初中数学竞赛定理大全.docx
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初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线：
同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角
形的欧拉线;
且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：
任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；
其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点:
已知P为锐角△ABC内一点，当/APB=ZBPC=ZCPA=120°时,
PA+PB+PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
EE=3.45厘米
CE=33塵米片丘=306曇半
EP=4.93
CP=3.
AP-2.33屋亲
海伦（Heron）公式：
海伦（Hf/w?
）公式第
1
泌ABC中f边BQ.CA.的长分别为瓠b.s若p=-（a-l-b+c）,
则AAEG的面积S=./p（p-a）（p~b）（p~c）
£0=6.g屋米
7CA=&QO瘗厳
—（AB+BC^CA）=73層米
p=7.54^
^（p-ABHp-BC）（p-CA）=
塞瓦（Cevs）定理：
在厶ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别
交边BCCAAB与点D、E、F,则（BD/DC）-（CE/EA）・（AF/FB）=1;其逆亦真
密格尔（Miquel）点：
若AE、AF、EDFB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,构成四个三角形，它们是△ABF、△AED△BCE△DCF,
葛尔刚（Gergonne）点:
△ABC的内切圆分别切边AB、BCCA于点D、E、F,则AE、BFCD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：
已知PABC外接圆周上任意一点，PD丄BC,PELACP吐AB,D、
E、F为垂足,
则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线
P（托动）
黄金分割:
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较大的线段（AC是原线段（AB）与较小线段（BC）的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
AC2=14.0厚采
CB-AB=140厘采
C
*■
A
•«
8
帕普斯（Pappus）定理：
已知点Al、A2、A3在直线11上，已知点Bl、B2、B3在直线12上，
且AiB2与A2Bi交于点X，A1B3与A3Bi交于点Y,AB3于A
B2交于
点乙则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（DesargueS）定理:
已知在△ABC与厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC三线相交于点O,
BC与BC、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、
摩莱（Morley）三角形：
在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BCCA、AB相邻的每两
线相交于点D、E、F,则厶DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。
DE=1.24厘来
EF=匸24厘米
FD=X24厘米
B（托动）
帕斯卡（Paskal）定理：
已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BCEF
延长线交于点H,边CDFA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。
托勒密（Ptolemy）定理：
在圆内接四边形中，AB-CD+AD•BC=AC-BD
（任意四边形都可！
哇哈哈）
斯图尔特（Stewart）定理:
设P为厶ABC边BC上一点，且BP:
PC=n:
m,则
m•（AB2）+n•（AC2）=m•（BP2）+n•（PC2）+（m+n）（AP2）
梅内劳斯定理：
在厶ABC中，若在BCCA、AB或其延长线上被同一条直线
截于点X、丫、乙则（BX/XC）・（CY/YA〉（AZ/ZB厂1
阿波罗尼斯（Apollonius）圆
一动点p与两定点ab的距离之比等于定比m：
n，则点p的轨迹，是以定比m：
n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波
布拉美古塔（Brahmagupta）疋理：
在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD，自对角线的交点p向一边作垂线,
其延长线必平分对边。
广勾股定理:
在任一三角形中，
（1）锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍.
（2）钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍.
加法原理：
做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在
第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M（N）种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2……+M（N）种不同的方法。
比如说：
从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，
1:
火车ki
2：
飞机k2
3：
轮船ks，那么从北京-上海的方法n=ki+k2+ks
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，
做第一步有mi种不同的方法，
做第二步有m2不同的方法，，做第n步有m・n不同的方法.那么完成这件事共有N=mjm2-m3…mn种不同的方法.
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形
外接圆的直径）
这一定理对于任意三角形ABC都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）
余弦定理：
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们
夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质：
a2=b2+c2-2bc•CosA
b2=a2+c2-2ac•CosB
c2=a2+b2-2ab•CosC
CosC=（a2+b2-c2）/2ab
CosB=（a2+c2-b2）/2ac
CosA=（cA2+bA2-aA2）/2bc
解析几何中的基本公式
1、两点间距离：
若A（Xi,ydB（X2,y2），则ABxj2（y?
yj2
2、平行线间距离：
若丨…AxByC,0,l2:
AxByC20
AB
注意点：
x，y对应项系数应相等。
3、点到直线的距离：
P（x,y）,l:
AxByC0
消y:
ax2bxc0，务必注意0.
