特殊三角形等腰旁等角模型.docx
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特殊三角形等腰旁等角模型
“等腰旁等角”模型
知识目标：
模块一
等腰直角刀直角
例1、例2、例3、例4
难度：
★★★
模块二
等腰旁等角
例5、例6、例7
难度：
★★★★
模块一：
等腰直角旁直角
如图，△ABC为等腰直角三角形，/BAC=90°,/BDC=90°,求证：
/ADB=45
如图，△ABC为等腰直角三角形，/BAC=90°,/BDA=45°,求证：
/BDC=90°
如图，△ABC中，AB=AC,ZBDC=90°,ZADB=45°,求证：
/BAC=90°
练习：
如图，△ABC中，/BAC=90°,/BDC=90°,/ADB=45°,求证：
AB=AC
总结归纳
（1）“等腰直角对直角”和“等腰直角旁直角”本质是一样的（四点共圆），唯一的区别就在于：
两个
90度异侧时，AD平分/BDC;两个90度同侧时，AD平分/BDC的外角.
（2）以上四题，仍可分为两种类型：
前两题时“知等腰RTA,证外角平分线”，辅助线是“对45。
作
垂构造手拉手模型”；后两题是“知外角平分线，证等腰RT4”，辅助线是“作双垂”.可见，上一
讲总结的“等腰对补角”的作法，又“等腰旁等角”依然适用^
（3）要灵活理解题目的条件或结论，如【例1】中要证的/ADB=45°等价于/ADC=135°.
例3
如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰直角三角形，C是线段OB上一动点（C点不与OB的中点重合），以AC为直角边作等腰RTAACD（点A、C、D按顺时针方向标识，C为直角顶点）.在C点的运动过程中，OA与OD的位置关系是否发生变化？
请说明理由.
例4
（2015-2016汉阳区八上期中）
如图，在^ABC中，/BAC=90°,AB=AC,D是AC边上一动点，CE，BD于E.
（1）如图1,若BD平分/ABC时，①求/ECD的度数；②求证：
BD=2EC.
（2）
如图2,过点A作AFLBE于点F,猜想线段BE、CE、AF之间的数量关系，并证明你的猜想
练习
如图，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,/CAB的平分线交CB于E,BD，AE于D,DM，AC于M,
连CD,则下列结论：
①AC+CE=AB;②BD=1AE；③/CDA=45°;④AC+AB为定值.其中正确的
2AM
有个.
挑战压轴题
（2015-2016洪山区八上期中）
2
已知直线AB交x轴于点A（a,0）.交y轴于点B（0,b）,且a、b满足a+b+（a+4）=0
（1）如图1,若点C在第一象限，且BE，AC于点E,BE延长线交x轴于点G,连OE,求证：
EO平分/AEG.
（2）如图2,若点C在第一象限，且BELAC于点E,延长BE到D,使BD=AC,连OC、OD、CD,试判断△COD的形状，并说明理由.
（3）如图3,若点C在OB上，点F在AB的延长线上且AC=CF,△ACP是以AC为直角边的等腰直
角三角形，CQXAF于Q,试求AF-2二的值.
模块二等腰旁等角
例5
如图，在等腰△ABC中，AB=AC,射线BD上有一点P,且/BPC=/BAC.
求证：
/APC=ZAPD.
P
练习
如图，已知△ABC,射线BD上有一点P,且/CPB=ZCPA=ZCAB=60
（1）求证：
△ABC是等边三角形；
（2）试探究PA、PB、PC之间的数量关系.
P
例6
（2015-2016七一中学月考）
如图，BD=CD,AD平分/BAC的外角.
（1）求证：
/ABD=ZACD;
（2）试探究/BAD与/BCD的关系并证明
拓展
如图，已知BD=CD,/ADB=/ACB,求证：
AD平分/BAC的外角.
例7
已知四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,/ABC=2/C=2”，点E在AD上，点F在DC上.
（1）如图1,若“=45°,/BDC的度数为;
（2）如图2,当“=45°,/BEF=90°时，求证：
BE=EF;
（3）如图3,若5=30°,则当/BEF=时，使得EB=EF成立？
请填空并说明理由
挑战压轴题
（2016-2017二中八上期中第16题）
如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC=AD=6,BC=9,DE=DF,/BAC=/EDF,点E在AB上，BE=2,点F在射线AC上，则AF的长为
MHXAB
其中正
“等腰旁等角”模型
A）基础巩固
1.如图，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,/CAB的平分线交CB于D,BM，AD于M,
于H,有下列结论：
①AD=2BM;②AC+AB=2AH;③AB—AC=2BH;④/AHC=45°
确的有（）
A.1个
B,2个
C,3个
D,4个
3.如图，已知等边^ABC,射线BD上有一点P,且/BPC=60
（1）求证：
/APC=ZAPD=60°;
（2）若BP=3,PA=4,求PC的长.
如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线
点，且/BAC=2/BDO,过D作DMLAB于M.
（1）求证：
/ABD=ZACD;
（2）求证：
AD平分/BAE;
（3）当A点运动时，AB-AC的值是否变化？
若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由
AM
|y
B）综合训练
5.
（2016-2017外校八上期中第24题）
已知，在平面直角坐标系中，点A（―3,0）,点B（0,3）,点Q为x轴正半轴一动点，过点A作AC
，BQ于C,交y轴于点D.
（1）
（2）
（3）
若点Q的坐标为（2,0）,试求点D的坐标；
若点Q在x轴正半轴上运动，且OQv3,其他条件不变，连OC,求证：
/OCQ的度数不变；有一等腰直角△AMN绕A旋转，且AM=MN,/AMN=90°,连BN,点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明.
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