角的平分线的性质教案.docx

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角的平分线的性质教案

“角的平分线的性质”教案、教案说明及点评

执教人李捷（湖北省襄樊市第三十二中学）

点评人许芬英（浙江省教育厅教研室）

教案

一、教材的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法。

本节分为两课时：

第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质和判定，并在此基础上进行简单应用。

本节课是第二课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型、解决实际问题。

二、教学重、难点

重点：

掌握角的平分线的性质和判定

难点：

理解性质和判定的互逆关系,并能正确运用它们解决问题

三、教学目标

1.知识与技能：

掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题。

2.过程与方法：

通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：

经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。

四、教学过程

教学的流程图是：

（1）

创引

设入

情新

景知

（2）

动探

手究

操新

作知

（3）

初巩

步固

运新

用知

（4）

变深

式化

训新

练知

（5）

提拓升展

练新

习知

（6）

归布纳置

小作

结业

1．创设情景，引入新知

在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？

它们有怎样的数量关系呢？

在这里设计这样一个实际问题：

让学生动手画最短的路，从实际问题中抽象出点到直线的距离，从而第一次建立数学模型；然后以“这两条最短的路有怎样的数量关系”引入本节课的内容，由此让学生感知数学与实际生活是紧密相连的。

2．动手操作，探究新知

在这个环节中，安排了两个活动。

活动一：

（1）你能否通过折叠的方式将∠AOB平分呢？

（2）你能否进行第二次折叠，折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）呢？

（3）将折叠的图形展开，观察两次折叠形成的三条折痕？

你能得出什么结论？

（4）这一结论，你能用数学知识来证明吗?

让学生按这两个步骤进行折纸活动，展开所折的图形，观察到：

第一次折叠所得折痕是角的平分线，另两条折痕则是角的平分线上的点到角的两边的距离。

可以看出这两个距离是相等的，同时由于不同的学生在第一条折痕上所取的点的位置不同，可以猜想出：

角平分线上任意一点到角的两边的距离都是相等的。

随后，引导学生用所学知识对猜想进行证明。

在折纸活动中，应重点关注：

学生能否折出以第一条折痕为斜边的直角三角形；而在证明的过程中，应重点引导学生结合图形分析猜想的已知、求证。

以及得出性质之后，用符号语言加以表示。

随后安排这样一组判断题，将性质的条件进行删减:

第一题只有角平分线，第二题只有点到直线的距离；使得图形看似相似，实则不同，目的是让学生明确性质的两个条件缺一不可，从而加深对性质的理解。

练习一：

判断：

（1）如图1,OP是∠AOB的平分线，则PE=PF（）

（2）如图2,PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE=PF（）

（3）在∠AOB的平分线上任取一点Q，点Q到OA的距离等于3cm,则点Q到OB

距离等于3cm（）

活动二：

到这儿,学生可以利用角的平分线的性质解释“为什么引例中两条最短的路相等”。

然后改变引例问题的情景：

如图3，

（1）要在S区建一集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处?

（2）在

（1）的条件下,集贸市场要离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处?

（在图上标出它的位置，比例尺为1:

20000）。

图3

学生利用所学知识可以画出集贸市场的位置，并且会发现可以建无数个满足条件的集贸市场，而这些集贸市场都建在公路与铁路所成角的平分线上。

从而得出另外一个猜想：

到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

得到这个猜想后，应同前面性质的证明一样重点引导学生结合图形写出猜想的已知、求证，让学生独立完成证明，从而得出判定：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

紧接着设计第二组判断题，在第一组判断题的基础上，将条件进行改变，目的是让学生巩固角的平分线的判定，感受性质与判定的区别与联系。

练习二：

判断：

（1）如图4，若PE=PF，则OP是∠AOB的平分线。

　（）

（2）如图5，若PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则OP是∠AOB的平分线。

　（）

（3）已知Q到OA的距离等于3cm,且Q到OB距离等于3cm，则Q在∠AOB的平分线上。

（　　）

3．初步运用，巩固新知

在引例的基础上进一步改变问题的情景：

如图，若要在S区建一个集贸市场，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等，请问集贸市场应建于何处？

