《等腰三角形判定》例题精讲与同步练习.docx
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《等腰三角形判定》例题精讲与同步练习
《等腰三角形判定》例题精讲与同步练习
【基础知识精讲】
本节包括等腰三角形判定，特殊等腰三角形（等边三角形）的判定及特殊直角三角形（一个锐角为30°的直角三角形）的短直角边与斜边的关系.后几个定理都是判定定理的推论.
等腰三角形判定定理：
若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.
推论1三个角相等的三角形是等边三角形.
推论2有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3直角三角形中，若有一个锐角为30°，则该角所对的直角边为斜边的一半.
关于推论1，也有说成“有两个角为60°的三角形是等边三角形”理由是显然的.
对于判定定理的证明，可用作第三个角的角平分线或等角夹边上的高相等.作辅助线方法，通过全等来进行证明.但不能作夹边中线来解决，因为此时两个三角形不能满足全等判定.在掌握了“大边对大角”后，亦可利用反证法来进行证明.设两角对边不相等，则长边所对的角必大，与两角相等矛盾.
判定定理及几个推论在今后有着广泛的应用.
【重点难点解析】
本节重点均在判定定理及几个推论的掌握及灵活运用上.判定定理为我们证明线段相等提供了除全等以外的又一重要手段，而推论又为已知线段之间的关系（相等或成1∶2的比例）求角的度数，提供了有力的工具.
例1△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24,求BC.（图）
图
分析由已知等腰三角形顶角120°,可求出底角30°（∠B=30°），可计算出∠C=∠CAD=30°.再利用等腰△ADC及有一个锐角为30°的Rt△ADB三边的关系求出结论.
解∵AB=AC∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°.
又AD⊥AB∴∠CAD=30°=∠CAD=
DB=CD
∴BC=BD+DC=2AD+AD=3AD∵AD=24∴BC=72.
例2△ABC中，∠B＞∠C，求证AC＞AB.
图
分析本题可通过在大角内构造一个角等于∠C，再通过等腰三角形判定及三角形三边关系得出结论.本题亦可利用“等边对等角”“大边对大角”定理，通过反证法说明AC≤AB不成立，进而得结论.
证一∵∠B＞∠C在∠B内作∠CBD=∠DCB，BD交AC于D.
∴BD=DC在△ABD中AD+BD＞AB
∴AD+DC＞AB∴AC＞AB.
证二设AC≤AB.若AC=AB则∠B=∠C，若AC＜AB,则∠B＜∠C，均与∠B＞∠C矛盾∴AC≤AB不成立∴AC＞AB
注：
本例结论为一个定理：
一个三角形中两内角不相等，则较大内角的对边也较大.（简称为“大角对大边”）与上节例3（图3.11-2）互为逆定理，都是我们判断边角不等关系的重要依据.
例3D为△ABC内一点，AB=AC，∠ADB＞∠ADC.（图3.13-3）.求证DC＞DB.
图
分析利用旋转，构造全等三角形再利用等腰三角形性质及三角形边角不等关系证出结论.是解决本题的基本思路.
证∵AB=AC.将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合得
△AD′C≌△ADB.连DD′、D′C.
∴AD=AD′∠AD′C=∠ADB.∠ADD′=∠AD′D.∵∠ADB＞∠ADC
∴∠AD′C＞∠ADC.∠AD′C-∠AD′D＞∠ADC-∠ADD′
∴∠DD′C＞∠D′DC.
∴DC＞D′C又D′C=DB∴DC＞DB.
例4如图3.13-4∠B=∠D=134°,AB=AD,求∠DCA+∠CAB的度数.
图
分析利用AB=AD，连BD构造等腰△ABD，进一步由∠ADC=∠ABC及∠ADB=∠ABD得等腰△DCB.可证得AC为∠DAB和∠DCB的平分线.
解连BD，∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD又∠ADC=∠ABC
∴∠CDB=∠CBD∴DC=BC，在△ABC和△ADC中AB=AD，BC=DC，AC=AC
∴△ABC≌△ADC∴∠DCA=∠BCA
∴∠DCA+∠CAB=∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC=180°-134°=46°
【难题巧解点拨】
六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长.
图
分析考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积
解延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P.
∵∠EDC=∠DCB=120°∴∠DCM=∠CDM=60°∴△MDC为等边三角形∠M=60°
同理△BAP，△EFN均为等边三角形.∠M=∠N=60°∴△MNP为等边三角形，
MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF.MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2.
FA=NP-NF-PA=16-1-2=13.
∴周长为1+9+6+8+2+13=39.
例2如图，△ABC为等边三角形，D在BA延长线上，E在BC延长线上，且DA=BE.求证DC=DE.
图
分析DA=BE这一条件给我们造成了一定困难，而∠B=60°;故可考虑构造以DB为边的新的等边三角形，进而利用全等来完成证明.
证延长BE至F，使EF=BA，
∵DA=BE,∴DB=FB.
