zyxDyxz，于是yxyxzIZDzdd）（d0122rrrzzd0d02d012dzzzz440124d4102d0155h.例11.一个半径为R,高为h的均均正圆柱体，在其对称轴上距上底为a处有一质量为m的质点，试求圆柱体与质点之间引力.解如图建立坐标系.由d）（2/3222zyxxkmFx,由关于yoz平面对称，被积函数关于x为奇函数，有0xF，同理0yF.d）（2/3222zyxzkmFz,用柱坐标变换xyzoh4xyzoa高等数学下册复习提要张祥芝16zzrzhaarrRkmFzd）（）（d0d022/322drhaazrrRkm）（）（022122rhararrRkmd）（）（0221222122haRhaRkm2222）（2.则引力kFzF.例12.设lI为物体对于某轴l的转动惯量，0lI为对于平行于l并通过物体重心的轴0l的转动惯量，d为轴l与0l之间的距离，M为物体的质量.证明20MdIIll.证以重心坐标原点O，z轴与0l重合，l与Oxy平面的交点为）0,（00yx，如右图所示.vzyxyyxxIld）,（）（）（2020vzyxyxvzyxyxd）,（）（d）,（）（202022vzyxyyvzyxxxd）,（2d）,（200.由于重心在原点，故0x，0y，由0d）,（1vzyxxMx，有0d）,（vzyxx.由0d）,（1vzyxyMy，有0d）,（vzyxy.并且vzyxMd）,（，20202yxd所以有20MdIIll.xyzo0y0xl0l