学生利用前面所学的知识分析可以知道：

在S区集贸市场的位置是其中两条角平分线的交点，那么点P到三边的距离一定相等吗？

从而引出例1。

例1如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

（1）求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

（2）求证：

点P在∠BAC的平分线上

在这个例题中,由于结论涉及到点到直线的距离，而学生又很少接触到作辅助线的问题，因此，首先引导学生过点P向三边作垂线段，然后利用角的平分线的性质可以证出：

PD=PE，PF=PE，从而得出点P到三边的距离都相等。

接着提出：

点P在∠BAC的平分线上吗？

三角形的三条角平分线有什么关系呢？

由于PD=PF，因此点P在∠BAC的平分线上，那么三角形的三条角平分线也就相交于一点。

4．变式训练，深化新知

将例题进行变式：

变式1如图,点P是△ABC的两个外角平分线，BM、CN的交点，求证：

点P在∠BAC的平分线上。

变式2如图,△ABC的一个外角的平分线BM与∠BAC的平分线AN相交于点P，求证：

点P在△ABC另一个外角的平分线上。

5．提升练习拓展新知

（1）拓展：

在活动三的基础上，将问题进一步开放：

如图，若要建一个集贸市场，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等，请问集贸市场应建于何处？

在活动三中，学生已经能够在S区找到集贸市场的位置，那么此题中符合条件的集贸市场只有这一个吗？

通过例题和变式的学习，学生不难发现还有另外三个满足条件的点，所以这个集贸市场可以建在这四个点所在的位置。

（2）课外探究:

为了进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力，设计了这样一个探究活动：

如图：

已知方格纸中每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，OP是∠AOB的平分线。

若将一个直角三角板的直角顶点放在OP上任意一点，并使两直角边与角的两边相交。

请问直角三角板的直角顶点与交点的距离有怎样的关系？

请说明理由。

6．归纳小结，整理反思

（1）所学知识:

角的平分线的性质和判定

（2）数学方法:

过角的平分线上的点向角的两边作垂线段是解决有关角的平分线的问题时常用的方法

7．布置作业

（1）必做题教材：

第23页第4、5题；

（2）选做是前面的课外拓展。

教案说明

本节课的内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十一章第三节“角的平分线的性质”（第二课时），下面将从以下几个方面加以说明：

1．数学本质：

本节课围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学活动，让学生经历角的平分线的性质和判定的形成与初步应用过程，从而更好的理解性质和判定的区别与联系，增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力。

2．教学目标定位：

本节课的重点是掌握角的平分线的性质和判定，而理解性质和判定的互逆关系，正确运用它们解决问题是本节课的难点。

因此，我在教学中设计了三个活动，让学生通过实际问题去发现数学问题，再利用已学知识加以证明，最后用这些数学知识回归到解决实际问题中去。

在活动中，学生通过相互交流、探讨，经历动手操作、观察、交流、归纳等过程，帮助学生积累数学活动的经验，发展有条理的思维及初步的演绎推理能力。

同时在活动中，为学生留有探究和交流的空间，有利用于改变学生的学习方式，变被动学习为主动学习，提高学习的积极性。

因此，根据以上分析及课程标准的要求，我将从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面确定教学目标。

知识与技能

掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题。

过程与方法

通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。

情感态度

与价值观

经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。

3．教材的地位和作用：

本节课是在学习了全等三角形及角的平分线的画法后，进一步探究有关角的平分线的性质。

这一内容不仅是全等三角形知识的运用和延续，更为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法。

性质和判定是一种互逆关系，教学时引导学生分析它们的题设、结论，通过比较，认识它们的区别和联系，为今后学习互逆命题打下基础。

七年级下册学生在画三角形的三条角平分线时发现它们是相交于一点的，本节课通过例题的学习从理论上给出了证明。

同时提供了一种证明三线共点的方法，为九年级学习内切圆的圆心（也就是三角形的内心）作了铺垫。

4．教学诊断分析：

（1）在折纸活动中，学生在折以第一条折痕为斜边的直角三角形时遇到很大困难，原因是他们不了解以第一条折痕为斜边折的直角三角形是为了产生角的平分线上的点到角的两边的距离，为猜想出性质作铺垫。

