空间向量与立体几何高考题汇编.doc
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1.（2009北京卷）（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
解:
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
2.（2009山东卷）（本小题满分12分）
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ABE
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
x
y
z
M
1F
（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,
,
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面
（I）证明：
（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。
（I）分析一：
连结BE，为直三棱柱，
为的中点，。
又平面，
（射影相等的两条斜线段相等）而平面，
（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：
取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。
分析三：
利用空间向量的方法。
具体解法略。
（II）分析一：
求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。
作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.
设点到面的距离为，与平面所成的角为。
利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为
分析三：
利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。
具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：
传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。
命题人在这里一定会兼顾双方的利益
4.（2009全国卷Ⅰ）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：
是侧棱的中点；
求二面角的大小。
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
S
A
B
C
D
M
z
x
y
（Ⅰ）设，则
，
，由题得
，即
解之个方程组得即
所以是侧棱的中点。
法2：
设，则
又
故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。
5.（2009天津卷）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD（II）证明：
，
（III）
又由题设，平面的一个法向量为
6.（2009年上海卷）（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，,
求二面角的大小。
【解】如图，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），
B1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分
设AC的中点为M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;
∴BM⊥平面A1C1C,即=（1,1,0）是平面A1C1C的一个法向量。
……5分
设平面的一个法向量是=（x，y，z），
=（-2，2，-2），=（-2，0，0）……7分
设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角
…………………….14分
7（2010湖南）18.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：
平面ABM⊥平面A1B1M1
18.解Ⅰ）如图，因为，所以异面
直线Ｍ和所成的角，因为平面，
所以，而=1，，
故.
即异面直线Ｍ和所成的角的正切值为
（Ⅱ）由平面，BM平面，得BM①
由（Ⅰ）知，，，，所以，
从而BMB1M②又,再由①②得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，
因此平面ABM平面A1B1M.
8.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：
CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
……12分
9.（2010江西理数）20.（本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
解法二：
取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）设是平面MBC的法向量，则，
，由得；由得；取，则距离
（2），.
设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则
设所求二面角为，则.
10（2010四川）（18）（本小题满分12分）
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，
点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：
OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,A’（1,0,1）,C’（0,1,1）,D’（0,0,1）
（1）因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M（1,0,）,O（,,）
=（0,0,1）,=（-1,-1,1）
=0,+0=0
所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分
（2）设平面BMC'的一个法向量为=（x,y,z）
=（0,-1,）,＝（－1,0,1）
即
取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=（2,1,2）
取平面BC'B'的一个法向量为＝（0,1,0）
cos由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分
（3）易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝设平面OBC的一个法向量为＝（x1,y1,z1）
＝（－1,－1,1）,＝（－1,0,0）
即
取z1＝1,得y1＝1，从而＝（0,1,1）点M到平面OBC的距离d＝
VM－OBC＝…………………………………………12分
11（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB
（Ⅰ）证明：
SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
12.（11广东理18）
如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60，,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点．
（1）证明：
AD平面DEF;
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．
法二：
（1）取AD中点为G，因为
又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。
延长BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，
所以PO平面ABCD。
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设
由于
得
平面DEF。
（2）
取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取
13.（11湖南理19）
如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．
（Ⅰ）证明：
平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
解法2：
（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设是平面POD的一个法向量，
则由，得
所以
设是平面PAC的一个法向量，
则由，
得
所以
得。
因为
所以从而平面平面PAC。
（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
由（I）知，平面PAC的一个法向量为
设向量的夹角为，则
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为
14.（11辽宁理18）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：
平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
解：
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.…………6分
（II）依题意有B（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
因此可取
设m是平面PBQ的法向量，则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为………………12分
15.（11全国大纲理19）
如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．
（Ⅰ）证明：
;
（Ⅱ）求与平面所成角的大小．
解：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
（I），，
由得
故x=1。
由
又由
即 …………3分
于是，
故
所以平面SAB。
…………6分
（II）设平面SBC的法向量，
则又
故 …………9分
取p=2得。
故AB与平面SBC所成的角为
16.（11全国新课标理18）
如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．
（I）证明：
；
（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：
（Ⅰ）因为，由余弦定理得
从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，．
设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则
即
因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）
故二面角A-PB-C的余弦值为
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