高中数学 63不等式的证明第三课时 大纲人教版必修.docx

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高中数学63不等式的证明第三课时大纲人教版必修

2019-2020年高中数学6.3不等式的证明（第三课时）大纲人教版必修

●教学目标

（一）教学知识点

综合法证明不等式.

（二）能力训练要求

1.理解综合法证明不等式的意义.

2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.

（三）德育渗透目标

掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.

●教学重点

1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.

2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A（已知）B1B2…BnB（结论）.运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.

3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:

（1）a2≥0或（a±b）2≥0.

（2）a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.

（3）,对a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”号.

（4）当a,b同号时有≥2,当且仅当a=b时取“=”号.

●教学难点

“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.

●教学方法

引导、探索、综合、归纳四步教学法.

●教具准备

幻灯片三张

第一张：

记作§6.3.3A

综合法证明不等式的常用关系

1.a2≥0或（a±b）2≥0;

2.a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;

3.,（a>0,b>0）,当且仅当a=b时取“=”号;

4.ab≤,（a,b∈R）;ab≤（）2,（a>0,b>0）,当且仅当a=b时取“=”号;

5.≥2,（ab>0）,当且仅当a=b时取“=”号;

第二张：

记作§6.3.3B

［例2］

（1）设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:

8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）≤.

（2）设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:

abc>（b+c-a）（a+b-c）（c+a-b）

（3）已知a>0,b>0,a+b=1,求证:

（1+）（1+）≥25.

（4）设x>0,y>0,求证:

（x2+y2）>（x3+y3）.

第三张：

记作§6.3.3C

课后练习：

1.证明下列不等式:

（1）a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2；

（2）（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc（a>0,b>0,c>0）.

2.制造一个容积为V（定值）的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情形,求:

怎样选取底半径与高的比,使用料最省?

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.

（打出幻灯片§6.3.3A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读幻灯片§6.3.3A）

我们要掌握下面重要的不等关系:

（1）a2≥0,或（a±b）2≥0;

（2）a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;

（3）,（a,b∈R+）,当且仅当a=b时取“=”号;

（4）ab≤,（a,b∈R）;ab≤（）2,（a>0,b>0）,当且仅当a=b时取“=”号;

（5）≥2,（ab>0）,当且仅当a=b时取“=”号；

今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.

Ⅱ.讲授新课

（简述“综合法”证明不等式的基本思想）

［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.

（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）

下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.

［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc.

［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：

a2+b2≥2ab;还可以这样思考：

不等式左边出现有三次因式：

a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：

a3+b3+c3≥3abc.（教师引导学生，完成证明）

［生］∵a>0,b2+c2≥2bc

∴由不等式的性质定理4，得

a（b2+c2）≥2abc.①

同理b（c2+a2）≥2abc,②

c（a2+b2）≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.

由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc.

由不等式的性质定理3的推论，得

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc.

［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.

2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.

（打出幻灯片§6.3.3B，教师把握好课堂教学时间，合理安排，选讲例2中的部分题目，其余留给学生完成）.

［例2］

（1）设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：

8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）.

（2）设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：

abc>（b+c-a）（a+b-c）（c+a-b）.

（3）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：

（1+）（1+）≥25.

（4）设x>0,y>0,求证：

（x2+y2）>（x3+y3）

［师］仿照例1，我们用综合法证明不等式.

［生］

（1）∵a>0,b>0,c>0且a+b+c=1∴1-a=b+c>0

同理，1-b=a+c>0,1-c=a+b>0

∴（1-a）（1-b）（1-c）=（a+b）（b+c）（a+c）

∵a+b≥2>0,b+c≥2>0,a+c≥2>0

∴由不等式的性质定理4的推论1，得

（a+b）（b+c）（a+c）≥2·2·2=8abc

（2）∵a,b,c为一个不等边三角形的三边

∴a>0,b>0,c>0且a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0.

由于三角形是不等边三角形，上述三式不能同时取“=”号

∴由不等式的性质定理4的推论1，得

abc>（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）

（3）设y=（1+）（1+）

∵a>0,b>0,a+b=1

∴a2+2ab+b2=1

∴a2+b2=1-2ab

∴y=1+

令t=,则y=2t2-2t+1.

即0

∴≥4,即t∈［4,+∞）

由二次函数的性质可知：

（对称轴t=）

y=2t2-2t+1,在t∈［4,+∞）上是增函数.

