人教版初二上数学第30讲全等三角形的判定2教师版.docx

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人教版初二上数学第30讲全等三角形的判定2教师版

三角形全等的判定

（2）

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

1、掌握直角三角形全等的判定方法：

“斜边、直角边”；

2、判断能证明三角形全等的条件；

3、判断三角形全等能推出的结论；

4、探索全等三角形判定的综合问题．

1．斜边、直角边定理（HL）

文字描述：

_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等．

符号语言：

在Rt△ABC与Rt△DEF中，

∠ABC=∠DEF=90°，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

图示：

2．探究三角形全等的思路

（1）已知两边

（2）已知一边一角

（3）已知两角

3.什么是开放题

所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想.

4.开放题问题类型及解题策略

（1）条件开放与探索型问题.

从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.

（2）结论开放与探索型问题.

从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.

（3）条件、结论开放与探索型问题.

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.

参考答案：

1、斜边直角边

2、

（1）SASHLSSS

（2）AASSASASAAAS

（3）ASAAAS

1．利用HL证全等

【例1】（2018秋•合浦县期末）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：

Rt△ABF≌Rt△DCE．

【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．

证明：

∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABF与△DCE都为直角三角形，

在Rt△ABF和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．

点评：

此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．

总结：

1．判定直角三角形全等共有五种方法：

“SSS”“ASA”“AAS”和“HL”；一般先考虑利用“HL”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；

2．“HL”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；

3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．

练1．（2018秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）

A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′

C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′

【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．

∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，

Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，

故选C．

点评：

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．

练2．（2018秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是_______________．

【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．

AC=DE，

理由是：

∵AB⊥DC，

∴∠ABC=∠DBE=90°，

在Rt△ABC和Rt△DBE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．

故答案为：

AC=DE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：

判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

2．利用HL证全等，再证边角相等

【例2】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：

CB=CD．

【解析】根据已知条件，利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD．

证明：

∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°．

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC．

∴CB=CD．

点评：

此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”．

总结：

证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手.在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系．

练3．（2018春•常州期末）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=_____________．

【解析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．

∵MN∥PQ，AB⊥PQ，

∴AB⊥MN，

∴∠DAE=∠EBC=90°，

在Rt△ADE和Rt△BCE中，

，

∴△ADE≌△BEC（HL），

∴AE=BC，

∵AD+BC=7，

∴AB=AE+BE=AD+BC=7．

故答案为7．

点评：

本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单．

练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：

∠ACB=∠DBC．

【解析】由图片和已知，可得△ABE≌△DCE，则BE=CE，然后再证明Rt△ABE≌Rt△DCE，即可得证．

证明：

∵∠A=∠D=90°，AE=DE（已知），

∠AEB=∠DEC（对顶角相等），

∴△ABE≌△DCE（ASA），

∴AB=DC，

在Rt△ABE和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△DCE，

∴∠ACB=∠DBC．

点评：

本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等．

3．利用HL解决实际问题

【例3】（2018春•招远市期末）如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的距离相等；村庄A与C，A与D间也有公路相连，且公路AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.

【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出Rt△ADB≌Rt△ADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．

由题意，知BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，

则Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），

所以AB=AC=3千米，

故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．

点评：

此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt△ADB≌Rt△ADC是解决问题的关键．

总结：

对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．

练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）

A．BD＞CDB．BD＜CDC．BD=CDD．不能确定

【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC，又AD=AD，AD⊥BC，所以Rt△ABD≌Rt△ACD，所以BD=CD．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

由AB=AC，AD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

∴BD=CD．

故选C．

点评：

本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt△ABD≌Rt△ACD．

4．全等三角形——补充条件型问题

【例1】（2018•漳州中学期中）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）

【解析】由已知先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS”可推出两三角形全等．

解：

AC=DF．

证明：

∵BF=EC，

∴BF﹣CF=EC﹣CF，

即BC=EF.

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

总结：

因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的.对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．

练6．（2017•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A．BD=CDB．AB=ACC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD

【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．

A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；

B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；

C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；

D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；

故选：

B．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

练7．（2018秋•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．

【解析】要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．

解：

AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，B=∠B

∴△ADB≌△CEB（AAS）．

答案：

AB=BC．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

点评：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．

5．全等三角形——结论探索型问题

【例5】（2018•邵阳期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从

（1）中任选一组进行证明．

【解析】

（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．

解：

（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

∵AF=CE，

∴AF+EF=CE+EF，

即AE=FC.

