初中数学等腰三角形导学案.docx
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初中数学等腰三角形导学案
等腰三角形
学习目标：
1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理，并会运用其进行简单的证明.
2.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.
3.通过实例体会反证法的含义.
学习重点：
性质：
1.等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两底角相等.简述为:
等边对等角
2.性质定理的推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.简称：
三线合一
判定：
1.定义：
有两条边相等的三角形是等腰三角形
2.等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为:
等角对等边
学习难点：
证明等腰三角形的性质定理，见微课等腰三角形的性质讲解.等腰三角形重难点讲解.mp4
学法指导：
1.准备七上、七下、八上课本，遇到相关的旧知识遗忘时及时翻书查找整理.
2.认真仔细阅读课本P2-6到想一想上面部分，P7.1.2.4题的内容，P8-10到问题解决，标记出新的知识点，记出不懂的问题.
3.在折纸过程中思考辅助线的添加方法，一题多证，优化思路.
4.学会用符号语言表达定理，并应用其进行相关题目的证明.
学习准备：
一、8条基本事实
1.两点确定.
2.两点之间最短.
3.同一平面内，过一点与已知直线垂直.
4.同位角，两直线平行.
5.过有且只有一条直线与这条直线平行.
6.分别相等的两个三角形全等.（SAS）
7.分别相等的两个三角形全等.（ASA）
8.分别相等的两个三角形全等.（SSS）
二、三角形全等的判定方法
在∆ABC和∆DEF中在∆ABC和∆DEF中
∴∆ABC≌∆DEF（）∴∆ABC≌∆DEF（）
在∆ABC和∆DEF中在∆BCE和∆DCF中
∵AB=DE∵∠A=∠D
BC=EF∠B=∠E
AC=DFBC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（SSS）∴∆ABC≌∆DEF（AAS）
三、三角形关于边和角的相关知识
1.三角形两边之和.
2.三角形三个角的和是度.
3.三角形的一个外角两个内角的和.
四、等腰三角形的有关概念
五、等腰三角形中有关边的计算
1.等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为4cm，
则等腰三角形的周长为cm.
2.等腰三角形的一边长为6cm，底边长为4cm，
则等腰三角形的周长为cm.
3.等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为3cm，
则等腰三角形的周长为cm.
课后习题：
随堂练习P3
习题1.1
习题1.2
随堂练习P9
习题1.3
课后习题答案
P3随堂练习
1
（1）解:
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180o,
∠A=40o
∴∠C=
（180o-40o）
=
×140o=70o
（2）解：
由
（1）得∠C=∠B,
∵∠B=72o
∴∠C=72o
∴∠A=180o-2×72o
=180o-144o=36o
2
（1）证明:
∵AC⊥BD
∴∠ACB=∠ACD=90o
在∆ABC和∆ADC中
∵AC=AC
∠ACB=∠ACD
BC=DC
∴∆ABC≌∆ADC（SAS）
∴AB=AD
∴∆ABD是等腰三角形
（2）解:
∵AC=BC
∴∠B=∠BAC（等边对等角）
∵AC⊥BD
∴∠ACB=90o
∴∠BAC=
（180o-90o）=45o
同理∠CAD=45o
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90o
习题1.1
1.已知，已知，公共边，SSS
全等三角形的对应角相等.