∴当t=4时，y取最小值25.

故（1+）（1+）≥25.

（4）∵x>0,y>0

∴（x2+y2）3=x6+y6+3x2y2（x2+y2）≥x6+y6+6x3y3>x6+y6+2x3y3=（x3+y3）2

由不等式的性质，两边同时开6次方，得

（x2+y2）>（x3+y3）.

［师生共析］1.具有对称轮换性质的不等式证明，可就其一项或一个因式先处理，其他可同理得到，如

（1）、

（2）.

2.若给出形如a>0,b>0且a+b=1类型的题目，一般都经过恒等变形，把其他式子都化归成与ab有关系的式子，然后根据函数的有关性质去证明或探究，这种方法特别在这种条件下的最值很有效.

3.用“算术平均数与几何平均数定理（称均值不等式）”证明题时，要注意为达目标可先宏观，而后微观.

4.均值不等式在运用时，常需先凑形后运用，变形后的不等式：

ab≤（）2,（a>0,b>0）经常用到.

Ⅲ.课堂练习

1.已知xy>0,求证xy++≥4.

分析：

根据不等式的结构特点，我们可直接运用重要不等式：

≥2,（a,b同号，即ab>0）.

证明：

∵xy>0

∴,都大于零

∴xy+≥2=2,当且仅当xy=1时取“=”号.

≥2=2,当且仅当=1时取“=”号.

由不等式的性质定理的推论，得

xy+≥4

注意：

利用a≥b,c≥d推出a+c≥b+d时，必须强调当且仅当a=b且c=d时取“=”号.如果找不到a=b与c=d同时成立的条件，说明a+c=b+d的条件不具备，即得a+c>b+d.例如：

由x>0时，得x+≥2,此时，x+0.5>0,>0,可得x+0.5+≥2,但x++（x+0.5）+≥2+2,其中“=”号不成立，即x++（x+0.5）+>4.

同样，由a≥b>0,c≥d>0ac≥bd时，也要注意当且仅当a=b且c=d时取“=”号，无此条件，只能得ac>bd.

2.已知a>b>0,0

分析：

本题根据其结构特点，可创设运用不等式的基本性质，最后得证.

证法一：

∵a>b>0,c>0∴①

又00,

∴<,且>0,②

由①和②可知：

.

证法二：

∵a>b>0,d>c>0

∴ad>bc

又∵cd>0∴.

注意：

本题的结论可作为不等式的性质直接应用.即不等式各字母均为正数，异向不等式相除，得与被除式同向的不等式.

3.已知a,b是不相等的两个正数，求证（a+b）（a3+b3）>（a2+b2）2.

分析：

不等式左端（a+b）（a3+b3）=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,从而所证不等式即ab3+a3b>2a2b2,又a>0,b>0且a≠b,也就是证a2+b2>2ab.这显然是成立的，证法可任选比较、综合、分析（后面即将要学）之一.

证明：

（用综合法证明）

∵a>0,b>0且a≠b

∴a2+b2>2ab,∴ab（a2+b2）>2a2b2

∴a4+ab（a2+b2）+b4>a4+b4+2a2b2

即（a+b）（a3+b3）>（a2+b2）2

Ⅳ.课时小结

本节课，我们学习了“综合法”证明不等式，其核心是引导我们运用已有知识（已知或已知成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理，启发大家从不同角度去思考问题，去主动获取新的知识，鼓励我们敢于创造独特、新颖的思想方法和见解.同时也注意培养了我们坚持实事求是的良好思维品质.

Ⅴ.课后作业

（一）（打出幻灯片§6.3.3C，让学生记录下题目，做为课后练习，完成证明或解答）

1.证明下列不等式：

（1）a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

（2）（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc（a>0,b>0,c>0）

证明：

（1）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2

∴将上面三个不等式相加，得

2（a4+b4+c4）≥2（a2b2+b2c2+c2a2）

故a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

（2）∵a>0,b>0,c>0,

∴a+b≥2>0,b+c=2>0,c+a≥2>0

将上面三个同向不等式相乘，得

（a+b）（b+c）（c+a）≥8···=8abc

故（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc.

2.制造一个容积为V（定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：

怎样选取底半径与高的比，使用料最省？

分析：

根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路.

解：

设容器底半径为r,高为h,则V=πr2h,h=.