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

总结：

判定两个三角形全等的一般方法有：

“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：

“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

练8．（2018•陆川县校级模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（）

A．5对B．6对C．7对D．8对

【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．

解：

∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，

∴BD=CD，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

又AE=AF，AO=AO，

∴△AOE≌△AOF，

EO=FO，

进一步证明可得△BOD≌△COD，△BOE≌△COF，△AOB≌△AOC，△ABF≌△ACE，△BCE≌△CBF，共7对．

故选：

C．

点评：

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．

6．全等三角形——条件和结论全开放型问题

【例6】（2017•金溪县模拟）有下列四个判断：

①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．

已知：

求证：

证明：

【解析】由已知AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AE∥BC得出∠A=∠B，证明△AEF≌△BCD，即可得出∠EFA=∠CDB．

解：

已知：

AD=BF，AE=BC，AE∥BC；

求证：

∠EFA=∠CDB；

证明：

∵AD=BF，

∴AD+DF=BF+DF，

即AF=BD.

∵AE∥BC，

∴∠A=∠B，

在△AEF和△BCD中，

∴△AEF≌△BCD（SAS），

∴∠EFA=∠CDB．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

总结：

条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS、SAS、ASA、AAS、HL的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：

已知条件

证明思路

两边

一边

一角

两角

练9．如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：

①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：

如果

、

，那么

）

（2）选择

（1）中你写出的—个命题，说明它正确的理由．

【解析】

（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；

（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明．

证明：

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD，

∴∠A＝∠C，

∴AB∥DC．

练10．（2018秋•德州期末）在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（）

A．∠B=∠EB．∠C=∠FC．BC=EFD．AC=DF

【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．

解：

A、正确，符合判定ASA；

B、正确，符合判定AAS；

C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；

D、正确，符合判定SAS．

故选：

C．

点评：

此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．

练11．（2018•宁德）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：

①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（）

A．①③B．②④C．①②③D．①②④

【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．

解：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．

∵∠ACB=∠GCF，

∵DE⊥BC，FG⊥BC，

∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．

在△DEB和△FGC中，

，

∴△DEB≌△FGC（AAS），

∴BE=CG，DE=FG，故①正确；

在△DEP和△FGP中，

，

∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；

∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；

∵PG=PC+CG，

∴PE=PC+BE．

∵PE+PC+BE=2，

∴PE=1．故④正确．

正确的有①②④，

故选：

D．

点评：

本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

练12．（2018•雁塔区校级模拟）如图，EA⊥AB，BC⊥ABEA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：

（1）DE=AC

（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）

A．

（1），（3）B．

（2），（3）C．（3），（4）D．

（1），

（2），（4）

【解析】本题条件较为充分，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．

解：

∵EA⊥AB，BC⊥AB，

∴∠EAB=∠ABC=90°

Rt△EAD与Rt△ABC

∵D为AB中点，

∴AB=2AD

又EA=AB=2BC

∴AD=BC

∴Rt△EAD≌Rt△ABC

∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD

又∠EAF+∠DAF=90°

∴∠EAF+∠E=90°

∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE⊥AC，

∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°

∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE

∴∠EAF=∠ADE

故选：

D．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．

1．（2018秋•隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．两条直角边对应相等

B．两个锐角对应相等

C．一条直角边和它所对的锐角对应相等

D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等

2．（2018春•揭西县校级月考）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．HLB．AASC．SSSD．ASA

3．（2017秋•镇江校级期中）已知：

如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）

A．∠BAC=∠BADB．BC=BD或AC=AD

C．∠ABC=∠ABDD．AB为公共边

4．（2018秋•江津区期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）

A．40°B．50°C．60°D．75°

5．（2018•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）

A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙

6．（2018秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

7.（2018•徐州模拟）已知：

如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．

（1）请你写出两个正确结论：

①__________；②__________；

（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？

（只需写出一个）

（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：

△DBM≌△DCN．

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

1．（2018秋•亭湖区校级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．

2．（2018秋•莆田期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．

3．（2018秋•平定县期中）如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．

4．（2018•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

5．（2017秋•溧水县校级月考）如图，这是建筑物上的人字架，已知：

AB=AC，AD⊥BC，则BD与

CD相等吗？

为什么？

6．（2017•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．

等式：

AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，

已知：

AB∥CD，BE=DF，_______

求证：

△ABE≌△CDF．

证明：

参考答案：

当堂检测

1．【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS来判定两直角三角形全等，故本选项正确；

B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；

C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；

D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA或AAS来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；

故选B．

2．【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，

又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．

故选A．

3．【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：

若添加的条件为BC=BD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；

若添加的条件为AC=AD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．

故选B．

4．【解析】∵∠B=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．

故选B．

5．【解析】根据