矩阵函数性质及其在微分方程组中应用.docx
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矩阵函数性质及其在微分方程组中应用
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§7矩阵函数地性质及其在微分方程组中地应用
1.矩阵函数地性质：
设A.BCn
n
1．deAt
AeAt
eAtA
dt
proof:
由eAt
1
Atm
1
tmAm
m
0m!
m!
对任何t收敛.因而可以逐项求导.
deAt
1
tm1Am
A
1
Atm1
A
1
Atk
AeAt
dt
m0m1!
m1m1!
k!
1
tm1Am1A
1
Atm1
AeAtA
m0m1!
m1
m
1!
可见，A与eAt使可以交换地，由此可得到如下
n个性质
2．设AB
BA，则
①．eAtB
BeAt
②．eAeB
eBeA
eAB
cosA
B
cosAcosB
sinAsinB
AB
cos2A
cos2A
sin2A
③．
B
sinAcosB
cosAsinB
sin2A
2sinAcosA
sinA
proof：
①，由AB
BA
AmB
BAm
而eAtB
1AmtmB
1tmAmB
m0m!
m
0m!
1
tmBAm
B
1
At
m
m0m!
m
0m!
BeAt
②令C（t）
eA
B
eAteBt
由于dCt
0
C（t）为常数矩阵
dt
因而C（t）
C
（1）
C（0）e0
e0
e0
E
当t1时，eA
B
eAeB
E
.
（@）
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特别地BA有e0eAeAE
有eA1eA
同理有eB
1
B
e
代入（@）式
因而有eAB
eAeB
3.利用绝对收敛级数地性质，可得
①eiAcosAisinA
cosA1eiAeiAsinA1eiAeiA
22i
②cosAcosAsinAsinA
4.sin2Acos2AE
sinA2EsinAcosA2EcosA
eAi2EeA
二.矩阵函数再微分方程组中地应用—常用于线性监测系统中
1.一阶线性常导数其次方程组地通解
dZ
AZ其中ACnn
X
x1,x2,,xn
T
dt
则有Xt
eAt
K
其中K
k1,k2,,kn
T
dx1
x1
x2
dt
eg1解方程：
dx2
4x1
3x2
dt
dx3
x1
2x3
dt
dX
1
1
0
解：
原方程变为矩阵形式
AXA
4
3
T
dt
0Xx1,x2,x3
1
0
2
2
0
0
由EA
212得A
J011
0
0
1
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e2t
0
0
e2t
0
0
k1
eAt
P0
et
etP1
X（t）P0
et
et
P1k2
0
0
et
0
0
et
k3
2.一阶线性常导数微分方程地定解问题：
Th1:
一阶线性常数微分方程组地定解问题：
dZ
AZ
dt
Z0
x1（0）,x2（0）,,xn（0）T
有唯一解XeAt
X（0）
proof:
实际上，由dz
AZ地通解为Z（t）
eAt
K
dt
将初值X（0）代入，得k
X（0）
X
eAtZ（0）
dZ
AZ
由Th1可地定解问题
dt
T
X（t0）
x1（t0）,x2（t0）,
xn（t0）
地唯一解为X（T）
e
Att0
X
t0
dx
Ax
1
2
eg2求定解问题：
dt
A
地解
2
1
x0
0,1T
解：
由E
A
0得x1,2
3i
1,1
3i
T
1,1
3i
对应地特征向量记为：
2
2
1
1
则，于是矩阵：
P
1
3i
1
3i
2
2
eAt
P
e3it
0
3it
P1
0
e
0
2
sin
3t
X（t）
e
At
3
1
1
cos
3t
sin
3t
3
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3.一阶常导数齐次方程组地定解问题：
dx
AxFt其中Ft
T
dt
F1t,F2t,,Fnt
xtt0
xt0
dx
Ax
Ft
dt
两边同乘以eAt得：
deAtx
eAtFt
dt
从t0到t上积分得：
eAtx（t）
eAt0xt0
t
AEFd
e
t0
x（t）eAtt0xt0
t
eAt
Fd
t0
eg3.求：
非齐次微分方程组地解：
dx
AX
Ft
其中A
3
5
Ft
et
dt
T
5
3
0
x（0）
0,1
解：
由E
A
0
1,2
3
5i
对应特征向量为：
1
i
i
1
得可逆矩阵P
1
i
P
11
1
i
i
1
2
i
1
At
e35i
0
1
cos5t
sin5t
3t
e
P
0
e35i
P
sin5t
cos5t
e
x（t）
e
At
0
tAt
e
d
1
e
0
0
e3tsin5t
e3t
t
cos5t
0
cos5tcos5t
sin5tsin5t
e4td
sin5tcos5t
cos5tsin5t
注：
关于线性系统地能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习.
第三部分矩阵特征值地估计
§1.特征值界地估计
引理1.n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵地对角线
元素是A地特征值.即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使UTAUTb5E2RGbCAP
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引理2.设A
Cnn，则tr（AAH）
n
n
2
2
（aij
）nn
i1
j1
aij
AF
Proof:
设B
AAH
（bij）nn则
n
n
2
b11
a1ja1ja11a11
a12a12a1na1n
a1j
j
1
j
1
n
n
2
b22
a2ja2j
a2j
j
1
j1
n
n
2
bii
aijaij
aij
j1
j
1
n
n
n
2
tr（AAH）tr（B）
bii
aij
i1
i1j
1
引理3.A为正规矩阵
A酉相似于对角矩阵.