（1）当容器有盖时，所需用料的面积：

S=2πr2+2πrh=2πr2+

=2πr2++

≥3

当且仅当2πr2=,即r=,h==2r,取“=”号.

故时用料最省.

（2）当容器无盖时，所需用料面积：

S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3

当且仅当πr2=,r=,h==r.

即r=h时用料最省.

（二）1.预习内容：

课本P15~16“分析法”证明不等式.

2.预习提纲：

（1）什么是分析法？

它的基本思想是什么？

（2）分析法适合证明哪类不等式？

●板书设计

§6.3.2不等式的证明（三）

综合法［例2］课时小结

1.定义

2.应用课堂练习课后作业

［例1］

2019-2020年高中数学6.3不等式的证明（第二课时）大纲人教版必修

●教学目标

（一）教学知识点

1.公式法证明不等式.

2.两正数和为定值或积为定值求最值.

（二）能力训练要求

1.掌握用公式法证明不等式.

2.理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值.

（三）德育渗透目标

利用公式法证明不等式，既培养了学生观察应变的逻辑思维能力，又培养了学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.

●教学重点

公式法证明不等式.

1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，取等号.

2.a>0,b>0,,当且仅当a=b时取等号.

（1）若ab为定值P,则当a=b时，a+b有最小值2.

（2）若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.

3.利用求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：

（1）两数均为正数；

（2）两正数之和或之积为定值；（3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等.

●教学难点

1.对一些条件不等式，条件的合理利用.

2.求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.

●教学方法

读、议、练、讲单元教学法

●教具准备

幻灯片两张

第一张：

记作§6.3.2A

公式法证明不等式

一、基本公式

（1）若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.

（2）若a,b∈R,则,当且仅当a=b时取“=”号.

①若ab为定值P，则当a=b时，a+b有最小值2.

②若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.

二、基本公式的等价形式及推广

（1）ab≤（a,b∈R）,当且仅当a=b时取“=”号.

（2）ab≤（）2（a>0,b>0）,当且仅当a=b时取“=”号.

（3）≥2（ab>0）,当且仅当a=b时取“=”号.

第二张：

记作§6.3.2B

基本公式及其推广的应用：

［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1,求证：

（1）≥4;

（2）a2+b2≥;

（3）≥8;（4）a3+b3≥;

（5）;（6）（1+）（1+）≥9;

（7）（1-）（1-）≥9;

（8）（a+）2+（b+）2≥;

（9）（a+）2+（b+）2≥.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形（几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.

（打出幻灯片§6.3.2A，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）

我们要重点掌握下面的基本公式及变形：

（1）若a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号.

（2）若a>0,b>0,,当且仅当a=b时取“=”号.

①若ab为定值P,则当a=b时，a+b有最小值2.

②若a+b为定值S,则当a=b时，ab有最大值S2.

（3）a,b∈R,则ab≤,当且仅当a=b时取“=”号.

（4）a>0,b>0,则ab≤（）2,当且仅当a=b时取“=”号.

（通过阅读幻灯片§6.3.2A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程）

Ⅱ.讲授新课

（打出幻灯片§6.3.2B，引导学生阅读例1）

［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1,

求证：

（1）≥4;

（2）a2+b2≥;

（3）+≥8;

（4）a3+b3≥;

（5）;

（6）（1+）（1+）≥9;

（7）（1-）（1-）≥9;

（8）（a+）2+（b+）2≥;

（9）（a+）2+（b+）2≥.

［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”，本题中由目标不等式发现含有形如ab,a+b,a2+b2等式子，故由“经验”马上联想公式a2+b2≥2ab（a,b∈R）及（a,b∈R+），即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a,b的和为1（即a+b=1）,作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.

［生］

（1）∵a>0,b>0，

.

（2）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab

≥1-2·（）2=1-=

故a2+b2≥.

（3）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴

故≥8.

（4）∵a>0,b>0，且a+b=1.

∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）

=1-3ab≥1-3·（）2=

或a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab

=1-3ab≥1-3·（）2=

故a3+b3≥.

（3）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴（）2=a+b+2=1+2≤1+（a+b）=2

故≤.

（6）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴（1+）（1+）=1+++

=1++=1+

≥1+

=9

故（1+）（1+）≥9.

（7）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴

故（1-）（1-）≥9.

（8）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴（a+）2+（b+）2=a2+b2+4++

≥（a+b）2-2ab+4+

≥

故（a+）2+（b+）2≥.

