数学新课标人教A版11 算法与程序框图 教案.docx
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数学新课标人教A版11算法与程序框图教案
数学新课标人教A版必修3：
1．1算法与程序框图（教案）
第一章算法初步
一、课标要求：
1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：
顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。
2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构：
顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题
1）从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。
2）变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。
3）不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。
4）本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排：
1.1算法与程序框图（约2课时）
1.2基本算法语句（约3课时）
1.3算法案例（约5课时）
复习与小结（约2课时）
四、评价建议
1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。
算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法
1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：
通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：
算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：
把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：
1、写出的算法，必须能解决一类问题（如：
判断一个整数n（n1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；......），并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：
让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行"倒一杯水""替我理发"等则是做不到的。
教学用具：
电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
①、创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
因此，算法其实是重要的数学对象。
②、探索研究
算法（algorithm）一词源于算术（algorism），即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
③、例题分析：
例1任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数1做出判定。
算法分析：
根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：
判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n2，则执行第二步。
第二步：
依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2用二分法设计一个求议程x2-2=0的近似根的算法。
算法分析：
回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：
令f（x）=x2-2。
因为f
（1）0，f
（2）0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：
令m=（x1+x2）/2，判断f（m）是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f（x1）·f（m）大于0还是小于0。
第三步：
若f（x1）·f（m）0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：
判断|x1-x2|0.005是否成立？
若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：
算法具有以下特性：
（1）有穷性；
（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；（5）普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3写出解二元一次方程组的算法
2x+y=1②
解：
第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：
对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：
本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组的解的算法：
第一步：
②×A1-①×A2，得（A1B2-A2B1）y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：
解③，得；
第三步：
将代入①，得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：
取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：
计算与
第三步：
输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：
算法如下。
S1先假定序列中的第一个整数为"最大值"。
S2将序列中的下一个整数值与"最大值"比较，如果它大于此"最大值"，这时你就假定"最大值"是这个整数。
S3如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的"最大值"就是这个序列中的最大值。
学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1max=a
S2如果bmax,则max=b.
S3如果Cmax,则max=c.
S4max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：
可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+...+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：
算法1：
S1：
计算1+2得到3；
S2：
将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：
将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：
将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：
将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：
取n=6；
S2：
计算；
S3：
输出运算结果。
算法3：
S1：
将原式变形为（1+6）+（2+5）+（3+4）=3×7；
S2：
计算3×7；
S3：
输出运算结果。
小结：
算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+...+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：
用P表示被乘数，i表示乘数。
S1使P=1。
S2使i=3S3使P=P×i
S4使i=i+2
S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。
因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。
在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:
00从家出发到公共汽车站
（2）1:
10上公共汽车
（3）1:
40到达体育馆
（4）1:
45做准备活动。
（5）2:
00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S11:
00从家出发到公共汽车站
S21:
10上公共汽车
S31:
40到达体育馆
S41:
45做准备活动
S52:
00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：
算法如下
S1计算△=b2-4ac
S2如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：
算法如下：
S1使i=1
S2i被3除，得余数r
S3如果r=0，则打印i，否则不打印
S4使i=i+1
S5若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、作业：
1、写出解不等式x2-2x-30的一个算法。
解：
第一步：
x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
第二步：
由x2-2x-30可知不等式的解集为{x|-1x3}。
评注：
该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a0）如下：
第一步：
计算△=；
第二步：
若△0，示出方程两根（设x1x2），则不等式解集为{x|xx1或xx2}；
第三步：
若△=0，则不等式解集为{x|x∈R且x}；
第四步：
若△0，则不等式的解集为R。
2、求过P（a1,b1）、Q（a2,b2）两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：
取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；
第二步：
若x1=x2；
第三步：
输出斜率不存在；
第四步：
若x1≠x2；
第五步：
计算；
第六步：
输出结果。
3、写出求过两点M（-2,-1）、N（2,3）的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：
算法：
第一步：
取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：
计算；
第三步：
在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点（0,m）；
第四步：
在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点（n,0）；
第五步：
计算S=；
第六步：
输出运算结果
1．1．2程序框图（第二、三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：
掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：
通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：
重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。
有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。
例如"起止框"只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。
另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具：
电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图：
起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框：
表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。
图1-1中有三个输入、输出框。
第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框：
它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。
图1-1中出现了两个处理框。
第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=（b1a22-b2a12）/D,x2=（b2a11-b1a21）/D的值。
（4）判断框：
判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成"是"与"否"（也可用"Y"与"N"）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有"是"的分支处理数据；若D≠0，则由标有"否"的分支处理数据。
例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
开始
输入x
是x≥0？
否
打印x-打印x
结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是"x≥0"，若符合这个条件，则按照"是"分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照"否"分支继续往下执行，这样的话，打印出的结果总是x的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类，一类判断框"是"与"否"两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：
已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：
程序框如下图所示：
开始
输入4，24和2分别是x和y的值
w=3×4+4×2
输出w
结束
小结：
此图的输入框旁边加了一个注释框，它的作用是对框中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。
基础知识应用题
1）顺序结构：
顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2：
已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：
这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：
2）条件结构：
一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。
因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。
它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：
任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。
算法分析：
判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
程序框图：
a+bc,a+cb,b+ca是否
否同时成立？
是
3）循环结构：
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5
（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
AA
P1？
P2？
不成立
不成立
成立
bb
当型循环结构直到型循环结构
（1）
（2）
例4：
设计一个计算1+2+...+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：
只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100。
程序框图：
i≤100？
否是
3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。
其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价：
1）设x为为一个正整数，规定如下运算：
若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序框图。
2）画出求21+22+23+...2100的值的程序框图。
5、评价标准：
1．解：
算法如下。
S1输入x
S2若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x
S3算法结束。
程序框图如下图：
i≤30?
是否2、解：
序框图如下图:
i≥100?
否是6、作业：
课本P11习题1.1A组2、3
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