等比数列例题解析.docx
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等比数列例题解析
等比数列·例题解析
【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.
[]
A.是等比数列
B.当p≠0时是等比数列
C.当p≠0,p≠1时是等比数列
D.不是等比数列
分析由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p,并且当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1
但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D.
说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*),还要注
【例2】已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.
解∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比数列,公比q
∴2=1·q2n+1
x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
式;
(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
∴a4=2
【例4】已知a>0,b>0且a≠b,在a,b之间插入n个正数x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比数列,求
证明设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1
【例5】设a、b、c、d成等比数列,求证:
(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.
证法一∵a、b、c、d成等比数列
∴b2=ac,c2=bd,ad=bc
∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2
=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)
=a2-2ad+d2
=(a-d)2=右边
证毕.
证法二∵a、b、c、d成等比数列,设其公比为q,则:
b=aq,c=aq2,d=aq3
∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2
=a2-2a2q3+a2q6
=(a-aq3)2
=(a-d)2=右边
证毕.
说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性.
【例6】求数列的通项公式:
(1){an}中,a1=2,an+1=3an+2
(2){an}中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
思路:
转化为等比数列.
∴{an+1}是等比数列
∴an+1=3·3n-1∴an=3n-1
∴{an+1-an}是等比数列,即
an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a2-a1=3,a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,…,an-an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到
说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.
(1)中发现{an+1}是等比数列,
(2)中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.
证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数
∴上述方程的判别式Δ≥0,即
又∵a1、a2、a3为实数
因而a1、a2、a3成等比数列
∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比.
【例8】若a、b、c成等差数列,且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列,求b的值.
解设a、b、c分别为b-d、b、b+d,由已知b-d+1、b、b+d与b-d、b、b+d+2都成等比数列,有
整理,得
∴b+d=2b-2d即b=3d
代入①,得
9d2=(3d-d+1)(3d+d)
9d2=(2d+1)·4d
解之,得d=4或d=0(舍)
∴b=12
【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10:
(1)求a1与d的值;
(2)b16是不是{an}中的项?
思路:
运用通项公式列方程
(2)∵b16=b1·d15=-32b1
∴b16=-32b1=-32a1,如果b16是{an}中的第k项,则
-32a1=a1+(k-1)d
∴(k-1)d=-33a1=33d
∴k=34即b16是{an}中的第34项.
解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d