（9）∵a>0,b>0，且a+b=1

∴（a+）2+（b+）2

=a2+b2+2（+）+

≥

故（a+）2+（b+）2≥.

注：

以上各题中均当且仅当a=b=时取等号.

［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系（不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.

［例2］（必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部装满，还剩下很多.这时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？

经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果换成任意的两面墙，如何处理？

（引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）

［师］显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为x和y,则x2+y2是长方形木板的长或宽（定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.

［生］小强用直尺测出木板的长为a,宽为b，依题可知：

a>b>0，且两墙夹角（即二面角）为90°.

（1）a作底边,设S底为底面直角三角形的面积,两直角边一个是x,一个是y,则有:

S底=xy,V1=（xy）·b,且x2+y2=a2

∵x2+y2≥2xy

∴xy≤

∴V1≤,当且仅当x=y=a时取“=”号.

（2）b作底边，同

（1）可得V2≤,当且仅当x=y=b时取“=”号.

又a>b>0∴ab>0,a-b>0

∴V1-V2=-=ab（a-b）>0

∴V1>V2,即>

故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容积最大.

若两面夹角（即二面角）换成α时，解答如下：

设用矩形木板长a作直三棱柱的侧棱，宽b作为底面的一条边，底面三角形的另两边的长分别是x,y,体积为V1，则有：

∴xy=,x2+y2=b2+≥2xy

∴b2+≥

整理得：

V1≤ab2·cot,当x=y时取“=”号.

设矩形木板的宽b作侧棱，则

当x=y时，V2=a2b·cot.

∵a>b>0,∴ab>0,a-b>0

∴a2b>ab2即V2>V1

故把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形（顶角为α）时，容积最大，且最大值Vmax=a2b·cot.

［师生共析］均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：

（1）建模（即函数关系式），

（2）构造定值（构造“积”或“和”为定值），（3）验证“=”号成立.

Ⅲ.课堂练习

1.已知a>0,b>0,a+b≤4,求证：

≥1.

分析：

公式：

若a>0,b>0,则（当且仅当a=b时取等号）的应用.

证明：

∵a>0,b>0,a+b≤4

∴2≤a+b≤4

∴≤2,即

故≥2≥2×=1

即≥1.

2.已知a,b,c为不等的正数，且abc=1,

求证：

.

分析：

根据已知条件，对abc=1作适当变形，即

然后利用公式（a>0,b>0）得证：

证明：

∵a,b,c是不等的正数，且abc=1

3.求证：

>2.

分析：

考虑分子、分母的关系可知：

x2+5=（x2+4）+1,所以用基本公式（a>0,b>0）即可得证.

证明：

∵x∈R∴x2≥0

∴x2+5>0,x2+4>0

∵时有x2+3=0，这不可能，∴上述均值不等式中等号不成立.

故>2.

4.设a>b>c,求证：

.

分析：

我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab≤（）2的应用.

证明：

∵a>b>c

∴a-b>0,b-c>0,a-c>0

Ⅳ.课时小结

本节课，我们学习了用“公式法（均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关键在于认清公式（均值不等式）的结构特点和取“=”条件，要在证明不等式的具体问题中寻求运用公式（均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能力.

Ⅴ.课后作业

（一）练习

1.已知：

lg（x2+1）+lg（y2+4）=lg8+lgx+lgy,求x,y的值.

分析：

应用对数的运算法则将原方程转化为：

lg+lg=0.

解：

∵x2+1≥2x>0（依题知x>0,y>0）

∴≥1

即lg≥0

同理可知：

lg≥0

对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即lg=0,lg=0.所以,x2+1=2x,y2+4=4y.

故x=1,y=2.

2.已知a>0,b>0,求证：

a+b+.

分析：

本题采用公式法.题中含有形如：

a+b,ab等式子，多次运用公式［,（a>0,b>0）］即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.

证明：

∵a>0,b>0∴a+b>0,ab>0.

∴a+b+

≥2

故a+b+.

（二）1.预习内容：

课本P14“综合法”证明不等式.

2.预习提纲：

（1）什么是综合法？

它的基本思想是什么？

（2）它适合证明哪类不等式？

●板书设计

§6.3.2不等式的证明

（二）

一、基本公式例题

若a>0,b>0,则课堂练习

二、基本公式的变形课时小结

若a>0,b>0,则ab≤（）2.课后作业