等腰三角形.docx

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等腰三角形

备课组

八年级数学下

主备人

高显国

备课时间

2018.02.27

课题

《等腰三角形》

课时数

3

上课时间

教学

三维

目标

知识目标：

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理。

能力目标：

让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

情感目标：

培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯

教学

重难

点

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法,明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

授课

方法

自主、合作、探究

教

学

过

程

主备

个人增删

第1课时

第一环节：

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

具体证明如下：

已知：

如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证：

△ABC≌△DEF.

证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-（∠A+∠B），

∠F=180°-（∠D+∠E），

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

第二环节：

自主探究

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：

BD=CE．

证法1：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

证法2：

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

第三环节：

经典例题变式练习

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

下面是学生的课堂表现：

[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=

∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵∠ABD=

∠ABC,∴∠ACE=

∠ACB,

∴∠ABD=∠ACE．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

[生]如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=

∠ABC，∠ACE=∠

∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，就一定有BD=CE成立．

[生]也可以更直接地说：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．（教师可巡视指导）下面我们来讨论第

（2）问，请小组代表发言．

[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE；如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：

在△ABC中，AB=AC，AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

又∵AD=

AC，AE=

AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

板书设计：

1、等腰三角形定理

2、等腰三角形性质

3、等腰三角形判定

第2课时

第一环节：

复习引入

活动过程：

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

第二环节：

逆向思考，定理证明

活动过程与效果：

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

也就是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的?

[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：

等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

第三环节：

巩固练习

活动过程与效果：

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。

引导学生进行分析。

已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

第四环节：

适时提问导出反证法

活动过程与效果：

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

有学生提出：

“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．

第五环节：

拓展延伸

活动过程与效果：

在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2个练习。

一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。

另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。

学生在独立思考的基础上再小组交流。

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长..

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?

第六环节：

课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路

板书设计：

4、定理证明

5、例题讲解

6、学生练习

第3课时

第一环节：

提问问题，引入新课

活动内容：

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

下面是实际教学中的部分师生活动实况：

[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．

[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．

（此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．）

[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!

[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?

下面同学们可在小组内交流自己的看法．

（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?

你能证明你的结论吗?

把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

第二环节：

自主探索

由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：

顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；

底角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：

能否用更简捷的语言描述这个结论吗?

从而引导学生得出：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

第三环节：

实际操作提出问题

活动内容：

教师直接提出问题：

我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：

含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

活动目的：

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。

具体的说明过程可以如下：

方法1：

因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

方法2：

图

（1）中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图所示）．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

第四环节：

变式训练巩固新知

活动1：

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?

如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°

证明：

延长BC至D，使CD=BC，连接AD.

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

注意事项：

该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：

从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？

活动2：

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

分析：

观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=

AC=

×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

活动目的：

在例题求解中巩固新知。

第五环节：

畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

教学

反思