特殊平行四边形证明题.docx

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特殊平行四边形证明题

基础篇

特殊平行四边形之证明题

题型一：

菱形的证明

1、如图，在三角形ABC中，AB>AC,D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A•若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是（）

a.DE是厶ABC的中位线b.AA是BC边上的中线

C.AA是BC边上的高d.AA是厶ABC的角平分线

2•已知：

如图，在YABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得厶GFC•

（1）求证：

BEDG；

（2）若B60°当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？

证明你的结论.

3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处,折痕为EF.

（1）求证：

△ABE^^AD'F;

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论.

4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE//AB交MN于E,连结AE、

CD.

（1）求证：

AD=CE

（2）填空：

四边形ADCE的形状是

5如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E,连结BECE

（1）求证：

△ABE^Aace

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？

并说明理由

6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△ACD.

（1）证明△AADCCB；

（2）

若ACB30°，试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD是菱形，并请说明理由.

7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，AB5,AC交

BC的延长线于点E.

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q.求证：

（1）求厶BDE的周长；AC

第B19

8.如图，在△ABC中，/A、/B的平分线交于点D，DE//AC交BC于点E，DF//BC交AC于点F.

（1）点D是厶ABC的心;

（2）求证：

四边形DECF为菱形.

9、如图，已知:

在四边形ABFC中，ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E且CF=AE

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形；

⑵当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？

请回答并证明你的结论.

（特别提醒：

表示角最好用数字）

10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F.

（1）求证：

△BOE=△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A,E，C，F为顶点的四边形是菱形？

证明你的结论.

型二：

正方形的证明题1、四边形ABCDDEFG都是正方形，连接AECG

（1）求证：

AE=CG;

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想

（2）

2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）•试问线段HG与线段HB相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

4、如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形连接BG、DE.

（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？

若存在，请指岀，并说岀旋转过程；若不存在,

请说明理由.

5•如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E,BF丄AG于点F.

（1）求证：

DE-BF=EF.

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变•请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的

数量关系（不需要证明）

图②

7、已知：

如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F.

（1）求证：

△BCG^ADCE;

（2）将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE，，判断四边形E'BGD是什么特殊四边形？

并说明理由.

9.如图：

已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE丄AB,DF丄AC，垂足分别为E，F.

（1）求证：

△BED=△CFD；

（2）若A90，求证：

四边形DFAE是正方形.

题型五：

矩形的证明题

1.如图，在厶ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD,连结BF。

（1）求证：

BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，AF//DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.

（1）AD与BC有何等量关系？

请说明理由；

（2）当ABDC时，求证：

YABCD是矩形.

3.如图，四边形ABCD是矩形，△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.

求证：

（1）ZPBA=/PCQ=30°

（2）PA=PQ.

4.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是/BAC和/BAC和外角的平分线，BE丄AE.

（1）求证：

DA丄AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？

并证明你的结论.

5、如图，在△ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN//BC,设MN交/BCA的角平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：

EO=FO；

（2）当点0运动到何处时，四边形AECF1矩形？

并证明你的结论.

6、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AFDC,连接CF.

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）如果ABAC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

题型六：

综合证明题

2.如图所示，在Rt△ABC中，/ABC90.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60得到△DEC,点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180得到△ABF.连接AD.

（1）求证：

四边形AFCD是菱形；

（2）连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问：

四边形ABCG是什么特殊平行四边形？

为什么？

3•如图，△ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN//BC,设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.

（1）探究：

线段0E与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点0运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

5、如图15，平行四边形ABCD中，ABAC,AB1,BC.5•对角线AC,BD相交

于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F•

（1）证明：

当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

提高篇

选讲四边形证明经典题

1•在口ABCD中，AC、BD交于点0,过点O作直线EFGH，分别交平行四边形的四条

E、GF、H四点，连结EG、GFFH、HE.

如图①，

如图②，

如图③，

如图④，

边于

（1）

（2）

（3）

（4）

试判断四边形EGFH的形状，并说明理由;当EF丄GH时，四边形在

（2）的条件下，若在（3）的条件下，若

EGFH的形状是;

AC=BD,四边形EGFH的形状是AC丄BD,

试判断四边形EGFH的形状，并说明理由

（第1题图）

2.已知：

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.

（1）求证:

BE=DF;

（2）连接AC交EF于点O,延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？

并证明你的结论.

3•如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点

B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE,交BD于F.

（1）求证：

BFFD；

（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG-DA，并说明理

由.

（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由.

⑵当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？

并加以证明.

⑶若⑵中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.

（第25題圏｝

5•如图所示,

在厶ABC中，分别以AB、AC、BC为边在

BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE、

等边△BCF.

⑴求证：

四边形DAEF是平行四边形;

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

1当△ABC满足时，四边形DAEF是矩形；

2当△ABC满足时，四边形DAEF是菱形；

3当△ABC满足时以D、A、E、F为顶点的四边形不存

在.

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（第29题图）

6•如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点，过A作AG丄EB于G,AG交BD于点F,贝UOE=OF,对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG丄EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？

如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

问题一图1

7、在四边形

ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,

且AE=匹=GC

BEBFDG

AH,

（k>0）,阅读下列材料，然后回答下面的问题:

AE_AHFC_GC

BE—HD,BF—DG

①连结AC,则EF与GH是否一定平行，答：

四边形EFGH是平行四边形;

AC和

如上图,

连结BD

•••EH//

BD,FG/BD

2当k值为时,

3在②的情形下，对角线

4在②的情形下，对角线

BD只需满足

条件时,

EFGH为矩形;

EFGH为菱形;

第2题图

ABCD的边AB、BC上的点，且EF/AC,在DA的延长线上取

8•如图，E、F分别是正方形

一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。

求证：

AH=AD。

9、如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD，对角线AC、

S、

P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

（1）求证：

△PQS是等边三角形；

（2）若AB=8,CD=6，求Spqs的值。

（3）右Spqs:

Saod=4:

5，求CD:

AB的值。

第4题图

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑

行，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。

探究：

设A、P两点间的距离为X。

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？

试证明你观察得到的结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与X之间的函数关系式,并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出

x值；如果不可能，请说明

所有能使厶PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

11、如图，四边形ABCD为正方形,求证：

CE=CF.

DE//AC,AE=AC,

AE与CD相交于F.

12、如图，四边形ABCD为正方形，DE//AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证：

AE=AF.

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