因此，这里我安排分组活动，让学生在活动中相互交流，从而寻找正确的第二次折叠的方法。

（2）判定引入的问题学生很容易回答，但要从中发现判定这一结论则比较困难。

由于受性质的影响，同时也不容易从题目中获取有效的信息，因此在分析条件时会出现漏掉部分条件或条件、结论颠倒。

针对这一情况，在此设计了“判定引入与引例在条件、结论方面有什么不同”这一问题，鼓励学生在组内相互探讨、交流，以便在交流中发现判定引入的条件应有两个“到公路、铁路的距离”及“距离相等”，为得出判定创造条件，通过比较也让他们初步感悟性质与判定的区别与联系，为突破难点打下基础，

（3）例题引入中，学生很容易画出满足条件的集贸市场的位置，而利用性质还是判定来解释画图的依据大部分学生容易出现错误，原因是他们不能从题目中获取相关信息，以及对性质和判定的理解不透彻。

所以更要引导学生相互交流共同探讨，寻找出正确画图的依据。

在例题的证明中，由于结论涉及到点到直线的距离，而条件中又没有给出，因此应过交点向三边作垂线段，从而利用性质来进行证明。

这是学生第一次接触辅助线，接受起来比较难，所以要适时地引导学生分析为什么要作辅助线、怎样作辅助线、如何叙述作辅助线的过程，尤其重点关注为什么要作辅助线的问题，这也是学生最难理解的。

5．教法特点及预期效果分析：

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采用启发、引导式的教学方法，体现以教师为主导、学生为主体的新的课堂模式。

以“问题”方式引导学生的活动和思考，以“变式”的形式使学生体会相关知识之间的联系和整体性。

具体如下：

（1）问题情境：

以“怎样修到公路、铁路距离最短的路”这一实际问题为切入点，激发学生的求知欲；接着在引例的基础上以建集贸市场为主线，由在S区找出到一条铁路和一条公路距离相等的点，进而引申出到两条公路和一条铁路距离都相等的点；最后拓展到找出所有满足到两条公路和一条铁路距离相等的点。

随着情境的变化，问题层层加深，学生在熟悉的知识背景下逐一将问题解决，使得他们的思维螺旋上升。

（2）活动探究：

由活动一的折纸活动探究出性质；将引例的条件、结论互换得到活动二，从而探究出判定；最后在活动二的基础上增加一条公路得到活动三，它是对性质和判定的综合运用。

通过学生的活动和探究，让他们逐步学会如何从实际问题中建立数学模型，增强应用数学的意识。

（3）变式训练：

例一是对性质和判定的综合运用。

对例题进行变式：

将两条内角平分线变为两条外角平分线相交或一条外角、一条内角平分线相交，相对应的结论还成立吗？

这样既能使整节课的知识体系完整，又能让学生掌握解决这一类问题的方法。

通过一系列的问题设计，使得本节课的各种目标得以有效达成，学生在轻松、快乐的课堂氛围中自主探索新知，这样使得每位学生在本节课中都能得到不同的收获。

最终实现“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学以及不同的人在数学上都能得到不同的发展”。

点评

李捷老师运用让学生动手画图、折纸，合作探索、交流等多种学习方式，以激发学生兴趣，调动学习积极性，引发数学思考为出发点设计和组织本节课的教学，让学生经历了观察、实验、猜测、推理、验证等活动过程。

整节课在师生积极参与、交往互动、共同发展的过程中进行，以下特色和亮点，可供我们学习借鉴：

1．教学目标明确，符合课标、教材要求和学生实际

李捷老师选择的教学内容和设计的问题，能紧紧围绕课程标准和教材对角平分线性质和判定的本质要求，将教材中的折纸问题用引例（贸易市场问题）铺垫、将教材中的集贸市场建设问题细化为两问等，充分考虑了学生的实际水平；在解决S区域内集贸市场建设问题的基础上，让学生进一步思考“如果没有S区域的限制，市场应建在何处？