若I与曲线交于A（x1,y1）,B（x2,y2）
则：
ABJ（1k2）%Xi）2
5、若人⑶凡“区小），P（x，y）。
P在直线AB上，且P分有向线段AB所成
的比为，
k2k1
yyi
y2y
6若直线li的斜率为ki，直线l2的斜率为k2,则li到l2的角为，（0,）
注意：
（1）li到l2的角，指从li按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围（0,）li到l2的夹角：
指li、l2相交所成的锐角或直角。
（2）lil2时，夹角、到角=一。
2
（3）当li与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、
（1）倾斜角，（0,）;
（2）a,b夹角,[0,]；
（3）
[0,]；
2
[0,—]，其中11//I2时夹角=0；
2
直线I与平面的夹角
（4）li与12的夹角为,
（5）二面角,（0,];
（6）li到I2的角，（0,
8、直线的倾斜角与斜率k的关系
a）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
b）若直线存在斜率k,而倾斜角为，则k=tan
9、直线li与直线I2的的平行与垂直
（1）若li,I2均存在斜率且不重合：
①li//l2ki=k2
②liI2kik2=—1
（2）若li:
AixBiyCi0,l2:
A2xB2yC20
若Ai、A2、Bi、B2都不为零
①
II//I2Ai
Bi
Ci・
A2
B2
C2
②
liI2AiAz+BiB2=0;
③
li与l2相交
al
Bi
A2
B2
④
li与l2重合
Ai
Bi
Ci；
A2
B2
C2
注意：
若A或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况
I0、
直线方程的五种形式
名称
方程
、、亠1注意点
斜截式:
y=kx+b
应分①斜率不存在
点斜式:
yyk（xx）
②斜率存在
（I）斜率不存在：
xx
（2）斜率存在时为
yy
k（xx）
两点式:
yyixXi
y2yiX2Xi
截距式:
x2iab
其中l交x轴于（a,0），交y
轴于（0,b）当直线l在坐标轴上，
截距相等时应分：
（I）截距=0设y=kx
2）截距=a0设
1yi
aa
即x+y=a
般式:
AxByC0
（其中A、B不同时为零）
『的位置关系有三种
22
II、直线AxByC0与圆（xa）（yb）
卄|AaBbCl
若d，dr
相离
0
JA2B2
d
r相切
0
d
r相交
0
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义I：
若Fi,F2是两定点，P为动点，且\PFi[PF?
2aF1F2（a为
常数）贝UP点的轨迹是椭圆。
定义U:
若Fi为定点，I为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线I的距离之比为常数e（Ovevi）,则P点的轨迹是椭圆。
长轴长=2a，短轴
长=2b
焦距：
2c
PFi2aIPF』，
ac|PF」ac等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定
义。
）
注意：
（i）图中线段的几何特征:
AHAF』ac，IAF2
A2Fi
BiFi|BiFjIB2F2归2斤a，A2B2AB』Ja2b2等等。
顶
点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。
y
0
B
定义域：
{xxa或xa};值域为R;
三）性质
焦半径：
PF,
e（x—），c7
PF2
PF,
PF2
2a；
注意：
（1）图中线段的几何特征:
AF,
a,AF2
BF,
顶点到准线的距离：
;焦点到准线的距离：
2a2
c
2
—；两准线间的距离
c
2
若双曲线方程为笃
a
2
y_
b2
渐近线方程:
2x
~2
a
b
y-x
a
双曲线可设为
若渐近线方程为y
2x~~2a
2yb2
2
若双曲线与—2
a
2
与1有公共渐近线，
b2
（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）
可设为
2x
~2a
2yb2
（3）
特别地当ab时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为
y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2y2；
将有关线段|PF」、PF2、IF1F2和角结合起来。
、抛物线
（一）定义：
到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：
至U定点F的距离与到定直线I的距离之比是常数e（e=1）
（二）图形：
焦点：
（?
0）,通径AB2p;
准线：
xp；
2，
焦半径：
|CFxp,过焦点弦长
CDx-|—x2—x1x2p
22
径长=2p
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
2
（2）抛物线y22px上的动点可设为PC,y）或
2p
P（2pt2,2pt）或P（x,y）其中y22px站亠
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