则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.答案：
B
3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12－S8＝12，则S8＝__________.
解析：
由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，得（S8－S4）2＝S4（S12－S8），解得S8＝9或S8＝－3，又由等比数列的前n项和公式知S8与S4同号，故S8＝9.答案：
9
4、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，
则＋的值为________．
解析：
∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.答案：
5.在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2013的值等于（ ）A．－2011B．－2012C．－2010 D．－2013
解析 根据等差数列的性质，得数列{}也是等差数列，
根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2013，
公差d＝1，故＝－2013＋（2013－1）×1＝－1，所以S2013＝－2013.
6.在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．
（1）若a1>0，当Sn取得最大值时，求n的值；
（2）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值．
解
（1）设{an}的公差为d，则由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－a1.
∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－12）2＋a1.
∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．
（2）由
（1）及a1＝－46，得d＝－×（－46）＝4，∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.
∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32，
当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．
故bn的最小值为－32.
点评：
（1）在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．
（2）等差数列的性质
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列；
③am－an＝（m－n）d⇔d＝（m，n∈N*）；
④＝（A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和）．
（3）数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f（n）是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn（A2＋B2≠0）．
7.若数列满足＝（n∈N*，为常数），则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是（ ）A．10B．100C．200D．400
【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值
解：
因为正项数列为“调和数列”，则，即数列为等差数列，由等差数列的性质，则，所以，当且仅当即该数列为常数列时等号成立，所以选B.
【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列，从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则，再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可.
题型三：
数列与的关系的考查
考点总结：
已知与的关系，有目标把该关系统一到同想和和上，求或，这是常见的递推关系。
例：
已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝.
（1）求证：
是等差数列；
（2）求an的表达式．
[审题视点]
（1）化简所给式子，然后利用定义证明．
（2）根据Sn与an之间关系求an.
（1）证明 ∵an＝Sn－Sn－1（n≥2），又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2（n≥2）．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
（2）解 由
（1）知＝＋（n－1）d＝2＋（n－1）×2＝2n，
∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
又∵a1＝，不适合上式，∴an＝
方法总结：
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．
变式练习：
1.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列和数列满足等式：
，求数列的前项和.
点拨：
（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.
（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用
（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前项和.
解：
（1）解法1：
设等差数列的公差为d，则依题设d>0，
由.得①由得②
由①得将其代入②得.即，
，代入①得
解法2：
等差数列中，，公差，，
（2）设，则有
两式相减得，由
（1）得，，
即当时，，又当时，，
于是
==
易错点：
（1）由的关系及
（1）的结论找不到的通项公式，使解题受阻；
（2）在求的通项公式时，由得,把这个条件遗漏；（3）忽略当时，，直接写；（4）计算数列的前项和时随意添加项.
提炼方法：
（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；
（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.
2.已知数列满足递推关系式（n∈N*），且为等差数列，则的值是______．
【知识点】等差数列的应用;数列递推式．
解：
若为等差数列，
则，
为常数，即，则-1-2=0，解得=-1，
【思路点拨】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义即可得到结论．
题型四：
等差等比的综合应用
考点总结：
数列时一种特殊的函数，把数列与函数、不等式、解析几何等知识有机结合，是数列的一个发展方向，考查转化与化归的数学思想。
例：
（2008山东卷）将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2a3
a4a5a6
a7a8a9a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.（Ⅰ）证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k（k≥3）行所有项和的和.
解析：
（1）由已知得，当n≥2时=1
又，所以，即
所以，又，
所以数列｛｝是以1为首项，为公差的等差数列。
所以，即
当时，
又因此
（2）设表中从第三行起，每一行的公比为q且
因为，
所以表中第1行至第12行共含函数列中的前78项，故表中第13第3列中的数为
因此，又，所以
记表中第k（k≥3）行所有项和的和为S，则
拓展提高：
此题主要考察递推公式，构造新数列，以及求行列式的通项。
变式练习：
1、已知“三角数阵”每一列成等差数列，
从第三行起每一行成等比数列，且公比为q,
公比相等记第i行第j列个数为
（1）求q，
（2）求的表达式，（3）记第n行和为，…………………………
求的前项和,
解析:
（1）设公比为,则
又,,,,
或（舍）,则,
（2）第一行的公差为,
（3）
设
则
则由以上两式得
所以
拓展提高:
数阵题是一种新型题型,解题关键是抓住所给的各行格列所构成的数列的类型,再由特殊项推各行各列的前几项,进而求通项.
2、等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上.
（1）求r的值；（11）当b=2时，记求数列的前项和
解:
因为对任意的,点，均在函数且均为常数）的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以
（2）当b=2时，,
则
相减,得=
所以
拓展提高:
本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.
3、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和.
解析：
（1）圆心到直线的距离，
（2）
相减得
4（2012·高考四川卷）设函数f（x）＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，
f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a5）＝5π，则[f（a3）]2－a1a5＝（ ）
A．0 B.π2C.π2D.π2
（1）给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和．
（2）由等差数列性质和三角函数性质把f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋f（a4）＋f（a5）的结构用a3表达．
（3）构造函数，通过函数的单调性确定a3的值．
（4）将求解结果用a3表示、化简．
【解析】 f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋f（a4）＋f（a5）
＝2（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）－（cosa1＋cosa2＋cosa3＋cosa4＋cosa5）
＝10a3－[cos（a3－）＋cos（a3－）＋cosa3＋cos（a3＋）＋cos（a3＋）]
＝10a3－（2cos＋2cos＋1）cosa3.
构造函数g（x）＝10x－（2cos＋2cos＋1）cosx－5π，
g′（x）＝10＋（2cos＋2cos＋1）sinx>0，
函数g（x）在（－∞，＋∞）内单调递增，由g（）＝0，
所以方程10x－（2cos＋2cos＋1）cosx－5π＝0有唯一解x＝，所以a3＝.
所以[f（a3）]2－a1a5＝[f（a3）]2－（a3－）（a3＋）＝[f（a3）]2－a＋＝π2－（）2＋＝.
5.已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为（ ）A. B. C. D．不存在
解：
因a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（舍去）．
又＝＝4a1，所以m＋n＝6.
则＋＝（m＋n）＝≥.
当且仅当＝，即n＝2m时，等号成立．此时m＝2，n＝4.
题型五：
与其它知识点交汇
考点总结：
创新题是以基本概念，基本性质为主，考查学生阅读材料，提取信息，建立数学模型，考查应用所学的知识分析解决问题的能力。
例：
根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）写出，由此猜想出数列；的一个通项公式，并证明你的结论;
（3）求．
点拨：
（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；
（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法.
解：
（1）由框图，知数列中∴
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想
证明：
由框图，知数列{yn}中，，，
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
（3）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]
记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1②
①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=
∴
又1+3+…+（2n－1）=n2∴.
易错点：
（1）根据框图不能正确写出数列的递推公式，解题受阻，
（2）对数列求和的方法及每种方法所适合的题型认识不清，盲目求和；（3）对指数运算不够熟悉，导致利用错位相减法计算出的结果不正确.
变式练习：
：
1、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求视力不小于5.0的学生人数；
（3）设,求数列的通项公式.
点拨
（1）频率分布直方图是解决问题的关健；
（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出.
解：
（1）由题意知
因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以，
又=100—（1+3+9），
所以=87,解得
因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列,所以
（2）求视力不小于5.0的学生人数为
（3）由①可知，当时，②
①－②得，当时，,,
又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
数列的通项公式为.
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