②若x2>x1>5，则f（x2）>f（x1）>1，
∴f（x1）f（x2）>1
∴>0
∴F（x2）>F（x1）
综上，F（x）在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数
注：
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小，或f（x1）/f（x2）与大小。
有时根据需要，需作适当的变形：
如
〖例2〗已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：
①;
②对任意都有；③.
（1）求、的值；
（2）证明：
函数在上为减函数；
（3）解关于x的不等式.
（1）解：
（3）不等式等价于，解得.
【感悟高考真题】
1．（2009山东卷文）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（）
A.B.
C.D.
答案D
解析因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在R上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D
2.（2009年广东卷文）函数的单调递增区间是
A.B.（0,3）C.（1,4）D.
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
3.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。
当=时，函数的单调递增区间为【C】
A．B．C．D．
解:
函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
4.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．=B.=C.=D
【答案】：
A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
5.（2010重庆理数）（5）函数的图象
A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称
解析：
是偶函数，图像关于y轴对称
6.（2010北京文数）（6）给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④
答案：
B
7.（2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
[解析]考查分段函数的单调性。
8.（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】
（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
【考点精题精练】
一、选择题
1．同时具有性质：
“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是
A．B．
C．D．
答案：
C
解析：
逐一排除即可．
2．（北京市西城外语学校·2010届高三测试）函数的一个单调增区间是 （）
A. B. C. D.
3．若函数y=x2+（2a－1）x+1在区间（－∞，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．－，+∞） B．（－∞，－ C．，+∞） D．（－∞，
4．函数f（x）=在区间（－2，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 （）
A．（0，） B．（，＋∞）
C．（－2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
5．已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]内（）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
6．已知函数f（x）=8＋2x－x2，如果g（x）=f（2－x2），那么函数g（x） （）
A．在区间（－1，0）上是减函数 B．在区间（0，1）上是减函数
C．在区间（－2，0）上是增函数 D．在区间（0，2）上是增函数
7．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式|f（x＋1）|＜1的解集的补集是 （）
A．（－1，2） B．（1，4）
C．（－∞，－1）∪[4，＋∞） D．（－∞，－1）∪[2，＋∞）
8．已知定义域为R的函数f（x）在区间（－∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5＋t）＝f（5－t），那么下列式子一定成立的是 （）
A．f（－1）＜f（9）＜f（13） B．f（13）＜f（9）＜f（－1）
C．f（9）＜f（－1）＜f（13） D．f（13）＜f（－1）＜f（9）
9．函数的递增区间依次是 （）A． B．
C． D
10．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
11．已知f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）
A．f（a）＋f（b）≤－f（a）＋f（b）］ B．f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）
C．f（a）＋f（b）≥－f（a）＋f（b）］ D．f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）
12．定义在R上的函数y=f（x）在（－∞，2）上是增函数，且y=f（x＋2）图象的对称轴是x=0，则 （）
A．f（－1）＜f（3） B．f（0）＞f（3） C．f（－1）=f（－3） D．f
（2）＜f（3）
二、填空题
1、（09陆慕高级中学测试）函数的单调减区间是（－∞，2）．
2、（09长沙市一中月考）函数在上的最大值为 15．
3、设是上的减函数，则的单调递减区间为.
4、函数f（x）=ax2＋4（a＋1）x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__
三、解答题
1、已知f（x）是定义在（－2，2）上的减函数，并且f（m－1）－f（1－2m）＞0，求实数m的取值范围．
解析：
∵f（x）在（－2，2）上是减函数
∴由f（m－1）－f（1－2m）＞0，得f（m－1）＞f（1－2m）
∴解得，∴m的取值范围是（－）
2、已知函数f（x）=，x∈［1，＋∞］
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析：
（1）当a=时，f（x）=x＋＋2，x∈1，＋∞）
设x2＞x1≥1，则f（x2）－f（x1）=x2＋=（x2－x1）＋=（x2－x1）（1－）
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f（x2）＞f（x1）
可知f（x）在［1，＋∞）上是增函数．∴f（x）在区间［1，＋∞上的最小值为f
（1）=．
（2）在区间［1，＋∞上，f（x）=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞），由y=（x＋1）2＋a－1可知其在[1，＋∞）上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f（x）＞0恒成立．故a＞－3．
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