高中数学 112 集合间的基本关系教案精讲 新人教A版必修1.docx
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高中数学112集合间的基本关系教案精讲新人教A版必修1
2019-2020年高中数学1．1.2集合间的基本关系教案精讲新人教A版必修1
[读教材·填要点]
1．子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集
A⊆B（或B⊇A）
2.集合相等与真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
集合相等
如果A⊆B，且B⊆A，就说集合A与B相等
A＝B
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是B的真子集
AB（或BA）
3.空集
（1）定义：
不含任何元素的集合叫做空集．
（2）用符号表示为：
∅.
（3）规定：
空集是任何集合的子集．
4．子集的有关性质
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
[小问题·大思维]
1．若AB，则A⊆B且A≠B，对吗？
提示：
对．∵AB，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.
2．任何集合都有真子集吗？
提示：
不是，空集∅就没有真子集．
3．{0}和∅表示同一集合吗？
它们之间有什么关系？
提示：
{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．
有限集合子集确定问题
[例1] 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．
[自主解答] 由0个元素构成的子集：
∅；
由1个元素构成的子集：
{1}，{2}，{3}；
由2个元素构成的子集：
{1,2}，{1,3}，{2,3}；
由3个元素构成的子集：
{1,2,3}．
由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．
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1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
1确定所求集合；
2合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
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1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．
解：
当M中含有两个元素时，M为{2,3}；
当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；
当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．
所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
集合间关系的判定
[例2] 下列各式正确的是________．
（1）{a}⊆{a}；
（2）{1,2,3}＝{3,1,2}；（3）0⊆{0}；
（4）{1}{x|x≤5}； （5）{1,3}{3,4}．
[自主解答]
题号
正误
原因
（1）
√
任何一个集合都是它本身的子集．
（2）
√
两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．
（3）
×
元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}．
（4）
√
∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．
（5）
×
∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}⃘{3,4}．“”是“真包含于”的意思
[答案]
（1）
（2）（4）
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集合间关系的判定的步骤：
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则AB；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则BA；,最后，下结论：
若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，BA，则AB；若AB，B⊆A，则BA；若上述三种情况都不成立，则AB，BA.
[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.
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2．集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合M和N的关系．
解：
M＝{－3,2}，N＝
.
∵－3>－
，2>－
，
∴－3∈N,2∈N.∴M⊆N.
又0∈N，但0∉M，∴MN.
集合间关系的应用
[例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[自主解答] ∵B⊆A，
（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
（2）当B≠∅时，有
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
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1利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.
2此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.
3此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.
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3．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，求a的值．
解：
∵A⊇B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1.
（1）a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，这时满足条件A⊇B；
（2）a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，这时也满足条件A⊇B.
当a2－a＋1＝a时，a＝1，此时A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1.
∴a的值为2或－1.
解题高手
易错题
审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！
已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N⊆M，求实数a的取值范围．
[错解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
（1）当N＝{1}时，有
∴a＝1.
（2）当N＝{2}时，有
不成立．
（3）当N＝{1,2}时，有
不成立．
所以，a＝1.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N为∅的情况．
[正解] ∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又N⊆M，∴N＝∅，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．
（1）当N＝∅时，方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，即a>1.
（2）当N＝{1}时，有
∴a＝1.
（3）当N＝{2}时，有
不成立．
（4）当N＝{1,2}时，有
不成立．
综上可知实数a的取值范围是a≥1.
1．下列命题中，正确的有（ ）
①空集是任何集合的真子集；
②若AB，BC，则AC；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.
A．①② B．②③
C．②④D．③④
解析：
①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩（Venn）图易知④正确．
答案：
C
2．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是（ ）
A．{0}⊆MB．{0}∈M
C．∅∈MD．0⊆M
解析：
选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．
答案：
A
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
解析：
选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.
答案：
B
4．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：
∵∅{x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.
即x2－x＋a＝0有实根．
∴Δ＝（－1）2－4a≥0，得a≤
.
答案：
a≤
5．若{a,0,1}＝{c，
，－1}，则a＝________，b＝________，c＝________.
解析：
∵
≠0，∴c＝0，∴a＝－1，
＝1.∴a＝－1，b＝1.
答案：
－1 1 0
6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，求实数m的值．
解：
∵B⊆A，∴m2＝－1，或m2＝2m－1，当m2＝－1时，显然无实数根；当m2＝2m－1时，m＝1.∴实数m＝1.
一、选择题
1．已知集合M＝{x∈Z|－3A．12B．14
C．15D．16
解析：
∵M＝{x∈Z|－3答案：
C
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
由题意知A*B＝{1,3}，
∴A*B的子集个数为22＝4个．
答案：
D
3．已知集合M＝{x|－
，x∈Z}，则下列集合中为集合M子集的是（ ）
A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤
，x∈N}
解析：
先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且SM.
答案：
D
4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（ ）
A．6B．5
C．4D．3
解析：
集合{0,1,2}的子集为：
∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．
答案：
A
二、填空题
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3解析：
∵A⊇B，∴
∴3≤a≤4.
答案：
3≤a≤4
6．设a，b∈R，集合{0，
，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
解析：
由题意可知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以
＝－1，则a＝－1，b＝1，故b－a＝2.
