广州市高三二模数学试题及答案文科.docx

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广州市高三二模数学试题及答案文科

试卷类型：

A

2010年广州市普通高中毕业班综合测试

（二）

数学（文科）

2010.4

本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1•答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2•选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如

需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无

效.

4•作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案

无效.

5•考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

设全集U=讣2,3,4,5匚集合A=「2,3,4?

B「2,5?

，则B（euA）=

2.

3.

4.

B.〈1,2,5?

C.（1,2,3,4,51

已知i为虚数单位，若复数a2「1］亠［a•1i为实数,

A.-1

在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段两

端点A、B的距离都大于1m的概率是

1

A.-

4

1

C.-

2

1

B.-

3

2

D.-

3

如图1的算法流程图，若fx=2x,gx=x3.

则h2的值为

（注:

框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“:

A.9

B.8

C.6

D.•一

图1

D.4

5.命题“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是

xx

7.

若x.0且a■b1,则下列不等式成立的是

仰角相等的点的轨迹为

正确的是

（一）必做题（11〜13题）

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线I的参数方程为^1t，（参数LR）,“=4—2t.

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,

16.（本小题满分12分）

（1）求tan的值；

⑵求tani*亠2的值.

17.

20名学生某次考试成绩（满分100

（本小题满分12分）

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

数学成绩

95

75

80

94

92

65

67

84

98

71

67

93

64

78

77

90

57

83

72

83

物理成绩

90

63

72

87

91

71

58

82

93

81

77

82

48

85

69

91

61

84

78

86

某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级分）如下表所示：

若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀.

（1）根据上表完成下面的2X2列联表（单位：

人）：

数学成绩优秀

数学成绩不优秀

合计

物理成绩优秀

物理成绩不优秀

合计

20

（2）根据题

（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有

关系?

（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门

不优秀的概率•

参考数据:

为22列联表）为:

y1

y2

合计

x

a

b

a+b

X2

c

d

c+d

合计

a+c

b+d

a+b+c+d

②独立检验随机变量K2的临界值参考表:

P（K2*）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k。

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

18.（本小题满分14分）

在长方体ABCD-ABQiD,中，AB二BC=1,AA=2,

点M是BC的中点，点N是AA的中点.

⑴求证：

MN//平面ACD;

⑵过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-ABQiU截成

两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值.

19.（本小题满分14分）

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的•

某市用水收费标准是：

水费二基本费超额费定额损耗费，且有如下三条规定：

1

a元；

n元的超额费;

若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费

2若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付

3每户每月的定额损耗费a不超过5元.

（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；

（2）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

月份

用水量（立方米）

水费（元）

-一-

4

17

-二二

5

23

三

2.5

11

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m,n,a的值.

20.（本小题满分14分）

22

已知椭圆G:

笃•爲=1（ab.0）的右焦点F2与抛物线C2：

y2=4x的焦点重合，

ab

5

椭圆Cl与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,

3

圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|=4.

（1）求椭圆G的方程；

（2）证明：

无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆Ci上一定点.

21.

（本小题满分14分）

fl1

（i）判断数列g'是否为等差数列，并说明理由

2nJ

n+n

⑵证明：

1anbn1.

2010年广州市普通高中毕业班综合测试

（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：

1•参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.

2•对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3•解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4•只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

、选择题：

本大题主要考查基本知识和基本运算•共10小题，每小题5分，满分50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

B

C

C

B

D

A

C

5小题，考生作答4小题，每小题5分,

、填空题：

本大题主要考查基本知识和基本运算•本大题共满分20分•其中14〜15题是选做题，考生只能选做一题.

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤•

16•（本小题满分12分）

（本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识，考查化归与转化的数学思想方法

和运算求解能力）

（兀）

I0，?

!

，

cos：

sina

二tan:

cosa

1

⑵解法1：

•••tanJ,

3

2tan-

21

3_

2

1—1

3

...,2=潮：

潮2〔

1-tanatan2卩

13

24

=2.

解法2

■-tan:

■:

亠，］

-tan二tan:

11

23

“11

1一-

23

.tan：

2严

1-tan（a+P）tanP

6分

8分

10分

12分

6分

8分

10分

11

1

1-1-

3

=2.

12分

17.（本小题满分12分）

考查或然与必然的数学思想方法,

（本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）

（1）解：

2X2列联表为（单位：

人）:

数学成绩优秀

数学成绩不优秀

合计

物理成绩优秀

5

2

7

物理成绩不优秀

1

12

13

合计

6

14

20

4分

（2）解：

提出假设H。

：

学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.

根据列联表可以求得K2=2°（512一12）：

•8.8027.879.,6分

6汉14^7^13

当Ho成立时，P（K27.879）=0.005.

所以我们有99.5%的把握认为：

学生的数学成绩与物理成绩之间有关系,8分

（3）解：

由

（1）可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，

则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人.，10分

153

故从20名学生中抽出1名，抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为一二一.,12分

204

18.（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,

以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证法1：

设点P为AD的中点，连接MP,NP.

•••点M是BC的中点，

•••MP//CD.

•••CD平面ACD,MP二平面ACD,

•MP//平面ACD.,2分

•••点N是AA的中点，

•NP//AD.

•AD平面ACD,NP二平面ACD,

NP//平面ACD.

MPNP=P,MP平面MNP,NP平面MNP,

•••平面MNP//平面ACD.

■/MN二平面MNP,

•MN//平面ACD.

