中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析.docx

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中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析

2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析

一．试题（共 8 小题）

1．如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 AO 上一

点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的

3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）

A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0），B（0，

﹣），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB+PD 的最小值为；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有

个；

②连接 MA，MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．

3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP+BP+PD

的最小值为．

第1页（共27页）

4．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE

上．

（1）试说明 CE 是⊙O 的切线；

（

）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB；

（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6

时，求⊙O 的直径 AB 的长．

5．如图，抛物线 y＝ x2+mx+n 与直线 y＝﹣ x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，

连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：

是

否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？

若存在，请求出所有符合条

件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

，

（2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） 连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE

以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒

当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？

个单位的速度运动到 A 后停止，

6．如图，已知抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣3a（a 为常数，且 a＞0）与 x 轴从左至右依次交于 A，

第2页（共27页）

B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y＝﹣

x+b 与抛物线的另一交点为 D，与 y

轴交于点 E，且 DE：

BE＝2：

3．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设 P 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AP，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AP

以每秒 1 个单位的速度运动到 P，再沿线段 PD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止．当

点 P 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？

（

）将ABC 绕点 B 顺时针旋转 α（0°＜α＜180°），当点 A 的对应点 A

落在ECB

的边所在直线上时，求此时点 C 的对应点 C'的坐标．

7．二次函数 y＝ax2﹣2x+c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，点 C（3，0），与 y 轴交于点 B（0，

﹣3）．

（1）a＝，c＝；

（2）如图 1，P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，求

小值；

（3）如图 2，点 M 在抛物线上，若 

 MBC＝3，求点 M 的坐标．

PD+PC 的最

8．已知抛物线 y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y

轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y＝﹣x+b 与抛物线的另一个交点为 D．

（1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；

第3页（共27页）

（2）若在

（1）的条件下，抛物线上存在点 

，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三

角形，求点 P 的坐标；

（3）在

（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接 BE．一动点 Q

从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒个

单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用

时间最少？

第4页（共27页）

2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析

参考答案与试题解析

一．试题（共 8 小题）

1．如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 AO 上一

点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的

3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）

A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）

【分析】假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1，首先表示出总的时间，再根据根

的判别式求出 t 的取值范围，进而求出 D 的坐标．

【解答】解：

假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1，

设 D 坐标为（0，y），则 AD＝2

∴设 t＝+，

﹣y，CD＝       ＝      ，

等式变形为：

t+ y﹣

＝      ，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可，

∴t2+（ y﹣

∴y2+（

）t+（ y﹣

﹣ t）y﹣t2+

）2＝y2+1，

t+1＝0，

△＝（

﹣ t）2﹣4× （﹣t2+

t+1）≥0，

∴t 的最小值为

∴y＝，

，

∴点 D 的坐标为（0，

故选 D．

），

第5页（共27页）

解法二：

假设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V，

总时间 t＝+＝ （+CD），要使 t 最小，就要+CD 最小，

因为 AB＝AC＝3，过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证△ADH∽△ACO，

所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC 是等腰三角形，所以 BD＝CD，所以要

+CD 最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、D、H 三点共线就行了．因为△AOC∽△

BOD，所以＝，即＝

，所以 OD＝   ，

所以点 D 的坐标应为（0，

）．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（＝

2﹣4ac）判断方

程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0），B（0，

﹣），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB+PD 的最小值为

；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有

5个；

②连接 MA，MB，若∠AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．

（

【分析】 1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．

（2）如图 1 中，连接 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时 PB+PD 最小．最小值

就是线段 DH，求出 DH 即可．

（3）

先在对称轴上寻找满足ABM 是等腰三角形的点 M，由此即可解决问题．

第6页（共27页）

②作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连接 EA，则∠AEB＝120°，以 E 为圆心，EB 为半