答案：
2
7．下列关系中正确的是________．
①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{（0,1）}；
④{（a，b）}＝{（b，a）}．
解析：
∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{（0,1）}是含有一个元素的点集，③错误；{（a，b）}与{（b，a）}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.
答案：
②
8．已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合的个数是________．
解析：
∵P＝{1,2}，Q⊆P，
∴集合Q可以是∅或{1}或{2}或{1,2}．
答案：
4
三、解答题
9．由“2，a，b”三个元素构成的集合与由“2a,2，b2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值．
解：
根据集合相等，有
或
解得
或
或
再根据集合元素的互异性，得
或
10．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．
解：
法一：
A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，由B⊆A得，B＝∅，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，由于Δ＝（2a＋1）2－4a2－4a＝1>0，
∴B≠∅，且B含有两个不同元素．
∴B＝{2,3}，需2a＋1＝5和a2＋a＝6同时成立，
∴a＝2.
综上所述：
a＝2.
法二：
A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
B＝{x|x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝0}＝{x|（x－a）·
（x－a－1）＝0}＝{a，a＋1}，
∵a≠a＋1，
∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.
∴a＝2.
s
2019-2020年高中数学1．1.3集合的基本运算第一课时教案精讲新人教A版必修1
[读教材·填要点]
1．集合的并集与交集的定义
并集
交集
自然语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
图形语言
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪∅＝A
A∩∅＝∅
A⊆B⇔A∪B＝B
A⊆B⇔A∩B＝A
A∪B⊇A，A∪B⊇B
A∩B⊆B，A∩B⊆A
[小问题·大思维]
1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？
如何表示A∪B和A∩B?
提示：
A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．
2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？
有什么区别？
提示：
并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．
3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？
提示：
当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.
集合交并的简单运算
[例1] 已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（ ）
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}
[自主解答] A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}＝{1，－2}；B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．
[答案] C
——————————————————
解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.
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1．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥
}，求A∩B，A∪B.
解：
∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥
}，
把集合A与B表示在数轴上，如图．
∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0或x≥
}
＝{x|－1＜x≤0或
≤x≤3}；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥
}＝R.
已知集合交集、并集求参数
[例2] 已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，求满足条件的实数x的值．
[自主解答] ∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A，即B⊆A，
∴x2＝3或x2＝x.
①当x2＝3时，得x＝±
.
若x＝
，则A＝{1,3，
}，B＝{1,3}，符合题意；
若x＝－
，则A＝{1,3，－
}，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，则x＝0或x＝1.
若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去；
综上可知，x＝±
或x＝0.
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1在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理.
2对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性.
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2．已知集合A＝{4,6}，B＝{2，m}，A∪B＝{2,4,6}，则m的值为________．
解析：
∵A＝{4,6}，B＝{2，m}，
而A∪B＝{2,4,6}，
∴m＝4或m＝6.
答案：
4或6
解题高手
妙解题
同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；
（2）若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．
[巧思]
（1）A∩B＝A∪B⇔A＝B；
（2）∅A∩B⇔A∩B≠∅.
[妙解] 由已知，得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．
（1）∵A∩B＝A∪B，∴A＝B.于是2,3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：
解之得a＝5.
（2）由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A,2∉A，－4∉A.
由3∈A得32－3a＋a2－19＝0，
解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
∴a＝－2.
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是（ ）
A．N⊆M B．M∪N＝M
C．M∩N＝ND．M∩N＝{2}
解析：
因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．
答案：
D
2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2}B．{3}
C．{－3,2}D．{－2,3}
解析：
注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．
答案：
A
3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3B．k≥－3
C．k>6D．k≤6
解析：
因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－
}，
且M∩N≠∅，所以－
≥－3⇒k≤6.
答案：
D
4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________.
解析：
∵A∩B＝{x|x是菱形}
∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．
答案：
{x|x是正方形}
5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：
由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，
M∩N＝{0,2}．
答案：
{0,2}
6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
解：
∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}
C．{x|0解析：
结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．
答案：
A
2．设集合M＝{x|－3A．{x|1≤x<2}B．{x|1≤x≤2}
C．{x|2解析：
∵M＝{x|－3∴M∩N＝{x|1≤x<2}．
答案：
A
3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是（ ）
A．t<－3B．t≤－3
C．t>3D．t≥3
解析：
B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.
答案：
A
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则（ ）
A．－3≤m≤4B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4D．2＜m≤4
解析：
∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，
∴
即2＜m≤4.
答案：
D
二、填空题
5．已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：
集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：
{1,2,4,6}
6．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.
解析：
用数轴表示集合A、B如图所示，
由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，
则m＝6.
答案：
6
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：
如图所示，若A∪B＝R，则a≤1.
答案：
a≤1
8．已知集合A＝{（x，y）|y＝ax＋3}，B＝{（x，y）|y＝3x＋b}，A∩B＝{（2,5）}，则a＝________，b＝________.
解析：
∵A∩B＝{（2,5）}．
∴5＝2a＋3.∴a＝1.
∴5＝6＋b.∴b＝－1.
答案：
1 －1
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：
（1）∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{
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