∵△ABC为等边三角形
∴∠B=60°∴△DBF为等边三角形.
DB=DF∠B=∠F=60°又证EF=AB=BC
∴△DBC≌△DEF∴DC=DE.
【课本难题解答】
P114复习题三A组19
如图，AD为△ABC的角平分线，DE、DF分别为△ABD和△ACD的高，求证AD垂直平分EF.
图
分析本题着手点在DE，DF为∠ABD和∠ACD的高，也就是D到AB、AC的距离，考虑到AD为角平分线，由角平分线性质DE=DF，进而得出Rt△AED≌Rt△AFD（HL）,从而AE=AF，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得AD为EF的中垂线.
【典型热点考题】
例1等腰直角三角形斜边长为a，则面积为（）
A.
a2B.
a222
图
分析要求面积，需知斜边上的高，作AD⊥斜边BC于D，Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=45°,又AD为高也为BC边的中线
∴BD=DC=
a,在Rt△ABD中，∠B=45°
∴∠BAD=∠B=45°
∴AD=BD=
aS△ABC=
·a×
a=
a2.故选A.
例2△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，DE交BC于P，求证：
DP=EP.
图
分析构造等腰三角形及全等三角形，利用它们的性质及判定来证明线段相等.是本题的基本思路，设法构造一个与△PCE全等的三角形（或与△BDP全等的三角形），并使DP与PE成为对应边，是着手证本题的基本考虑.
证过D作DF∥AC交BC于F,
∴∠FDP=∠E∠DFB=∠ACB
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠DFB.
∴BD=DF又BD=CE，∴DF=CE
∴△DFP≌△ECP（AAS）
∴DP=PE
另：
本题亦可过E作EG∥AB交BC延长线于G来证.
例3如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,∠ABD=∠ACE,CE=BD.求证
（1）△ADE也为等腰直角三角形，
（2）BD⊥CE.
图
分析要证△ADE为等腰直角三角形，需要解决二个问题
（1）AD=AE
（2）AD⊥AE（∠DAE=90°）考虑△BAD和△CAE是否全等，如果全等，则AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得∠DAE=∠BAC=90°.所以证明△BAD≌△CAE是解决本题的关键.
证明
（1）∵AB=AC，∠ABD=∠ACECE=BD
∴△BAD≌△CAE.∴AE=AD，∠BAD=∠CAE
∴∠BAE=∠DAE又∠BAC=90°∴∠DAE=90°
∴△ADE为等腰直角三角形.
分析要证BD⊥CE.可考查Rt△BAG与△CFG的各个内角.∠ABG=∠FCG,∠BGA=∠CGF可得∠CFG=∠BAG=90°BD⊥CE.
证在△BAG与△CFG中，∠BGA=∠CGF.∠ABG=∠FCG.
∴∠CFG=∠BAG=90°∴BD⊥CE.
【同步达纲练习】
一、判断（3分×8=24分）
（）1.一个三角形若有两个内角不相等，则不是等腰三角形.
（）2.三角形一边中线是它对角的平分线，则夹这条边的两内角相等.
（）3.有一个角是60°的三角形是等边三角形.
（）4.直角三角形一直角边为斜边的一半，则该边的对角为30°.
（）5.△ABC中，AB＞AC,∠B,∠C平分线交于O，则OB＞OC.
为△ABC的角平分线，则AB，AD，AC中AD最长.
（）7.等腰三角形底角15°,腰长2a，则腰上的高为a.
，BE为锐角△ABC的两条高，若AD＞BE.则∠A＞∠B.
二、选择（4分×8=32分）
为等边三角形ABC边AC上一点，∠ACE=∠ABD，CE=BD.（图3.13-11）则△ADE是（）
A.钝角三角形B.直角三角形
C.任意等腰三角形D.等边三角形
图
为△ABC的角平分线，AB+BD=AC，则∠B∶∠C值为（）
∶∶∶∶1
3.△ABC中，∠A=∠C=55°,形内一点P使∠PAC=∠PCA，则∠ABP为（）
°°°°
4.△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24则BC=（）
5.等腰直角三角形斜边长为a，则面积为（）
A.
a2B.
a222
6.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（）
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.斜三角形
7.△ABC中∠C=2∠B，则（）
＜2ACB.AB=2AC
＞与2AC关系不确定.
8.如图3.13-12,△ABC中AB=AC，∠A=36°,BD、CE为角平分线，交于O，则图中等腰三角形共有（）
图
个个个个
三、填空（8分×4=32分）
1.等腰三角形判定定理是证明相等的重要定理之一.
2.三角形一个外角平分线平行三角形一边，则这个三角形是.
3.等腰三角形一个外角为130°，则顶角为.
4.三内角都相等的三角形是三角形，每个内角都等于.
5.△ABC中，AB=5，AC=7，∠B，∠C的平分线交于O，直线MN过O点交AB于M，AC于N，若MN∥BC，则△AMN周长为.