（注：
正规矩阵：
A
AH
AHA）即存在酉矩阵U使
UHAU
diag（1,2,
n）
Th1.设A为n阶矩阵，1,2,
n为其特征值，则：
n
n
n
2
2
2
i
i1
j1
aij
AF
A为正规矩阵，等号成立.
i1
Proof:
由引理1.存在酉阵U，使UHAU
T（三角阵）——①
对①两边取共轭转置：
H
H
H
H
H
T
U
AU
）
U
AU——②
（
①②（UHAU）（UHAHU）TTH
UHAAHU
TTH（为酉阵）
tr（UHAAHU）
tr（AAH）
tr（T
TH）
nn
2
nn
2
n
2
n
2
tij
tii
即
aij
i
i1j1
i1j1
i1
i1
设ACnn令B
A
AH
C
AAH
，
2
2
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则A=B+C：
其中B为Hermit阵（即BBH）实
C为反Hermit阵（即C
CH）虚
注：
引入B,C地目地是为了研究A地特征值地实部和虚部地估计.
Th2.设A,B,C如上所设，
i为A地特征值，则有：
①in
maxaij
1i,jn
②Re（i）
nmaxbij
1i,jn
③Im（i）
nmaxcij
1i,jn
Proof:
由UHAUT,UHAHUT*
UHBUU
UHCUU
H
H
A
AHU
T
TH
2
2
A
AH
U
T
TH
2
2
n
n
2
n
tii
tii
2
nn
n
2
Re（
i）
2
ii
2
n2
bij
maxbij
i1
i1
2
i1
2
i1j1
i1
i,j
Re（
i）
2
n2
maxbij
2
Re（
i）
nmaxbij
同理可证：
其它两个
注：
该定理对
A特征值进行了界地估计，以及特征值地实部和虚部都有了界地估计，下面
给出对A特征值虚部估计更精确地一个定理
.p1EanqFDPw
Th3.设A
Rnn，则Im（i）
n（n1）k
2
其中k
maxcij
，cij为上述C地第i行第j列元素
Proof:
1
0.2
1
eg1.设A
1
0.8
0.7
0.7
0.6
0.5
1（AAH）
1
0.6
0.15
则B
0.6
0.8
0.65
2
0.15
0.65
0.5
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1（A
0
0.4
0.85
C
AH）
0.4
0
0.05
2
0.85
0.05
0
i
3
maxaij
3Re（
i）3
maxbij
3
Im（
i）
3
maxcij
3
0.85
2.55
由Th3.Im（
i）
3
2maxcij
3
0.85
2.55
2
易见，Th3.比Th2.中③要精确.
据上述定理可得如下推论：
推论1：
实对称矩阵地特征值令为实数.
推论2：
Hermit矩阵地特征值令为实数.
推论3：
反Hermit矩阵地特征值令为虚数或零.
Proof1:
A为实对称，则AH
AT
A，则C
A
AH
0即cij0
2
由Th2Im（i）nmaxcij
0即Im（
i）
0
i为实数
Proof2:
A为H—阵，则AH
A，则C
AAH
0，即cij
0
2
i为实数
Proof3:
A为反H—阵，则AH
A，设
i
为特征值，B
A
AH
0
bij
0
2
由Th2.
Re（
i）n
maxbij
0Re（
i）
0
即i为纯虚数或零.
Th4.幂等阵（A2
A）地特征值为0或1
Proof:
设
为A
地特征值，Z为A地对应于
地特征向量.
即AZ
Z
A2Z
AZ
2Z
Z
2Z
（1）Z
0
0
或1.
Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B地特征值非负），则i
i
（i
1,2,,n）
其中i,
i分别为A+B和A地特征值，且
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12n12n
即A+B与A地特征值按递减顺序排列.
§2.圆盘定理及其推广
上节我们对矩阵地特征值作了大致地估计，本节所有讲地圆盘定理是对矩阵地特征值在
复平面上地具体位置作了更精确地估计.DXDiTa9E3d
Th1.圆盘定理：
设A
Cnn，则A地特征值
S1
S2
Sn（即
都在复平面上地
n个圆盘内）
其中Si
{zz
aii
Ri}i
1,2,
n（称为盖尔圆盘）
n
n
Ri
aij
aii
aij
j1
j
1
j
i
Proof:
设
为A地特征值，X为特征向量，X
（x,x
x
）T
1
2
n
则AX
X，取xi
maxxj
0
1
j
n
n
n
AXX
aijxj
xi
（
aii）xi
aijxj
j1
j
1
j
i
n
n
n
（
aii）xi
aijxj
aij
xj
aij
xi
j
1
j
1
j
1
j
i
j
i
j
i
n
（
aii）
aij
Ri
j
1
j
i
Si
即
S1
S2
Sn
说明：
①圆盘
zaii
Ri
；称为Gerschgorin
圆盘，简称盖尔圆盘.
②对A地任一特征值，总
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