径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段 FG 上的点

满足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题．

【解答】解：

（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为 y＝

x2﹣

x﹣  ，

∵y＝x2﹣x﹣

∴顶点坐标（ ，﹣

＝

）．

（x﹣ ）2﹣

，

（2）如图 1 中，连接 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，

此时 PB+PD 最小．

理由：

∵OA＝1，OB＝

，

∴tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝30°，

∴PH＝ PB，

∴PB+PD＝PH+PD＝DH，

∴此时 PB+PD 最短（垂线段最短）．

在 

ADH 中，∵∠AHD＝90°，AD＝ ，∠HAD＝60°，

∴sin60°＝

∴DH＝

，

，

∴PB+PD 的最小值为

．

故答案为．

（3）①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，

以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，

第7页（共27页）

线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，

所以满足条件的点 M 有 5 个，即满足条件的点 N 也有 5 个，

故答案为 5．

② 如图，

AOB 中，∵tan∠ABO＝

＝   ，

∴∠ABO＝30°，

作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连接 EA，则∠AEB＝120°，

以 E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．

则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段 FG 上的点满足题意，

∵EB＝＝

，

∴OE＝OB﹣EB＝

，

∵F（ ，t），EF2＝EB2，

∴（ ）2+（t+

解得 t＝

）2＝（

或

）2，

，

故 F（ ，

∴t 的取值范围

），G（ ，

≤t≤

），

第8页（共27页）

【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键

是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，

学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．

3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP+BP+PD

的最小值为6．

【分析】将△ADC 逆时针旋转 

°，得到AD′C′，连接 BD′交 AC 于 P，交 AC′

于 E，连接 PD，求出 BD′，证明 PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答

案．

【解答】解：

将△ADC 逆时针旋转 60°，得到

′C′，连接 BD′交 AC 于 P，交

AC′于 E，连接 PD，

∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，

∴∠BAD′＝90°，又 AB＝AD＝AD′，

∴BD′＝＝6，

∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，

∴∠APE＝∠PAE＝60°，

∴△EAP 为等边三角形，

∴PA＝PE，

又∵△APD≌△AED′，

∴PD＝ED′，

根据两点之间线段最短，

第9页（共27页）

∴AP+BP+PD 的最小值＝PB+PE+ED′＝6

故答案为：

6．

，

【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出

辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．

4．如图，在△ACE 中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE

上．

（1）试说明 CE 是⊙O 的切线；

（

）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB；

（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6

时，求⊙O 的直径 AB 的长．

（

【分析】 1）连接 OC，如图 1，要证 CE 是⊙O 的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；

（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连接 OC，如图 2，在 

OHC 中运用三角函数即可解决

问题；

（3）作 OF 平分∠AOC，交⊙O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF

是菱形，根据对称性可得 DF＝DO．过点 D 作 DH⊥OC 于 H，易得 DH＝ DC，从而有

CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：

当 F、 、 三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）

最小，然后在 

OHF 中运用三角函数即可解决问题．

【解答】解：

（1）连接 OC，如图 1，

第10页（共27页）

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE 是⊙O 的切线；

（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连接 OC，如图 2，

由题可得 CH＝h．

在 

OHC 中，CH＝OC•sin∠COH，

∴h＝OC•sin60°＝

∴OC＝＝h，

OC，

∴AB＝2OC＝

h；

（3）作 OF 平分∠AOC，交⊙O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，

则∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ （180°﹣60°）＝60°．

第11页（共27页）

∵OA＝OF＝OC，

∴△AOF、△COF 是等边三角形，

∴AF＝AO＝OC＝FC，

∴四边形 AOCF 是菱形，

∴根据对称性可得 DF＝DO．

过点 D 作 DH⊥OC 于 H，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝ DC，

∴CD+OD＝DH+FD．

根据垂线段最短可得：

当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，

此时 FH＝OF•sin∠FOH＝

则 OF＝4，AB＝2OF＝8

OF＝6，

．

∴当 CD+OD 的最小值为 6 时，⊙O 的直径 AB 的长为 8

．

【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定

义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短

等知识，把 CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第（3）小题的关键．

5．如图，抛物线 y＝ x2+mx+n 与直线 y＝﹣ x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，

连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：

是

否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？

若存在，请求出所有符合条

件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

，

（2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） 连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE

以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒

当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？

第12页（共27页）

个单位的速度运动到 A 后停止，

【分析】（Ⅰ）只需把 A、C 两点的坐标代入 y＝ x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，

然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形 ABC 是

直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出 tan∠BAC 的值；

（Ⅱ）

（1）过点 P 作 PG⊥y 轴于 G，则∠PGA＝90°．设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y

轴右侧可得 x＞0，则 PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点 G 在点 A 的下方，①当

∠PAQ＝∠CAB 时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性

质可得 AG＝3PG＝3x．则有 P（x，3﹣3x），然后把 P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，

就可求出点 P 的坐标②当∠PAQ＝∠CBA 时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点 P 的坐

（

标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点P 的坐标； 2）过点 E 作 EN⊥y 轴于 N，如

图 3．易得 AE＝EN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作

点 D 关于 AC 的对称点 D′，连接 D′E，则有 D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠

DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可

得：

当 D′、E、N 三点共线时，DE+EN＝D′E+EN 最小．此时可证到四边形 OCD′N

是矩形，从而有 ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出点 D 的坐标，从而得到 OD、

ON、NE 的值，即可得到点 E 的坐标．

【解答】解：

（Ⅰ）把 A（0，3），C（3，0）代入 y＝x2+mx+n，得

，

解得：

．

∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣x+3

联立，

第13页（共27页）

解得：

或，

∴点 B 的坐标为（4，1）．

如图 1．

∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），

∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC 是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，

∴tan∠BAC＝

＝    ＝ ；

（Ⅱ）方法一：

（1）存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似．

过点 P 作 PG⊥y 轴于 G，则∠PGA＝90°．

设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x＞0，则 PG＝x．

∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，

∴∠APQ＝∠ACB＝90°．

若点 G 在点 A 的下方，

①如图 2①，当∠PAQ＝∠CAB 时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴＝＝．

∴AG＝3PG＝3x．

则 P（x，3﹣3x）．

把 P（x，3﹣3x）代入 y＝ x2﹣ x+3，得

x2﹣ x+3＝3﹣3x，

整理得：

x2+x＝0

解得：

x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．

②如图 2②，当∠PAQ＝∠CBA 时，则△PAQ∽△CBA．

第14页（共27页）

同理可得：

AG＝ PG＝ x，则 P（x，3﹣ x），

把 P（x，3﹣ x）代入 y＝ x2﹣ x+3，得

x2﹣ x+3＝3﹣ x，

整理得：

x2﹣x＝0

解得：

x1＝0（舍去），x2＝

，

∴P（，）；

若点 G 在点 A 的上方，

①当∠PAQ＝∠CAB 时，则△PAQ∽△CAB，

同理可得：

点 P 的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ＝∠CBA 时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：

点 P 的坐标为 P（，）．

综上所述：

满足条件的点 P 的坐标为（11，36）、（

，   ）、（  ，  ）；

方法二：

作△APQ 的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，

∴，

∵以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，

∴或，

设 P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），

①

，∴|

|＝ ，

∴2t1＝

，2t2＝

，

②

，∴|

|＝3

∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），

∴满足题意的点 P 的坐标为（11，36）、（

，   ）、（  ，  ）；

第15页（共27页）

（2）方法一：

过点 E 作 EN⊥y 轴于 N，如图 3．

在 

ANE 中，EN＝AE•sin45°＝

AE，即 AE＝

EN，

∴点 M 在整个运动中所用的时间为

+

＝DE+EN．

作点 D 关于 AC 的对称点 D′，连接 D′E，

则有 D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，

∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．

根据两点之间线段最短可得：

当 D′、E、N 三点共线时，DE+EN＝D′E+EN 最小．

此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，

∴四边形 OCD′N 是矩形，

∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．

对于 y＝ x2﹣ x+3，

当 y＝0 时，有 x2﹣ x+3＝0，

解得：

x1＝2，x2＝3．

∴D（2，0），OD＝2，

∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，

∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，

∴点 E 的坐标为（2，1）．

方法二：

作点 D 关于 AC 的对称点 D′，DD′交 AC 于点 M，显然 DE＝D′E，

作 D′N⊥y 轴，垂足为 N，交直线 AC 于点 E，如图 4，

在 

ANE 中，EN＝AE•sin45°＝AE，即 AE＝EN，

∴当 D′、E、N 三点共线时，DE+EN＝D′E+EN 最小，

∵A（0，3），C（3，0），

∴lAC：

y＝﹣x+3，

∴M（m，﹣m+3），D（2，0），

第16页（共27页）

∵DM⊥AC，∴KDM×KAC＝﹣1，

∴﹣1×，

∴m＝ ，∴M（ ， ），

∵M 为 DD′的中点，

∴D′（3，1），

∵EY＝D′Y＝1，

∴E（2，1）．

方法三：

如图，5，过 A 作射线 AF∥x 轴，过 D 作射线 DF∥y 轴，DF 与 AC 交于点 E．

∵A（0，3），C（3，0），

∴lAC：

y＝﹣x+3．

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠ACO＝45°，

∵AF∥OC，

∴∠FAE＝45°．

∴EF＝AE•sin45°＝．

∴当且仅当 AF⊥DF 时，DE+EF 取得最小值，点 M 在整个运动中用时最少为：

＝

＝DE+EF，

∵抛物线的解析式为 y＝ x2﹣x+3，且 C（3，0），

∴可求得 D 点坐标为（2，0）

则 E 点横坐标为 2，将 x＝2 代入 lAC：

y＝﹣x+3．，得 y＝1．

所以 E（2，1）．

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第