高二下学期期初数学试题.docx

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高二下学期期初数学试题

2019-2020年高二下学期期初数学试题

一、填空题

1．（3分）过平面α的一条平行线可作　一个　个平面与平面α垂直．

考点：

平面与平面之间的位置关系．

专题：

常规题型；规律型．

分析：

在已知直线上取一点作出平面的垂线，即可得到平面的垂面．

解答：

解：

因为直线与已知平面垂直，所以在一个已知直线上取一点作出平面的垂线，

因为两条相交直线只能确定一个平面，所以与已知平面垂直的平面有且只有一个．

故答案为：

一个．

点评：

本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直关系的应用，基本知识的考查．

2．（3分）已知样本数据x1，x2，…xn的方差为4，则数据2x1+3，2x2+3，…2xn+3的标准差是　4　．

考点：

极差、方差与标准差．

专题：

概率与统计．

分析：

首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，然后利用方差的公式计算得出答案，求出标准差即可．

解答：

解：

设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，

则其方差为[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=4，

则新数据的方差为：

[（2x1+3﹣2﹣3）2+（2x2+3﹣2﹣3）2+…+（2xn+3﹣2﹣3）2]

=4×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]

=16．

故数据2x1+3，2x2+3，…2xn+3的标准差是：

4．

故答案为：

4．

点评：

本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．

3．（3分）已知单位向量，的夹角为，那么||=　　．

考点：

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

专题：

计算题．

分析：

先将所求向量的模平方，转化为向量数量积运算，再利用已知两向量的模和夹角，利用数量积运算性质计算即可，最后别忘了开平方

解答：

解：

∵单位向量，的夹角为，

∴||2=﹣4+4

=1﹣4×1×1×cos+4

=1﹣2+4=3

∴||=

故答案为

点评：

本题主要考查了单位向量、向量夹角的概念，向量数量积运算及其性质的应用，求向量的模的一般方法

4．（3分）在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为　36π　．

考点：

球内接多面体；球的体积和表面积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．

解答：

解：

长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r==6，

所以这个球的表面积：

4πr2=36π．

故答案为：

36π

点评：

本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力．

5．（3分）（2011•广东模拟）已知函数f（x）=+（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，则正整数a的取值个数是　5　．

考点：

函数恒成立问题．

专题：

综合题．

分析：

对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可．

解答：

解：

∵a﹣x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]

对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可

∵f（x）=+≥0

∴[f（x）]2=a+2≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值

又x（a﹣x）≤[]2=，当x=a﹣x即x=时取等号

即[f（x）]2≤a+a=2a，f（x）≤，当x=时取最大值

∴（﹣1）＜1

∴＜=1+

∴a＜3+2

∵a∈N*，

∴a=1、2、3、4、5

∴正整数a的取值个数是5个．

故答案为：

5

点评：

本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于1．

6．（3分）一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为　5　．

考点：

频率分布表．

专题：

概率与统计．

分析：

由样本容量是20，某组的频率为0.25，由此直接计算能求出该组的频数．

解答：

解：

由题设知该组的频数：

20×0.25=5．

故答案为：

5．

点评：

本题考查频数的性质和应用，解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用．

7．（3分）已知实数x，y满足条件，z=x+yi（i为虚数单位），则|z﹣1+2i|的最小值是　　．

考点：

简单线性规划的应用；复数求模．

专题：

计算题；数形结合．

分析：

先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将|z﹣1+2i|的最小值转化成定点与区域中的点的距离的最小的问题求解即可．

解答：

解：

如图，作出对应的区域，由于z=x+yi（i为虚数单位），所以|z﹣1+2i|表示点（x，y）与

（1，﹣2）两点之间的距离，如图知点（x，y）是（1，﹣2）在直线y=﹣x上的垂足时，|z﹣1+2i|值最小为d==．

故答案为：

．

点评：

本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，一般是先作图，再由图作判断、考查数形结合思想，计算能力．

8．（3分）（xx•江苏）双曲线的两条渐近线方程为　　．

考点：

双曲线的简单性质．

专题：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．

解答：

解：

∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

点评：

本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想

9．（3分）已知点A（﹣2，﹣3）、B（3，2），若直线l：

y=kx+1与线段AB有公共点，则斜率k的取值范围是　　．

考点：

直线的一般式方程．

专题：

计算题．

分析：

意直线l：

y=kx+1过定点（0，1），作出图象，求出边界直线的斜率，且直线由m开始，逆时针旋转时斜率增大，进而可得要求的范围．

解答：

解：

由题意可得直线l：

y=kx+1过定点（0，1），如图

当直线介于m，n之间时，满足题意，

km==2，kn==，

且直线由m开始，逆时针旋转时斜率增大，

故斜率的取值范围为：

故答案为：

点评：

本题考查直线的斜率，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

10．（3分）如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：

用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为　300π　．

考点：

球的体积和表面积．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．

解答：

解：

连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，

∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，

∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，

∵PA、AD都是⊙O的切线，

∴∠OAP=∠PAD=60°，

在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=，

则OP=APtan60°=5cm，即⊙O的半径R为5cm．

则球的表面积S=4πR2=4π•（5）2=300π．

故答案为：

300π．

点评：

本题考查了球的体积和表面积，圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

11．（3分）若函数，则f（f（0））=　3π2﹣4　．

考点：

分段函数的解析式求法及其图象的作法．

专题：

计算题．

分析：

根据分段函数的解析式，把x=0代入求得f（0）的值，再把f（0）当成x继续代入f（x）的解析式，从而求解；

解答：

解：

∵函数，

∴f（0）=π，

∴f（f（0））=f（π）=3×π2﹣4=3π2﹣4，

故答案为3π2﹣4．

点评：

此题考查分段函数的解析式的性质，不同的定义域对应不同的函数解析式，是一道比较基础的题．

12．（3分）四个函数y=x﹣1，，y=x2，y=x3，y=lnx，中，在区间（0，+∞）上为减函数的是　y=x﹣1，．　．

考点：

函数单调性的判断与证明．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据幂函数、指数函数、对数函数的性质逐项判断即可找出符合条件的答案．

