角平分线的性质教案.docx
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角平分线的性质教案
八年级数学上册教案备课人：
余发辉
全等三角形11.1
教学内容：
全等三角形
教学目标
1.理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质。
2.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉。
3.使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体念数学的乐趣，并能够利用性质解决简单的问题。
重点难点
探索全等三角形的性质
三角形全等的表示方法与准确找出全等三角形中的对应元素
教学准备
教师准备
三角形模板、剪刀
是否需要课件
课件备课已
另外准备
学生准备
小剪刀、几张较硬的纸
教学过程设计
一、提出问题，创设情境
问题：
你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
形状与大小都完全相同
要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．
二、动手操作，体验全等
让学生们把两张纸叠在一起，用小剪刀随意剪出一个图形，摆在桌子上观察两个图形，体验全等。
再用同样的方法剪出两个一样的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
叫学生阅读课本第2页概括全等形的准确定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念。
三、导入新课
用同学们所剪的三角形进行演示：
将△ABC沿直线BC平移得△DEF（图甲）；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC（图乙）；将△ABC旋转180°得△AED（图丙）．
议一议：
各图中的两个三角形全等吗？
启示：
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
请同学们阅读课本第3页的第二段回答小黑板上的问题。
1、两个全等三角形中，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做。
2、如图，△ABC和△DEF全等，如何用符号表示它们
__________________________
3、在表示的过程中应该注意什么问题？
____________________________
4、在上图中AB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是，∠A的对应角是，∠B的对应角是，∠C的对应角是。
同学们自己总结全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
四、例题讲解
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。
问题：
△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．
解题过程略
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
分析：
通过拆分三角形找对应边和对应角，发现规律，总结规律（对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角）
注意：
所写出的对应元素必须是两个全等三角形中的边与角。
解答过程略
[例3]已知，△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=6cm，
AC=4cm，求△DEF的周长。
（写在小黑板反面）
解：
因为△ABC≌△DEF，所以
DE=AB=5cm，EF=BC=6cm，DF=AC=4cm，
所以△DEF的周长=DE+EF+DF=5+6+4=15（cm）。
五、课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种：
（一）从运动角度看
1．平移法：
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
2．翻转法：
找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
3．旋转法：
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
（三）根据经验来判断
1.大边对应大边，大角对应大角
2.公共边是对应边，公共角是对应角
六、作业
课本习题11.1第1-4题。
留白：
（供教师个性化设计）
附：
板书设计§11．1全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用
例1：
（运动角度看问题）
例2：
（根据位置来推理）
例3：
（性质的应用）
四、小结：
找对应元素的方法
运动法：
翻折、旋转、平移．
位置法：
对应角→对应边，对应边→对应角．
经验法：
大边→大边，大角→大角．公共边是对应边，公共角是对应角。
教后反思：
留白：
（供心得体会与反思）
授课时间：
_____年_____月____日
八年级数学上册教案备课人：
余发辉
角平分线的性质11.3
教学内容：
角平分线的性质
（一）
教学目标
1.掌握角平分线的画法及角平分线的性质。
2.在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心。
3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神。
重点难点
利用尺规作已知角的平分线。
角的平分线性质的应用。
教学准备
教师准备
自制教具——平分角的仪器小黑板、折纸
是否需要课件
学生准备
折纸、小剪刀、直尺、圆规、三角板
教学过程设计
一、创设情境复习导入
老师出示下列问题:
问题1：
三角形中有哪些重要线段？
你能作出这些线段吗？
学生能由老师的引导认真的思考老师所出示的问题,并能找出正确的答案:
三角形中有三条重要线段，它们分别是：
三角形的高，三角形的中线，三角形的角平分线。
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足之间的线段就是这个三角形的高。
取三角形一边的中点，此中点与这个边对着顶点的连线就是这个三角形的一条中线。
用量角器量出三角形一个角的大小，画出这个角的平分线，这个角的平分线与对边相交，这个角的顶点与对边交点的线段就是这个三角形的角平分线。
注意：
三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的。
问题2:
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
（学生思索）
二、尝试活动探索新知
老师出示事先准备的自制教具——平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
老师引导分析其中的原理（运用逆向思维法分析）
欲证AC是∠DAB的平分线
∠CAB=∠CAD
△ABC≌△ADC
AB=AD,BC=DC,AC=AC
并引导学生给出正确的证明：
ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
在△ABC和△ADC中
老师出示问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法
三、尝试反馈理解新知
（一）老师出示小黑板上作已知角平分线的方法：
已知：
∠AOB．
求作：
∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
学生动手操作并议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
学生讨论后总结：
1、去掉“大于
MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以找不到角的平分线。