其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱BiQCG-ANDDi.,8分

111

SqbcQB-BC11,

222

1

直三棱柱QBC-NAD的体积V^Sqbc鼻B,,10分

2

长方体ABCD-ABC1D-i的体积V=112=2,

3

•••直四棱柱RQCG-ANDU体积V2=7-V.

2

1

•V；21

■■

V2_3_3•

2

1

•所截成的两部分几何体的体积的比值为丄.，14分

3

（说明：

V2=3也给分）

Vi

19.（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识，考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象

概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识）

19a,0：

：

x_m,「i

（1）解：

依题意，得y二其中0：

：

：

a_5.,2分

9+n（x—m）+a,x>m.（**）

（2）解：

•••0:

:

:

a乞5,

•9=9a_14.

由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于

最低限量m立方米.，4分

x^4x5

将一'和一'分别代入…,

y=17y=23

17=9n4-ma,

得，6分

23=9n5-ma.

两式相减，得n=6.

代入17=9n4-mi亠a，得a=6m-16.，8分

又三月份用水量为2.5立方米，

x=25

若mv2.5，将彳■'代入（**）,得a=6m—13,

ly=11

10分

这与a=6m-16矛盾.

•m一2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量

_Lx=2.5，

将代入“，得1^9a,

y=11

a=6m-16,

11=9a.

解得a=2,

Im=3.

答：

该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量,

14分

且m=3,n=6,a=2.

20.（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、

与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）

2

（1）解法1：

•••抛物线C2:

y=4x的焦点坐标为（1,0）,

•••点F2的坐标为（1,0）.

•••椭圆G的左焦点F1的坐标为丘（-1,0），抛物线C2的准线方程为x=-1.

设点P的坐标为（捲，比），由抛物线的定义可知PF2=n+1,

52

•-X11，解得X1.

33

82

由=4x1，且y10,得y16.

133

•••点P的坐标为2,2.6.

13,3対丿

22

在椭圆G：

务占=1（ab0）中，c=1.

ab

r（3_1）2+（3屁0）2=4.

2a卄只|+|PF2|=｛（彳+1）2十（2怡-0）2

•-a=2,ba2-c23.

22

••椭圆C1的方程为--1.

43

解法2:

•抛物线C2:

y2=4x的焦点坐标为（1,0）,

••点F2的坐标为（1,0）.

抛物线C2的准线方程为x=T.

设点P的坐标为（捲，％），由抛物线的定义可知PF2=x,+1,

PF2

52

--x-i1，解得x1.

33

82

由y/=4x1，且y10得y6.

33

22

•••点P的坐标为（2,2J6）.

33

在椭圆G：

22

~2y^=1（ab0）中，c=1.

ab

c=1,

由丿a2=b2

4:

、9a29b

;c2,解得a=2,b-.一3.

24-1

2

22

••椭圆C1的方程为—-1.

43

（2）证法1：

设点T的坐标为（x0,y0）,圆C3的半径为r,

•••圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN戶4,

•|MN|=2汀2-X；4.

II222

•••圆C3的方程为（x-Xo）（y-yo）=4xQ.

•••点T是抛物线C2:

y2=4x上的动点,

•y0=4孤xo_0）.

_12

…x0y0.

4

12x222

把X。

y代入“消去x0整理得：

（1-一）y2-2yy。

•（X2•y2-4）=0.…

42

10分

方程［皿］对任意实数y0恒成立,

1-x=0,

2

•-2y=0,x2+y2-4=0.

解得X二2,,12分

ly=o.

22

•••点（2,0）在椭圆G：

?

y1上，

43

•••无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆G上一定点2,0.,14分

证法2：

设点T的坐标为（x0,y0）,圆C3的半径为r，

点T是抛物线C2:

y2=4x上的动点,

2

yo=4x°（Xo_0）.,7分

圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|=4,

|MN|=2,r2-x：

=4.

r卞4-x；.

圆C3的方程为（x-Xo）2•（y-y。

）2=4•X：

i,9分

令x。

=0,则y：

=4x°=0,得yo=0.

此时圆C3的方程为x2y2=4.,10分

x2+y2=4f

x=_2,

由tx2y2解得\

i+L=1,$=0.

.43

•••圆C3：

x2y^4与椭圆G的两个交点为2,0、-2,0.,12分

分别把点2,0、-2,0代入方程“…进行检验,

可知点2,0恒符合方程“…，点-2,0不恒符合方程：

；.

•无论点T运动到何处，圆C3恒经过椭圆G上一定点2,0.,14分

21.（本小题满分14分）

（本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括

能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：

数列为等差数列.，1分

®J

理由如下：

an1

bn

an

「1-a：

an1

bn

1

-an

1

an

一1-a2

n

-1

2'

-an

1an

1

1

1,

即

1

1

1

an1

an

an1

an

t对任意n三N

都有anbn=1,

•••数列丄是首项为1,公差为1的等差数列

._ana1

⑵证明：

•••4=3,且厲+匕=1,

由

（1）知丄=2n-1二n1.

an

bn二1-an

xTi

Inx

则f'xx—

（x—1）

十人iVX—1,

再令gxInx,

x

1-x

2~

x

1

当x-1时，gx：

：

：

0,

•函数gx在1,•：

：

上单调递减•

x—1

•••当x1时,gx:

g1=0,1卩J一1nx：

：

0.

x-1I「Inx

•••当x>1时,f'（x）=<0.

（x-1）2

•••函数

•••1:

:

:

1

fx=也_\在1,上单调递减.

x-1

1

+—

5

n

10分

f11.

InJ

n1

1

11-

n

n卅n

14分

•1-anbn1成立.