解答：

解：

对幂函数y=xa，当a＜0时在（0，+∞）上为减函数，a＞0时在（0，+∞）上为增函数

所以y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数，，y=x2，y=x3在（0，+∞）上为增函数；

对指数函数y=ax（a＞0，且a≠1），当a＞1时在R上为增函数，当0＜a＜1时在R上为减函数，

所以在（0，+∞）上为减函数，

对对数函数y=logax（a＞0，且a≠1），当a＞1时在（0，+∞）上为增函数，当0＜a＜1时在（0，+∞）上为减函数，

所以y=lnx（0，+∞）上为增函数，

故答案为：

y=x﹣1，．

点评：

本题考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性，属基础题．

13．（3分）函数y=2的单调递减区间是　（﹣∞，﹣2）　．

考点：

复合函数的单调性．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

先把函数y=分解为y=2t与t=x2+4x+1，因为y=2t单调递增，所以要求函数y=的单调递减区间只需求函数t=x2+4x+1的单调减区间即可．

解答：

解：

令t=x2+4x+1，则函数y=可看作由y=2t与t=x2+4x+1复合而成的．

由t=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，得函数t=x2+4x+1的单调减区间是（﹣∞，﹣2），

又y=2t单调递增，所以函数y=的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）．

故答案为：

（﹣∞，﹣2）．

点评：

本题考查指数函数的单调性、二次函数的单调性以及复合函数单调性的判定方法，该类问题一要考虑函数定义域，二要遵循“同增异减”的规律．

二、解答题

14．（10分）如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，

（1）求证：

BC⊥平面PAC

（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；

（3）是否存在点E，使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角，并说明理由．

考点：

直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．

专题：

证明题．

分析：

（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，而PA⊥BC，BC⊥AC，满足定理所需条件；

（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夹角的公式求出此角即可；

（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A﹣DE﹣P为直二面角时，PE⊥AE，利用垂直，向量的数量积为零建立等式关系，解之即可．

解答：

解：

（1）

⇒BC⊥平面PAC

（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：

P（0，0，1），B（0，1，0），C

∴

，

由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴，

故所求二面角的余弦值为

（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A﹣DE﹣P为直二面角时，PE⊥AE

∴，所以符合题意的E存在．

点评：

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．

15．（10分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．

（Ⅰ）设bn=．证明：

数列{bn}是等差数列；

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

考点：

数列的求和；等差关系的确定．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）由an+1=2an+2n构造可得即数列{bn}为等差数列

（2）由

（1）可求=n，从而可得an=n•2n﹣1利用错位相减求数列{an}的和

解答：

解：

由an+1=2an+2n．两边同除以2n得

∴，即bn+1﹣bn=1

∴{bn}以1为首项，1为公差的等差数列

（2）由

（1）得

∴an=n•2n﹣1

Sn=20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1

2Sn=21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n

∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n

=

∴Sn=（n﹣1）•2n+1

点评：

本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．

16．（10分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）

（1）求MN的长；

（2）a为何值时，MN的长最小；

（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．

专题：

计算题．

分析：

（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据即可求出MN的长；

（2）根据

（1）将MN关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值；

（3）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，结合图形可二面角与之互补．

解答：

解

（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．

∴MN=PQ

由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1

∴，

=

=

=

（2）由

（1）

=

=

=

所以，当时，

即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为

（3）取MN的中点G，连接AG、BG，

∵AM=AN，BM=BN，G为的中点

∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α

又，所以，由余弦定理有

故所求二面角为：

点评：

本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．

17．（10分）在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：

AP•AN+BP•BM=AB2．

考点：

与圆有关的比例线段．

专题：

证明题．

分析：

作PE⊥AB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论．

解答：

证明：

作PE⊥AB于E∵AB为直径，

∴∠ANB=∠AMB=90°

∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．

AE•AB=AP•AN

（1）

BE•AB=BP•BM

（2）

（1）+

（2）得AB（AE+BE）=AP•AN+BP•BM

即AP•AN+BP•BM=AB2

点评：

本题主要考查了与圆有关的比例线段，特别是证明四点共圆的方法，属于基础题．

18．（10分）化简或求值：

（1）

；

（2）

．

考点：

有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质．

专题：

计算题．

分析：

（1）由第一项得到a的取值范围，然后根据开方与乘方的互逆性得到值即可；

（2）根据对数的运算性质化简可得值．

解答：

解：

（1）由题知a﹣1＞0即a＞1，所以

=a﹣1+|1﹣a|+1﹣a=a﹣1；

（2）

=lg（5×102）+lg8﹣lg5﹣lg+50[lg（2×5）]2=lg5+2+lg8﹣lg5﹣lg8+50

=52．

点评：

此题为基础题，要求学生灵活运用有理数指数幂的运算性质及对数的运算性质．做第一问时注意a的取值范围．

19．（11分）大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？

（假设相邻两层楼梯长都一样）

考点：

函数最值的应用．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：

S=S（k）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k﹣1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n﹣k）]，分类讨论，即可得到结论．

解答：

解：

设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：

S=S（k）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k﹣1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n﹣k）]

=a[k2﹣（n+1）k+（n2+n）]

目标函数S（k）为k的二次函数，且a＞0，

故当n为奇数时，取k=，S最小；当n为偶数时，取k=或，S最小．

点评：

本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确建模是关键．