2.证明：
∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
∴BC=EF
在∆ABC和∆DEF中
∵AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（SSS）
∴∠A=∠D
3.解：
∵AB=AC,AD⊥BC,
∠BAC=108°
∴∠BAD=
∠BAC=54o
（三线合一）
4.答：
相等的角有：
∠ABC=∠ACB，∠BED=∠CED
∠ABE=∠ACE，∠AEB=∠AEC
∠EBD=∠ECD，∠ADB=∠ADC
∠BAD=∠CAD，
证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等角对等边）
又∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90o
在∆ABE和∆ACE中
∵AB=AC
∠BAE=∠CAE
AE=AE
∴∆ABE≌∆ACE（SAS）
∴∠ABE=∠ACE，∠AEB=∠AEC
BE=CE
∴∠BED=∠CED（等角的补角相等）
∠EBC=∠ECB（等边对等角）
5已知：
∆ABC和∆DEF中
AB=AC,DE=DF,∠A=∠D,BC=EF
求证：
∆ABC≌∆DEF
证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=
（180o-∠A）
同理，在∆DEF中
∠E=
（180o-∠D）
∵∠A=∠D
∴∠B=∠E
在∆ABC和∆DEF中
∵∠A=∠D
∠B=∠E
BC=EF
∴∆ABC≌∆DEF（AAS）
或证∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
用ASA证全等
6.请看微课典型习题一讲解等腰三角形典例讲解一.mp4
P7习题1.2
1.请看微课典型习题三讲解等腰三角形典例讲解三.mp4
2.证明一：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AE=AF
∴AB-AE=AC-AF
即BE=CF
∵D是BC中点
∴BD=CD
在∆BDE和∆CDF中
∵BE=CF
∠B=∠C
BD=CD
∴∆BDE≌∆CDF（SAS）
∴DE=DF
证明二：
连结AD
∵AB=AC,D是BC中点
∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
在∆ADE和∆ADF中
∵AE=AF
∠1=∠2
AD=AD
∴∆ADE≌∆ADF（SAS）
∴DE=DF
4
（1）证明一：
连结AC
在∆ABC和∆ADC中
∵AB=AD
BC=DC
AC=AC
∴∆ABC≌∆ADC（SSS）
∴∠1=∠2
∵E、F分别是AB、AD的中点
∴AE=
AB,AF=
AD
∵AB=AD
∴AE=AF
在∆AEC和∆AFC中
∵AE=AF
∠1=∠2
AC=AC
∴∆AEC≌∆AFC（SAS）
∴CE=CF
或由第一组全等证∠B=∠D，
再证BE=DF,
用SAS证∆BCE≌∆DCF
证明二：
连结BD
∵AB=AD,BC=DC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4
∴∠EBC=∠FDC
∵E、F分别是AB、AC的中点
∴BE=
AB,DF=
AD
∵AB=AD
∴BE=DF
在∆BCE和∆DCF中
∵BE=DF
∠EBC=∠FDC
BC=DC
∴∆BCE≌∆DCF（SAS）
∴CE=CF
（2）相等，相等，只要AE=
AB,AF=
AD
就可以证明CE=CF
（3）∠BEC=∠DFC或∠BCE=∠DCF
P9随堂练习
1.请看微课典型习题二讲解等腰三角形典例讲解二.mp4
2.证明：
假设这五个正数没有一个大于或等于
，
即都小于
，则五个数的和小于1，
这与已知五个数的和等于1矛盾，
所以这五个正数中至少有一个大于或等于
.
习题1.3
1.证明：
∵AD∥BC
∴∠1=∠B,∠2=∠C
∵∠1=∠2
∴∠B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
2.证明一∵EP⊥BC
∴∠E+∠C=90o,
∠B+∠BFP=90o
（直角三角形的两锐角互余）
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠E=∠BFD（等角的余角相等）
∵∠EFA=∠BFD
∴∠EFA=∠E
∴AE=AF（等角对等边）
∴∆AEF是等腰三角形
证明二：
过A作AD⊥BC于D
∵EP⊥BC
∴∠EPC=∠ADC=90o
∵AD∥EP
∴∠1=∠E,∠2=∠3
∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠1=∠2（三线合一）
∴∠E=∠3
∴AE=AF（等角对等边）
∴∆AEF是等腰三角形
3.
（1）分类讨论，有两种
当∠α为顶角时，用SAS做；
当∠α为底角时，先借助平角减去2∠α得出顶角大小，
再用SAS或ASA做.
（2）∵α为钝角
∴α只能为顶角
同
（1）的第一种
4.解：
∵∠NBC=∠C+∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴∠C=∠EBC-∠B=84°-42°=42°
∴∠C=∠B
∴BC=AB=18×10=180（海里）
答:
从B到灯塔C的距离为180海里.
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