”等，充分体现了问题要求的层次性，面向全体学生。

此外李捷老师对每个教学环节的学习和操作要求都非常清晰明确，使学生明白要研究和探索的问题，有力提高了学习活动的可操作性和有效性。

2．情境创设合理，提高学习兴趣和探究欲望

李捷老师充分利用教材资源，根据教材中的集贸市场建设问题，改编了已有市场建路、有三条路时集贸市场应建在何处等问题，将教学内容用系列的问题串联，既反映数学本质，又使这节课有一个好的形态、好的结构，让学生在不断地探索和解决问题中学习，提高了教学的有效性和学习兴趣。

3．合作交流有效，有助经验共享和问题本质理解

李捷老师这节课中，有两处比较有效的师生合作交流，一处是在折纸活动后，学生按要求折出角平分线和角平分线上的点到角两边的“距离”，然后老师引导学生交流，观察两次折叠后形成的三条折痕，能得出什么结论？

学生轻松得出：

“距离相等”。

随后老师示范，说明折叠时取点的随意性，取不同点时，都能得出“距离相等”这个同样的结论，由此让学生感悟：

角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。

紧接着又采用问题：

角平分线上有多少个点？

引导学生思考并感受，角平分线上有无数个点，靠折纸不可能取遍所有点，体会用数学推理的方法证明猜想成立的必要性。

当然这里如果老师能让学生相互间交流折纸时取点是否相同，由此体会取点的任意性，会比老师再行示范折叠更加有效，并且能充分体现学生的主体性和合作的必要性。

另一处有效的交流是在学生画出S区内到两条公路和一条铁路距离相等的集贸市场位置，并证明三角形两条角平分线的交点到三角形三边的距离相等之后，李捷老师引导学生交流S区内到两条公路和一条铁路距离相等的集贸市场位置的不同画法，通过讨论，明确了三角形的三条角平分线相交于同一点；画到三角形三边距离相等的点只需画两条角平分线的交点等。

这样的交流，能使学生对问题的本质有深刻的理解。

4．及时归纳提炼，达到基础知识的落实和基本能力的提升

李捷老师在这节课的每一个环节上，都能及时引导学生进行有益的反思和归纳提炼。

例如在学习了角平分线的判定后，能及时引导学生比较判定与性质的区别与联系，促进学生建构新的认知结构。

在角平分线的性质和判定的证明后，都能及时引导学生归纳，使用角平分线的性质或判定需要的条件和结论，以及使用符号语言的书写规范等。

在例题教学及变式练习后，及时归纳过角平分线上的点向角的两边作垂线段是利用角平分线性质或判定解决问题的常用方法。

可以改进的地方：

1．在折纸活动后的交流中，可以让学生相互间比较各自折出的角平分线上的点的位置是否相同，由此感受尽管角平分线上点的位置不同，但都有到角的两边的距离相等这个结论。

2．在证明了结论“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”后，应引导学生分析，由于两点确定一条直线，所以“以角的顶点为端点，经过角的内部到角的两边距离相等的点的射线就是角的平分线”，由此让学生感受并明白为什么这个结论可以作为角的平分线的判定，这样也许可以避免由于不理解的记忆而造成性质、判定混淆不清。

3．学生的质疑、提问，以及生生之间的交流尚显得不够。

如在学生交流画S区内到两条公路和一条铁路距离相等的集贸市场位置的不同画法时，学生对不同方法画出的点是不是同一点、三角形的三条角平分线是否相交于同一点等问题，有没有困惑？

课堂中没有反映。

又如，在学生口述例题

（1）证明三角形两条角平分线的交点P到三角形三边的距离相等时，说到“同理PF=PE”，老师问为什么？

该生说“因为都是用角平分线的性质，只不过数量不同而已”，没有学生提出质疑，教师问对吗？

学生都说对，教师也默认了。

其实学生的表述并不确切，不是数量不同，而是线段不同，数量恰是相等的。