人教版八年级数学上册角的平分线的性质 角平分线的性质教案.docx

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人教版八年级数学上册角的平分线的性质角平分线的性质教案

12.3角的平分线的性质

第1课时角平分线的性质

一、教学目标

（一）知识与技能

1.会作

已知角的平分线；

2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；

3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.

（二）过程与方法

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

（三）情感、态度与价值观

在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问

题的信心,获得解决问题的成功体验

.

二、教学重点、难点

重点：

角的平分线的性质的证明及应用；

难点：

角的平分线的性质的探究.　

三、教法学法

三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.

四、教与学互动设计

（一）激情导课

如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？

（二）民主导学

1、探究一：

角的平分线的作法

Ⅰ、议一议

问题1

请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线.

问题2

如图是一个平分角

的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?

问题3

通过上面的探究，你有什么启发？

你能用尺规作图作已知角的平分线吗？

请你试着做一做，并与同伴交流.

已知：

∠MAN

求作：

∠MAN的角平分线.

C

A

D

B

M

N

作法：

（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.

（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.

（3）画射线AC.

∴射线AC即为所求.

Ⅱ、练一练

平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？

思考：

你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？

请说明你的方法。

2、探究二：

角的平分线的性质

Ⅰ、做一做

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

试着证明你的结论.

（1）角的平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

（2）角的平分线性质的证明步骤：

①明确命题中的已知和求证;

已知:

一个点在一个角的平分线上.

结论:

这个点到这个角两边的距离相等.

②M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;

已知：

如图，∠AOC

=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.

求证:

PD=PE.

③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）

在△PDO和△

PEO中

∠PDO=∠

PEO（已证）

∠AOC=∠BOC（已证）

OP=OP（公共边）

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

符号语言

：

∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）

∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

Ⅱ、练一练

（1）下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____中PD＝PE.

（2）下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?

（3）在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？

它们有怎样的数量关系呢？

S

公路

铁路

P

思考：

角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?

3、角的平分线性质的应用

（1）如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为cm．

（第1题图）（第2题①图）（第2题②图）

（2）变式训练，深化新知

变式①，如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm，则AD+DE=cm.

变式②，如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF

求证：

CF=EA

（三）检测导结

1、目标检测（本测试题共三道题，相信大家一定会做得非常棒！

）

（1）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_____cm.

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

（2）

如图，点C为直线AB上一点，过点C作直线MN，使MN⊥AB.（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

（3）已知:

如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.

求证:

EB=FC.

2、请你谈谈学习这节课的收获.

（四）布置作业

1.必做题：

习题

2.思考题

如图，要在Ｓ区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺1：

20000）?

（五）结束寄语

严格性之于数学家,犹如道德之于人.

条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则.

希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！

五、板书设计

第1课时角的平分线的性质

1.角的平分线的作法

2.角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

3.应用

已知：

∠MAN已知：

如图，∠AOC=∠B

OC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，

求作：

∠MAN的角平分线垂足分别为点D、E.

求证:

PD=PE.

∴射线AC即为所求.符号语言：

∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.

∴PD=PE

六、教学反思

双基检测

1、如图5所示，在△ABC中，∠C=

，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：

DB=3：

5，则点D到AB的距离是___________。

2、如图6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N，则下列结论中错误的是（）

A．CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM

3、如图7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：

⑴图中相等的线段有哪些？

相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？

12．3　角的平分线的性质

第1课时　角平分线的性质

1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．（重点）

2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．（难点）

一、情境导入

问题：

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：

怎样修建道路最短？

问题2：

往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：

角平分线的作法

如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．

解析：

根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．

解：

∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝

∠CAB＝30°.

方法总结：

通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．

探究点二：

角平分线的性质

【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等

如图：

在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：

（1）CF＝EB；

（2）AB＝AF＋2EB.

解析：

（1）根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；

（2）利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：

（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵

∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

方法总结：

角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．5C．4D．3

解析：

过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝

×4×2＋

AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.

方法总结：

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合

如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：

CE＝CF.

解析：

由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

证明：

∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵

∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF.

方法总结：

全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

三、板书设计

角平分线的性质

1．角平分线的作法；

2．角平分线的性质；

3．角平分线性质的应用．

本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．