初中数学竞赛定理大全docx.docx

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初中数学竞赛定理大全docx

欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA

＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

海伦（Heron）公式：

塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC、CA、AB与点D、E、F，则（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）＝1；其逆亦真。

密格尔（Miquel）点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（Simson）线：

已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、

F为垂足，

则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：

把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较大的线段（AC）是原线段（AB）与较小线段（BC）的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（Pappus）定理：

已知点A、A、A在直线l

1

上，已知点B、B、B在直线l

2

上，

1

2

3

1

2

3

且A1B2与A2

B1交于点X，A1B3与A3

B1交于点Y，A2B3于A3B2

交于

点Z，则X、Y、Z三点共线。

笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，

BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、

Z三点共线；其逆亦真

摩莱（Morley）三角形：

在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD（任意四边形都可！

哇哈哈）

斯图尔特（Stewart）定理：

设P为△ABC边BC上一点，且BP：

PC＝n：

m，则

m·（AB2）＋n·（AC2）＝m·（BP2）＋n·（PC2）＋（m＋n）（AP2）

梅内劳斯定理：

在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点X、Y、Z，则（BX/XC）·（CY/YA）·（AZ/ZB）＝1

阿波罗尼斯（Apollonius）圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:

n，则点P的轨迹，是以定

比m:

n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。

布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其

延长线必平分对边。

广勾股定理：

在任一三角形中，

（1）角的平方，等于两之平方和，减去某和另一在

此上的影射乘的两倍．

（2）角的平方，等于两的平方和，加上某与另一在此延上的影射乘的两倍．

加法原理：

做一件事情，完成它有N法，在第一法中有M1种不同的方法，在第二法中有M2种不同的方法，⋯⋯，在第N法中有M（N）种不同的

方法，那么完成件事情共有M1+M2+⋯⋯+M（N）种不同的方法。

比如：

从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：

火k1

2：

机k2

3：

船k3，那么从北京-上海的方法N=k1+k2+k3

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步，

做第一步有m1种不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，⋯⋯，做第n步有m·n不同的方法.那么完成件事共有N=m1·m2·m3⋯mn种不同的方法.

正弦定理

在一个三角形中，各和它所角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接的直径）

这一定理对于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）

余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的夹角的余弦的两倍积，若三边为

平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们

a,b,c三角为A,B,C，则满足性质：

a2=b2+c2-2bc·CosA

b2=a2+c2-2ac·CosB

c2=a2+b2-2ab·CosC

CosC=（a2+b2-c2）/2ab

CosB=（a2+c2-b2）/2ac

CosA=（c^2+b^2-a^2）/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：

若A（x1,y1）,B（x2,y2），则AB（x2x1）2

（y2y1）2

2、平行线间距离：

若l1:

AxByC10,l2:

AxByC20

C1

C2

则：

d

B2

A2

注意点：

x，y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：

P（x,y）,

l:

Ax

By

C0

则P到l的距离为：

d

Ax

By

C

A2

B2

y

kx

b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

0

F（x,y）

消y：

ax2bxc0，务必注意0.

若l与曲线交于A（x1,y1）,B（x2,y2）

则：

AB

（1

k2）（x2x1）2

5、若A（

x1

y1

）,

（

x2

y2

），（

，

）。

P

在直线

AB

上，且

P

分有向线段

AB

所成

B

Px

y

的比为

，

x

x1

x2

x

x1

x2

1

2

则

，特别地：

=1时，P为AB中点且

y1

y2

y1

y2

y

y

1

2

变形后：

xx1或

y

y1

x2

x

y2

y

6、若直线l

的斜率为k

，直线l

的斜率为k，则l

到l

的角为

（0,）

1

1

2

2

1

2

适用范围：

k1，k2都存在且k1k2

－1

，

tan

k2

k1

1

k1k2

若l1与l2的夹角为

，则tan

k1

k2

，（0,

]

1

k1k2

2

注意：

（1）l

1

到l

2的角，指从l

1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围（0,）

l

1

到l

2的夹角：

指l

1

、l2相交所成的锐角或直角。

（2）l

1

l2时，夹角、到角=

。

2

（3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、

（1）倾斜角

，

（0,）；

（2）a,b夹角，

[0，]；

（3）直线l

与平面

的夹角

，

[0，]；

2

（4）l1与l2

的夹角为

，

[0，]，其中l1//l

2时夹角

=0；

2

（5）二面角,

（0,]；

（6）l1到l2的角，

（0，）

8、直线的倾斜角与斜率k的关系

a）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

b）若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。

9、直线l1与直线l2的的平行与垂直

（1）若l

1，l2

均存在斜率且不重合：

①l1//l

2k1=k2

②l1

l2

k1k2=－1

（2）若l1:

A1xB1yC1

0,

l2:

A2xB2yC20

若A、A、B、B都不为零

1

2

1

2

①l

1

//l

2

A1

B1

C1

；

A2

B2

C2

②l1

l2

A1A2+B1B2=0；

③l

1

与l

2相交

A1

B1

A2

B2

④l

1与l

2重合

A1

B1

C1；

A2

B2

C2

注意：

若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程

斜截式：

y=kx+b

注意点

应分①斜率不存在

②斜率存在

点斜式：

y

y

k（x

x）

（1）斜率不存在：

x

x

（2）斜率存在时为

yyk（x

x）

两点式：

y

y1

x

x1

y2

y1

x2

x1

截距式：

x

y

1

其中l交x轴于（a,0），交y

a

b

轴于（0,b）当直线l在坐标轴上，

截距相等时应分：

（1）截距=0

设y=kx

（2）截距=a

0

设

x

y

a

1

a

即x+y=a

一般式：

Ax

By

C0

（其中A、B不同时为零）

11、直线AxBy

C

0与圆（x

a）2

（yb）2

r2的位置关系有三种

Aa

Bb

C

0

若d

B2

，dr

相离

A2

d

r

相切

0

d

r

相交

0

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆

定义Ⅰ：

若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1PF22aF1F2（a为

常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：

若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0

标准方程：

x

2

y2

1（ab0）

a

2

b2

定义域：

{xaxa}值域：

{xbyb}

长轴长=2a，短轴长=2b

焦距：

2c

a2

准线方程：

x

c

焦半径：

PF1e（x

a2），PF2

e（a2

x），PF1

2aPF2，

c

c

acPF1ac等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。

）

注意：

（1）图中线段的几何特征：

A1F1

A2F2

a

c，A1F2

A2F1

a

c

B1F1

B1F2

B2F2

B2F1

a，A2B2

A1B2

a2

b2

等等。

顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与

a,b,c有关。

（2）PF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF1

、

．．．．

．．．．．．．

PF2

、

PF1

+

PF2

、

PF1?

PF2

2c，有关角F1PF2结合起来，建立

等关系

x

acos

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：

；

y

bsin

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴

上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：

Ⅰ若F，F是两定点，

PF1

PF2

2a

F1F2

（a为常数），

1

2

则动点P的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P到定点F与定直线l

的距离之比是常数e（e>1），

则动点P的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（

三）性质

方程：

x

2

y2

1

（a0,b

0）

y2

x2

1（a0,b0）

a

2

b2

a2

b2

定义域：

{xx

a或x

a}；

值域为R；

实轴长=2a，虚轴长=2b

焦距：

2c

准线方程：

x

a2

c

焦半径：

PF1

e（x

a2

），PF2e（a2

x），PF1

PF2

2a；

c

c

注意：

（1）图中线段的几何特征：

AF1

BF2

c

a，AF2

BF1

a

c

顶点到准线的距离：

a

a2或a

a2

；焦点到准线的距离：

c

c

c

a2

或c

a2

;两准线间的距离=2a2

c

c

c

（2）若双曲线方程为x2

y2

1

渐近线方程：

x2

y20

y

bx

a2

b2

a2

b2

a

若渐近线方程为y

bx

x

y

0

双曲线可设为

a

b

a

x2

y2

a2

b2

若双曲线与x2

y2

1有公共渐近线，可设为x2

y2

a2

b2

a2

b2

（

0，焦点在x轴上，

0，焦点在y轴上）

（3）特别地当a

b时

离心率e

2

两渐近线互相垂直，分别为

y=

x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2

y2

；

（4）注意

PF1F2中结合定义

PF1

PF2

2a与余弦定理

cos

F1PF2，

将有关线段

PF1

、

PF2

、

F1F2

和角结合起来。

二、抛物线

（一）定义：

到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。

（二）图形：

（三）性质：

方程：

y2

2px,（p

0）,p

焦参数；

焦点：

（p,0）

，通径AB

2p；

2

p

准线：

x

；

2

焦

半径

：

CF

x

p,过焦

点

弦

长

p

p

2

CD

x1

x2

x1

x2

p

2

2

注意：

（1）几何特征：

焦点到顶点的距离

=p；焦点到准线的距离=p；通

2

径长=

2p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线y2

2px上的动点可设为P（y2,y）或

2p

P

（2

pt

2,2

pt

）或

（x,y）其中y

2

2px

P