7.△ABC中，高AD、BE交于H,且BH=AC，则∠ABC=.
8.△ABC中，∠C=2∠B，AC=4，则AB的取值范围＜AB＜.
四、解答题（6分×2=12分）
1.△ABC中，AB=AC，∠A=20°,D为AB上一点，且AD=BC，求∠BDC.
2.△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AH⊥CE于F交BC于H，AG⊥BD于G.求证
（1）AC=CH
（2）AF=AG.
【素质优化训练】
为△ABC的角平分线，M为BC中点，ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F.求证BE=CF=
（AB+AC）
△ABC中，AC=BC，D为形内一点，满足∠DCB=∠DBC=15°.求证AC=AD.
【生活实际运用】
如图（3.13-13）村庄A、B位于一条小河的两侧；若河岸l1，l2彼此平行，现在要架设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近.
图3.13-13
【知识探究学习】
当要证相等的二线段是同个三角形的两边，或二线段有公共点，连结另两个端点，使其成为三角形的两边，若能证得两边对的角相等；则可证得二线段相等，基本图形有：
图
参考答案：
【同步达纲练习】
一、×√×√√×√×
二、DABCABAC
三、1.线段2.等腰三角形°或80°4.等边，60°°°＜AB＜8
四、1.作正△ACE∠A=20°连DE∴∠DAE=∠B=80°AD=BCAE=AB
∴△ABC≌△EAD∴DE=AC=CE，∠AED=∠A=20°∠DEC=40°∠DCE=70°
∴∠DCA=10°∠BDC=30°
⊥CFCF平分∠ACH∴△ACH为等腰三角形∴AC=CH.
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD,CE为角平分线∴∠ABD=∠ACE=
∠ABC=
∠ACB∴Rt△AGB≌Rt△AFC∴AG=AF
【素质优化训练】
1.延长EM到G，使MG=MF，连BG，则△BMG≌△CMF∴BG=FC，∠G=∠CFM
又AD平分∠BACAD∥ME,∴∠E=∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠G.∴BE=BG=FC
∴2BG=AB+AE+CF=AB+AF+CF=AB+AC∴BE=CF=
（AB+AC）
2.在△ACD内作正△CDP.连AP，∠DCB=15°∠PCD=60°∴∠ACP=∠DCB=15°
PC=CDBC=AC∴△ACP≌△BCD∴∠CAP=∠DBC=15°∠APC=150°
∠CPD=60°∴∠APD=150°∴∠APC=∠APDPA=PAPC=PD
∴△PAC≌△PAD∴AC=AD
【生活实际运用】
由A作AA′⊥l1,并使AA′=河宽，连A′B交l2于D，作CD⊥l1交l1于C，连AC，则CD就是架桥位置，AC+CD+DB就是最近路程.
《等边三角形》练习题
1．（2012•深圳）如图，已知：
∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．
6
B．
12
C．
32
D．
64
2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A．
180°
B．
220°
C．
240°
D．
300°
3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）
A．
2
B．
2
C．
D．
3
4．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（ ）
A．
2
B．
4
C．
D．
2
5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
不能确定
6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）
A．
60°
B．
45°
C．
40°
D．
30°
7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．
3S1=2S2
B．
2S1=3S2
C．
2S1=
S2
D．
S1=2S2
8．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
4cm2
B．
2cm2
C．
3
cm2
D．
3cm2
9．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）
A．
3个
B．
2个
C．
1个
D．
0个
10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A．
d＞h
B．
d＜h
C．
d=h
D．
无法确定
11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．
30海里
B．
40海里
C．
50海里
D．
60海里
12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．
25°
B．
30°
C．
45°
D．
60°
13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．
14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）
15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为 _________ ．
16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：
（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；
（2）△AnBnCn的边长an= _________ （其中n为正整数）．
17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，
D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且
AE=CD=BF，则△DEF为 _________ 三角形．
18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．
19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．
20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：
∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完
（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
① _________ ；② _________ ；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在
（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，
（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．
24．（2004•苏州）已知：
如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：
DP=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1．C 2．C 3．C 4913．∠E= 15 度．14． ①②③⑤ ．
15．
.16．a3=
；△AnBnCn的边长an=
（或21﹣n）
17． 等边 三角形．18． 2 个．19PP′= 3 ．
20．
解：
（1）在正△ABC中，AD=4×
，（2分）
∴S=
BC×AD=
×4×2
=4
．（3分）
（2）AC、DE的位置关系：
AC⊥DE．（1分）
在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）
∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．
∴AC⊥DE．（3分）
（注：
其它方法酌情给分）．
21．
解：
AE∥BC．理由如下：
∵△ABC与△CDE为正三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：
① 是 ；② 是 ；③ 否 ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
（1）证明：
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：
如图，
在△ACM和△BAN中，
，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：
如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠
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