2、若分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧．两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB的内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。
（二）如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形,使第一条折痕为斜边,然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
学生能由老师的引导与组内的同学合作,进行有关的活动:
1、你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
2、按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出画的较大的两名同学的画图，请大家评一评。
3、你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
老师引导学生得出角的平分线的重要性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如何对文字命题进行论证呢？
如何对文字命题进行论证呢？
回顾三角形内角和定理的证明，一般情况下，我们要证明文字证明题，通常会按照以下三个步骤进行：
1、分析命题中的题设与结论，
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
师生共同写好已知、求证、画好图形，并进行分析，然后让学生自己完成证明。
已知：
如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证:
PD=PE
教师引导学生运用逆向思维法来进行分析：
欲证PD=PE
△PDO≌△PEO
∠PDO=∠PEO，OP=OP，∠1=∠2
PD⊥OA，PE⊥OBOC平分∠AOB
学生自己证明：
∵OC平分∠AOB（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO（已证）
∠1=∠2（已证）
OP=OP（公共边）
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
利用此性质怎样书写推理过程?
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E（已知）
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等。
）
注意：
应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
四、解析、应用与拓展
问题1：
任意画一个∠AOB，作它的平分线。
问题2：
已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD.求证：
PM=PN
N
N
分析：
要证PM=PN，可以证明点P在∠ADC的平分线上，也就是要证△ABD≌△CBD。
D
M
P
P
C
A
五、小结反思
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并探究了角平分线的性质。
五、布置作业
教材习题11.3第1、2题。
留白：
（供教师个性化设计）
附班：
板书设计§11．3角的平分线的性质
（1）
一、情境引入
二、自主探究
1、角的平分线的画法
2、角的平分线的性质
3、角的平分线性质的应用
三、总结提高
1、小结
2、巩固练习
教后反思：
留白：
（供心得体会与反思）
授课时间：
_______年_______月______日
八年级数学上册教案备课人：
余发辉
角平分线的性质11.3
教学内容：
角平分线的性质
（二）
教学目标
1.角的平分线的性质
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3.通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
角平分线的性质及其应用．
灵活应用两个性质解决问题．
教学准备
教师准备
小黑板、折纸
是否需要课件
学生准备
折纸、小剪刀
教学过程设计
一、复习导入
（见小黑板反面）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：
点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
E
F
证明：
过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
问题1：
点P是否在∠A的平分线上呢？
也就是说角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
说明三角形的三条角平分线有什么关系？
二、尝试活动探索新知
教师引导学生进行解决，利用全等三角形证明这个命题正确。
可让学生进行如下操作：
先画图，并写出已知、求证，再加以证明。
已知：
如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：
点Q在∠AOB的平分线上．
证明:
∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴∠QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
由此可得出：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
利用此性质怎样书写推理过程?
∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
问题1得以解决：
点P在∠A的平分线上；
三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这点到三边的距离相等。
三、应用新知解决问题
例1（见小黑板）如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:
20000）？
教师分析：
应该运用第二个性质，这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处，在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题，1米=100厘米，比例尺为1:
20000，就是1厘米表示200米。
学生自己解决。
例2如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：
AD是△ABC的角平分线。
证明：
∵D是BC的中点∴BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED和Rt△CFD中
BE＝CF
BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F
∴AD是△ABC的角平分线。
四、总结提高
1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为：
∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴QD＝QE
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
用数学语言表示为：
∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
五、布置作业
1、教材P22中的第3、4题.
2、同学们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个命题的题设与结论有什么关系？
以前学过这样的一对命题吗？
留白：
（供教师个性化设计）
附：
板书设计§11．3角的平分线的性质
（2）
一、复习导入
二、尝试活动探索新知
三、应用新知解决问题
四、总结提高
教后反思：
留白：
（供心得体会与反思）
授课时间：
_______年_______月______日
升级会员 