平面直角坐标系全章教案基础版Word文档格式.docx
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（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：
x轴上的点的纵坐标为0；
y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；
反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
【典型例题】
类型一、确定物体的位置
1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.
【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．
【答案】10,13.
【解析】由条件可知：
前面的数表示排数，后面的数表示号数.
【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，（a，b）与（b，a）顺序不同，含义就不同．
2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°
）、F（5，210°
）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（ ）
A．A（5，30°
）B．B（2，90°
）C．D（4，240°
）D．E（3，60°
）
【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．
【答案】D．
【解析】
由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：
A（5，30°
），故A正确；
B（2，90°
），故B正确；
D（4，240°
），故C正确；
E（3，300°
），故D错误．
【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.
【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．
【答案与解析】
解：
由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是（2，3），同理可得点B、C、D的坐标．
所以，各点的坐标：
A（2，3），B（3，2），C（－2，1），D（－1，－2）．
【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】
（2015春•临沂期末）多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？
【答案】解：
建立坐标系如图：
∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．
4.（2015春•荣昌县期末）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．
【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．
分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，
则E（5，3），
所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF
=5×
3﹣
×
2×
2﹣
1×
3×
2
=
．
【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：
利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；
会运用面积的和差计算不规则图形的面积．
【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：
A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．
【答案】5.
类型三、坐标平面及点的特征
5.（2016春•宜阳县期中）已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．
【思路点拨】
（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m的值，进而得出P点坐标；
（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．
（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）=3，
解得：
m=﹣8，
∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，
∴点P的坐标为：
（﹣12，﹣9）；
（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，
∴m﹣1=﹣3，
m=﹣2，
∴2m+4=0，
∴P点坐标为：
（0，﹣3）．
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．
【变式】在直角坐标系中，点P（x,y）在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；
若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.
【答案】
（－5,2）；
（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.
坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）
1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.
2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.
要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征
1.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a,－b）；
P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a,b）；
P（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a,－b）．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a，a）；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（a，－a）．
3.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；
将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：
右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：
上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：
沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
类型一、用坐标表示轴对称
1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则
的值为_______.
【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出
的值．
【答案】25
∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），
∴a＋b＝－3，1－b＝－1，
b＝2，a＝－5，
＝25，
【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（ ）
A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）
【答案】A．
2.已知点A（－3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．
【思路点拨】由“点A（－3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；
由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．
如图，
∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，
∴点B与点A的横坐标相同，
∴x＝－3．
∵点B到x轴的距离为3，
∴y＝3或y＝－3．
∴点B的坐标是（－3，3）或（－3，－3）．
【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．
【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.
A．（3，0）B．（3，0）或（–3，0）
C．（0，3）D．（0，3）或（0，–3）
【答案】B.
【变式2】若点P（a,b）在第二象限，则：
（1）点P1（a,－b）在第象限；
（2）点P2（－a,b）在第象限；
（3）点P3（－a,－b）在第象限；
（4）点P4（b,a）在第象限.
（1）三；
（2）一；
（3）四；
（4）四.
类型二、用坐标表示平移
3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是 ．
【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【解析】解：
∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，
∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．
故答案为：
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减．
【变式1】已知：
两点A（－4，2）、B（－2，－6），
（1）线段AB的中点C坐标是；
（2）若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是,B1点的坐标是．
（3）若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是,B2点的坐标是．
（1）（－3,－2）；
（2）（1,2）,（3,－6）；
（3）（－4,－1）,（－2,－9）.
【变式2】点P（－2，5）向右平移2个单位长度，向下平移4
个单位长度，变为P′（0，1）．
【答案】2、4．
4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），
（1）求△ABO的面积．
（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．
（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；
（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．
（1）如图所示：
S△ABO=3×
4﹣
4×
1﹣
2=5；
（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．
【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．
（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．
《平面直角坐标系》全章复习与巩固（基础）知识讲解
1.理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
2.掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；
3.通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．
【知识网络】
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用（13，2000），（17，190），（21，330）…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：
（4，5），（20，12），（13，2），…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：
x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
①x轴上的点纵坐标为零；
y轴上的点横坐标为零．
②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：
反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
①坐标平面内点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
②x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=|x1-x2|；
y轴上两点C（0，y1）、D（0，y2）的距离为CD=|y1-y2|．
③平行于x轴的直线上两点A（x1，y）、B（x2，y）的距离为AB=|x1-x2|；
平行于y轴的直线上两点C（x，y1）、D（x，y2）的距离为CD=|y1-y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：
切割、拼补.
要点三、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
（1）我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
（2）确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
（1）点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：
在平面直角坐标中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；
将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））．
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
（2）图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：
“右加左减，纵不变；
上加下减，横不变”．
类型一、有序数对
1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：
．例如把（3，-2）放入其中，就会有32+（-2）+1＝8，现将数对（-2，3）放入其中得到数m，再将数对（m，1）放入其中，得到的数是________．
【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入
求值即可．
【答案】66.
将（-2，3）代入，
，得（-2）2+3+1＝8，
再将（8，1）代入，得82+1+1＝66，
故填：
66．
【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的数．
【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作（4，6），则向西走5米，再向北走3米，记作________；
数对（-2，-6）表示________．
【答案】（-5，3）；
向西走2米，向南走6米.
类型二、平面直角坐标系
2.（滨州）第三象限内的点P（x，y），满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________．
【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值．
（-5，-3）.
【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±
5，y＝±
3，又点P（x，y）在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为（-5，-3）．
【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；
第二象限（-，+）；
第三象限（-，-）；
第四象限（+，-）．
【变式1】（乐山）在平面直角坐标系中，点P（-3，4）到x轴的距离为（）．
A．3B．-3C．4D．-4
【答案】C.
【变式2】（长春）如图所示，小手盖住的点的坐标可能为（）．
A．（5，2）B．（-6，3）C．（-4，-6）D．（3，-4）
【答案】D.
类型三、坐标方法的简单应用
3.（2016春•吐鲁番市校级期中）如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题：
（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；
（2）写出图上其他地点的坐标
（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．
（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；
（2）根据
（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；
（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．
（1）由题意可得，
（2）由
（1）中的平面直角坐标系可得，
校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；
（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，
【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．
5.△ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?
（2）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
（3）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
（1）A1（5，1），B1（4，-1），C1（2，0）．
（2）△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．
（3）△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．
【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向
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